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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1995 年全国高中数学联赛 第一试 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1 设等差数列an 满足 3a8=5a13且 a10，Sn为其前项之和，则 Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 2 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1， Z2， Z20， 则复数 Z， Z 1995 1 ，Z所对应的不同的点的个数是( ) 1995 2 1995 20 (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 10
2、0 个小伙子中，如果某人不 亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4 已知方程|x2n|=k (nN*)在区间(2n1，2n+1上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是x ( ) (A)k0 (B)00，Sn为其前项之和，则 Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=a，令 an=aa (n1)0，an+1= aa n0 (B)00 由图象可得，x=2n+1 时，k1即 k故选 Bx 1 2n + 1
3、 又解 ： y=(x2n)2与线段 y=k2x(2n10 且(2n1)2(4n+k2)(2n1)+4n20， (2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n20， 2n 10，logcos1sin10， 设 logsin1cos1=a，则得 (sin1)a=cos11； logcos1sin1=b， 则 (cos1)b=sin1cos1，01，本题中取 n=1995)连结对边相应分点，把矩形 ABCD 分成 n2个小矩形 AB 边上的分点共有 n+1 个，由于 n 为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分 点异色，则可得 A、B 异色)，不妨设相邻分点 E、F 同色考察 E、
4、F 所在的小矩形的另两个顶点 E、F， 若 E、F异色，则EFE或DFF为三个顶点同色的小直角三角形若 E、F同色，再考察以此二点为顶 点而在其左边的小矩形，这样依次考察过去，不妨设这一行小 矩形的每条竖边的两个顶点都同色 同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为 P、Q，则考 察 PQ 所在的小矩形，同理，若 P、Q 所在小矩形的另一横边两个 顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形否则，PQ 所在列 的小矩形的每条横边两个顶点都同色 现考察 EF 所在行与 PQ 所在列相交的矩形 GHNM， 如上述， M、 H 都与 N 同色，MNH 为顶点同色的直角三角形 由 n=1995，故MN
5、HABC，且相似比为 1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色 证明证明 2：首先证明：设 a 为任意正实数，存在距离为 2a 的同色两点任取一点 O(设为红色点)，以 O 为圆心，2a 为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为 2a 的两个红点，若圆 上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边 长为2a 故存在距离为2a 的两个蓝色点 下面证明：存在边长为 a，a，2a 的直角三角形，其三个顶点同色如上3 证，存在距离为2a的同色两点A、 B(设为红点)， 以AB为直径作圆， 并取圆内接六边 形ACDBEF，若C、D、E、F 中有任一点为红色， 则存在满足要求的红色三角形 若 C、 D、 E、 F 为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形 下面再证明本题 ： 由上证知，存在边长为 a，a，2a 及 1995a，1995a，19952a 的两个同色三角形，33 满足要求 证明证明 3：以任一点 O 为圆心，a 及 1995a 为半径作两个同心圆，在小圆上任取 9 点，必有 5 点同色， 设为 A、B、C、D、E，作射线 OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于 A，B，C，D，E，则此五点中必 存在三点同色，设为 A、B、C则ABC 与ABC为满足要求的三角形 T l2 l1 P Q R S l FE D C B A