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1、一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业,6.2 一阶线性微分方程,判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：,一、一阶线性微分方程及其解法,例1,在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。,1. 一阶线性微分方程的定义,（1）、（4）是一阶线性的，,其余的是非线性的.,解,2. 一阶线性微分方程的一般式,3. 一阶线性微分方程的分类,当 时，方程（1）称为一阶线性齐次微 分方程。,当 时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。,（1）一阶线性齐次微分方程,分离变量法,4. 一阶线性微分方程的解法,1）一般式,2）解法
2、,3）通解公式,解,例2,则通解,（2）一阶线性非齐次微分方程,常数变易法,1）一般式,2）解法,3）通解公式,齐次的通解,非齐次的特解,为非齐次线性方程的解，则,4）常数变易法,通解,解,例3,则通解为,解,例4,则通解为,原方程变形为,其中,因此方程满足初始条件的特解为,二、一阶线性微分方程的应用,1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.,应用微分方程解决实际问题的步骤:,例5,解,设所求曲线方程为,从而,即,其中,则通解为,因此所求曲线方程为,设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比(比例系数 ，起跳时的速度为0，求下落的速度与时间 的函数关系。,例6,设速度与时间的函数关系为：,解,由牛顿第二定律知：,即,其中,则通解为,因此所求速度与时间的函数关系为,三、小结,1. 一阶线性齐次微分方程,2. 一阶线性非齐次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,（1）一般式,（2）通解公式,