《2001年全国高中数学联赛试题及解答.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2001年全国高中数学联赛试题及解答.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 二一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分 和 0 分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增 加其他中间档次 2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照 本评分标准适当划分档次评分，可以 5 分为一个档次，不要再增加其它中间档次 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 小题，每题均给出（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中有且仅有一个 是正确
2、的请将正确答案的代表字母填在题后的括号内每小题选对得 6 分；不选、选 错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分 1已知 a 为给定的实数，那么集合 M=x| x2-3x-a2+2=0，xR的子集的个数为 （A）1（B）2（C）4（D）不确定 【答】 （ C） 【解】方程 x2-3x-a2+2=0 的根的判别式=1+4a20，方程有两个不相等的实数 根由 M 有 2 个元素，得集合 M 有 22=4 个子集 2 命题 1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题
3、中正确的有 （A） 0 个 （B） 1 个 （C） 2 个 （D） 3 个 【答】 （ B） 【解】只有命题 1 对 3在四个函数 y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递 2 增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx| 【答】 （ D） 【解】y=sin|x|不是周期函数y=cos|x|=cosx 以 2为周期y=|ctgx|在（0，）上 2 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 单调递减只有 y=lg|sinx|满足全部条件 4如果满足ABC=6
4、0，AC=12， BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是 （A） k= （B）024,4x+5y24,4x+5y=b3y )22122411( 9 1 )1211( 9 1 ba 12 k C BA 60 12 k A B C 60 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上 7椭圆的短轴长等于 cos2 1 3 32 【解】 故从而 . 3 1 )(, 1)0(caca 3 3 3 1 , 3 2 bca 3 32 2 b 8若复数
5、 z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，则 z1z2=i 2 3 i 13 72 13 30 【解】由 3z1-2z2= 211122 2 1 3 1 zzzzzz)32( 6 1 1221 zzzz 可得 本题也可设三角形式进 i i zz zz zz zz zz 2 3 2 3 6 32 )23(6 32 )23(6 12 21 12 21 21 i 13 72 13 30 行运算 9正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则直线 A1C1与 BD1的距离是 6 6 【解】作正方体的截面 BB1D1D，则 A1C1面 BB1D1D设 A1C1与 B1D1交于
6、点 O，在面 BB1D1D 内作 OHBD1，H 为垂 足，则 OH 为 A1C1与 BD1的公垂线显然 OH 等于直角三角 形 BB1D1斜边上高的一半，即 OH= 6 6 10. 不等式的解集为 2 3 2 log 1 2 1 x ), 4()2 , 1 () 1 , 0( 7 2 【解】 等价于或 2 3 2 log 1 2 1 x2 3 2 log 1 2 1 x2 3 2 log 1 2 1 x 即或 2 1 log 1 2 1 x2 7 log 1 2 1 x 1 1 1 1 H O D C B A D C B A 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 此时或或2lo
7、g 2 1 x0log 2 1 x0log 7 2 2 1 x 解为 x 4 或 00由此得 a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化简得 2a12+4a1d+d2=0 解得 d=() a1.5 分22 而0，从而取值maaa21 22 2 2 1 a x y p p 最大，此时 yp=2，S=a 2 aa 2 aa 当 m=时，xp=-a2，yp=，此时 S=a 2 1 2 a 2 1a 2 1 2 1a 下面比较 a与a的大小： 2 aa 2 1 2 1a 令 a=a，得 a=. 2 aa 2 1 2 1a 3 1 故当 0a2a3a4a5a6) 的 电阻组装成一个如图的组件，在组装 中
8、应如何选取电阻， 才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论 【解】 设 6 个电阻的组件 （如图 3） 的总电阻为 RFG 当 Ri=ai ， i=3， 4， 5， 6， R1， R2 是 a1，a2的任意排列时，RFG最小5 分 证明如下 1设当两个电阻 R1，R2并联时，所得组件阻值为 R：则故交换二电 21 111 RRR 阻的位置，不改变 R 值，且当 R1或 R2变小时，R 也减小，因此不妨取 R1R2 2设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB： 21 323121 3 21 21 RR RRRRRR R RR RR RAB 显然 R1+R2越大， RAB越小， 所以为使
9、RAB 最小必须取 R3为所取三个电阻中阻值最小的 一个 3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为 RCD： 432431421 4232413121 4 111 RRRRRRRRR RRRRRRRRRR RRR ABCD 若记，则 S1、S2为定值 41 1 ji jiR RS 41 2 kji kji RRRS 于是 431 3212 RRS RRRS RCD 图 1 B A R1 R3 R2 图 2 D C R3 R4 R1 R2 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 只有当 R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取 R4 m+n- (m，n) 若 a1=n， 则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2， ap 的正方形，由归纳假设 a2+apm-n+n-(m-n，n)= m- (m，n) 从而 a1+a2+apm+n-(m，n) 于是当 m=k+1 时，f（m，n）m+n- (m，n) 再由(1)可知 f (m，n)=m+n- (m，n)50 分