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1、对于任何一个逻辑函数的功能描述都可以作出真值表，根据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。,最小项之和：,最大项之积：,真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。,但是把真值表作为运算工具十分不便。用图解化简法，化简逻辑函数方便简单。,第三节 逻辑函数的图解化简法,F = 1 的输入变量组合有 AB = 01、10 两组。,F = 0 的输入变量组合有 AB = 00、11 两组。,从以上分析中可以看出：,如果把真值表按特定规律排列成方格图的形式，这种方格图称为卡诺图。利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进行化简。通常称为图解法或卡诺图法。,3、 卡诺图小方格相邻数 = 变
2、量数。,2、 每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用格雷码排列。保证逻辑相邻，几何位置相邻。,一、卡诺图构成,二、卡诺图构图思想：,1、 n 变量函数就有 2n 个小方格。每个小方格相当于真值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。,逻辑函数的图解化简法,1 变量卡诺图,变量数 n = 1 在卡诺图上有 21 = 2 个小方格，对应m0、m1两个最小项。,0 表示 A 的反变量。,1 表示 A 的原变量。,2 变量卡诺图,变量数 n = 2 在卡诺图上有 22 = 4 个小方格，对应m0、m1、m2、m3四个最小项。,每个小方格有二个相邻格：m0和m1、m2相邻。,二变量格雷码
3、排列：,任何相邻码组之间只有一个码元不同。,逻辑相邻，几何位置相邻。,逻辑函数的图解化简法,3 变量卡诺图,变量数 n = 3 在卡诺图上有 23 = 8 个小方格，对应八个最。每个小方格有三个相邻格。,m0 和m1、m2、m4 相邻。,m1 和m0、m3、m5 相邻。,m2 和m0、m3、m6 相邻。,三变量格雷码排列顺序：, 卡诺图小方格相邻数 = 变量数。, 小方格的编号就是最小项的编号。, 逻辑相邻，几何位置也相邻。,要求掌握格雷码排列规律。,逻辑函数的图解化简法,4 变量卡诺图,变量数 n = 4 在卡诺图上有 24 = 16 个小方格，对应十六个最小项。每个小方格有四个相邻格。,m
4、0 和m1、m2、m4 、m8 相邻。,m5 和m1、m4、m7 、m13 相邻。,m9 和m1、m8、m11 、m13 相邻。,四变量格雷码排列：,逻辑函数的图解化简法,5 变量卡诺图,变量数 n = 5 在卡诺图上有 25 = 32 个小方格，对应32个最小项。每个小方格有5个相邻格。,m0和m1、m2、m4、m8 、及对称相 m16。,m5和m1、m4、m7、m13 、及对称相 m21。,m23和m19、m21、m22、m31 、及对称相 m7。,m27和m25、m26、m19、m31 、及对称相 m11。,找相邻格的方法： 先按四变找 再找对称相,随着输入变量的增加，小方格数以 2n
5、倍增加。若 N=6 有 64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系难以寻找。所以卡诺图一般多用于5变量以内。,逻辑函数的图解化简法,卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？方法有四种：,1、 真值表法,已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ，把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺图对应小方格内填 0 。,例：已知真值表为,填有1 的所有小方格的合成区域就是该函数的卡诺图。,二、卡诺图表示逻辑函数的方法,例：,画出四变量卡诺图，并填图：,将 F 中的所有最小项填在卡诺图的对应小方格内。最小项填“1”，其余
6、位置填“0”。,2、配项法,（四变量函数）,首先通过配项法将非标准与或式变换为标准与或式。即最小项之和的形式。,卡诺图表示逻辑函数的方法,是 m13 和 m12 的公因子,所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。,同理：在 A=0， B=D=1 所对应的区域填1。,在 A=1，C=1 所对应的区域填1。,3、直接观察法：（填公因子法）,卡诺图表示逻辑函数的方法,最大项和最小项互为反函数。,因此：在卡诺图上最小项用“1”格表示，最大项用“0”格表示。,4、 将最小项之和形式化简为最大项之积形式：,任何一个逻辑函数不但可以表示成最小项之和的形式，也可以表示为最大项之积的形式。,卡诺
7、图表示逻辑函数的方法,本例说明：任何一个逻辑函数，根据需要可以用“1”格表示，也可以用“0”格表示。,例：已知,要求将F表示为最大项之积的形式。,在三变量卡诺图中填“1”格表示最小项，其余填 “0”格表示最大项。,1,0,1,0,1,1,1,1,“0”格表示最小项的非。,卡诺图表示逻辑函数的方法,以四变量为例说明卡诺图的化简方法:,若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。,“0”维块： 表示四个变量一个也没有被消去。,“0”维块相加,“1”维块,“2”维块,“3”维块,从上述分析中可以看出：,二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子。,四个“0”维块相加，可合并为一
8、项，并消去二对有 0，1变化因子。,八个“0”维块相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。,m0+m1,m3+m2,m4+m5,m7+m6,将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。,相邻项,三、卡诺图化简逻辑函数的方法：,2、画出表示该函数的卡诺图。,3、画合并圈。,将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。,1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。,2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。,3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。,4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。,卡诺图化简原则：,4、将每个合
9、并圈所表示的与项逻辑相加。,1、将函数化简为最小项之和的形式。,卡诺图化简步骤：,解：1、,正确填入四变量卡诺图,ABCD=0000 处填 1,ACD=010 处填 1,ABC=011 处填 1,ABD=011 处填 1,ABC=111 处填 1,ACD=110 处填 1,ABCD=1001 处填 1,1,1,2、 按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每个合并圈对应一个与项。,3、 将每个与项相加，得到化简后的函数。,例1：化简,1 1,1,1,11,1,解：,本例说明：,同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。,例2：化简,本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图对应小方格处
10、直接填“1”。,作业,8(2)、10（3）、11、12（3）（4）、13、14、15（2）（4）,P113,2、画出表示该函数的卡诺图。,3、画合并圈。,将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。,1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。,2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。,3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。,4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。,卡诺图化简原则：,4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。,1、将函数化简为最小项之和的形式。,卡诺图化简步骤：,解：1、,正确填入四变量卡诺图,ABCD=0000 处填 1,
11、ACD=010 处填 1,ABC=011 处填 1,ABD=011 处填 1,ABC=111 处填 1,ACD=110 处填 1,ABCD=1001 处填 1,1,1,2、 按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每个合并圈对应一个与项。,3、 将每个与项相加，得到化简后的函数。,例1：化简,1 1,1,1,11,1,解：,本例说明：,同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。,例2：化简,本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图对应小方格处直接填“1”。,本例说明： 每一个合并圈要有新未被圈过的“1”格。二维块BD中所有的”1”格均被其余合并圈所包围。所以BD是冗余项，应取掉。,卡
12、诺图化简逻辑函数的方法：,解：题意要求将最小项之和化简为最大项之积的形式。,即由与或式求出或与式。,填“1”格，圈“0”格，,例4：化简 F = m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)为最简或与式。,卡诺图化简逻辑函数的方法：,题意要求：将最大项之积化简为或与式。最大项和最小项互为反函数。最小项填“1”格，最大项填“0”格。,AB,AD,AC,CD,BD,即：填“0”格，圈“0”格，,例5：化简 F = M(3,5,7,9,1015) 为最简或与式。,卡诺图化简逻辑函数的方法：,为最简或与式及最简与或式。,解：1、将已知为或-与式的函数 F 填入卡诺图的简便办法是：等式两边求反，然后在
13、卡诺图上填“0” 格，其余填“1”格。,2、利用观察法，填“0”格，圈“0”格,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,3、最简与或式是填“1”格，圈“1”格,直接写出 F 的与-或式。,例6：化简,（一）、与非逻辑形式（用与非门实现）,1、填“1”格，圈“1”格，得出 F 与或式。,AB,BC,AC,2、两次求反，一次反演得出与非与非式。,3、根据与非式，画出用与非门组成的 逻辑电路图。,逻辑函数的形式是多种多样的，前面我们已经学过与或式、或与式，还有与非式、或非式、与或非三种表示形式。现在讨论如何在卡诺图上实现这三种形式的化简。,例：已知,根据电路要求，选择不同化简
14、方式。,要求用与非门、或非门、与或非门实现。,四、逻辑函数按要求形式化简,（二）、或非逻辑形式（用或非门实现）,1、填“1”格，圈“0”格,2、等式两边求反，得出 F 或与式。,3、对 F 两次求反，一次反演得出或非或非式。,4、根据或非或非式，画出用或非门组成的逻辑电路图。,逻辑函数按要求形式化简,（三）、与或非逻辑形式（用与或非门实现）。,1、圈“0”格，,2、等式两边求反，得出 F 与或非式。,3、根据与或非式，画出用与或非门 组成的 逻辑电路图。,逻辑函数按要求形式化简,逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。,在每一组输入变量的取值下，函数 F 都有确定得值，不是 0 就是 1 。,1
15、、在输入变量的某些取值下，函数 F 取值是 0 是 1 都可以。不影响电路的逻辑功能。,2、输入变量受外界条件约束，某些输入组合不可能在输入端出现,不必考虑输出。这些输入取值组合称为无效组合。同无效输入组合相对应的最小项称为：无关项、任意项、约束项。,完全描述：,非完全描述：,五、包含无关最小项的逻辑函数的化简,A B C F,0 0 0 0,0 0 1 1,0 1 0 1,1 0 0 1,没操作,乘法,减法,加法,0 1 1 X,1 0 1 X,1 1 0 X,1 1 1 X,不允许 BC同时为 1，记作 BC=0,不允许 AC同时为 1，记作 AC=0,不允许 AB同时为 1，记作 AB=
16、0,不允许 ABC同时为 1，记作 ABC=0,约束条件：BC+AC+AB+ABC=0,通过配项展开为最小项之和形式：,从本例可以看出：将恒为 0 的最小项加入或不加入到 F 表达式，都不影响函数值。因此：将无关最小项记做 x ,对函数化简有利当作 1 ，对化简没利当作 0 。,真值表：,恒为 0 的最小项就是无关项,例：假设用 A、B、C、三个逻辑变量，分别代表计算器的加、减、乘三种运算。,假定：有操作为 1 ，无操作为 0。,解：依题意列真值表。,A B C D F,0 0 0 0 0,0 0 0 1 0,0 0 1 0 0,0 0 1 1 0,0 1 0 0 0,0 1 0 1 1,0
17、1 1 0 1,0 1 1 1 1,1 0 0 0 1,1 0 0 1 1,1 0 1 0 X,1 0 1 1 X,1 1 0 0 X,1 1 0 1 X,1 1 1 0 X,1 1 1 1 X,由真值表写出 F 表达式：,例1：用 8421BCD码表示一位十进制数X,当x5时，输出 F = 1，否则输出 F = 0 ，求 F 的最简与或式。,不考虑无关项的化简,考虑无关项的化简,包含无关最小项的逻辑函数的化简,约束条件,解：AB = 0 表示 A 与 B 不能同时为 1, AB = 11（即 AB同时为1)所对应的最小项，就是无关项。,例2:化简,无关项 X 对化简有利当作 1 ，对化简无利
18、当作0 。,包含无关最小项的逻辑函数的化简,前面所学的函数化简，均假定输入信号既提供原变量，又提供反变量。在实际逻辑电路设计中，只有原变量输入，没有反变量输入。因此在函数化简时采取适当方法就能得到只有原变量输入。,1、公式法：先介绍几个概念,头部因子和尾部因子：,一个乘积项可以写作：,乘积项不带反号的部分称为头部。,每个乘积因子 a b c - - -称为头部因子。,乘积项带反号的部分称为尾部。,每个乘积因子，x y z, u v w 称为尾部因子。,例：,头部因子,尾部因子,六、输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,尾部代替因子,例：,头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因子中取走。
19、,证明：,一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩 展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后 的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。,即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个乘机项可以合并为一个乘积项。,例：已知,在输入没有反变量的条件下化简为与非与非表达式。,解：a、用卡诺图常规化简,乘积项合并,共用：7个门，其中，3 个非门，4 个与非门。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,公式法化简的目的：寻找公共项,减少与非门数量。只用4个与
20、非门。,b、用公式法化简,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,2、禁止逻辑法,先介绍一个名词：,1重心：,如：AB=11 ABC=111 ABCD=1111,1重心的特点：,凡合并圈包含 1 重心的与项不会含有反变量。,C,AB,AC,BD,禁止逻辑法的基本思想：,但这样的合并圈有可能把不属于原函数的某些最小项也圈进去了，要保证原函数功能不变，必须扣除这些不属于原函数的最小项。,在卡诺图上所有变量取值为1 的小方格称为 1 重心。,保证输入端不会出现反变量，化简函数时必须包含 1 重心。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,例：,a、常规化简,b、含1重心化简,假定：m7 = 1画入合
21、并圈，化简结果 C 与原函数不一致，因为把m7看作 1 圈入，实际 m7 = 0 因此要把m7禁止掉。,证明：,推论：任一逻辑函数，如果用不属于它的最小项之和的非乘之，其逻辑功能不变。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,C、扩大禁止范围，减少输入因子,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,一、将函数化简为与非与非表达式。,例1：,a、画四变量卡诺图,把m15当作 1 圈入，按0禁止掉。,c、画出逻辑电路图,b、把含1重心的0格圈入，再用禁止逻辑法将其禁止掉。,禁止逻辑法的化简方法：,例2:已知,用禁止逻辑法将 F 化简为与非与非表达式。,解：,a、 画四变量卡诺图,b、 把含1重心的0
22、格圈入并扩大禁止范围。再用禁止逻辑法将其禁止掉。,c、画出逻辑电路图,禁止逻辑法的化简方法：,输入只有原变量没有反变量逻辑函数化简法：,扩大禁止应用范围,最后画出用与非门实现的逻辑电路图。,例3:已知,用禁止逻辑法将 F 化简为与非与非表达式。,例4:已知 F = m(0,1,3,4,5)求F 的最小项表达式。,由此推广到 n 变量：,最小项编号,除最小项编号之外所有编号。,二、将函数化简为或非或非表达式,例4: 已知 F=m(0,4,11,12,13,15)在输入只有原变量的条件下将 F 化简为或非或非式。,解：,通过卡诺图化简F得出：,两次求对偶得出原函数的或非或非表达式。,最后画出逻辑电路图。,将函数化简为或非或非表达式,在实际应用电路中，输出端不可能只有一个，往往有两个或两个以上输出端。,化简多输出函数时，不能单纯追求每个单一函数的最简，单一函数最简，不能保证系统最简。应统一考虑，尽可能用公共项。,例：化简 F1 = m(1,3,4,5,7), F2 = m(3,4,7)为与非与非表达式。,解：1、将 F1 和 F2 分别 化简,七、多输出函数的化简,2、将 F1 和 F2 整体 化简(找公共项）,多输出函数的化简,