《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.1 1.1.2 瞬时变化率——导数 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.1 1.1.2 瞬时变化率——导数 Word版含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11.2 瞬时变化率导数 曲线上一点处的切线 如图 Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P 的坐标为(x0，y0) 问题 1：当点 Pn点 P 时，试想割线 PPn如何变化？ 提示：当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置 问题 2：割线 PPn斜率是什么？ 提示：割线 PPn的斜率是 kn. f(xn)f(x0) xnx0 问题 3：割线 PPn的斜率与过点 P 的切线 PT 的斜率 k 有什么关系呢？ 提示：当点 Pn无限趋近于点 P 时，kn无限趋近于切线 PT 的斜率 问题 4：能否求得过点 P 的切线 PT
2、的斜率？ 提示：能 1割线 设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称为曲线的割线 2切线 随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动， 割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼 近点 P 时， 直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l， 这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线. 瞬时速度与瞬时加速度 一质点的运动方程为 S83t2，其中 S 表示位移，t 表示时间 问题 1：该质点在1,1t这段时间内的平均速度是多少？ 提示：该质点在1,1t这段时间内的平均速度为6 83(1t)283 12 t 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
3、印 3t. 问题 2：t 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：t 越小，平均速度越接近常数6. 1平均速度 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 2瞬时速度 一般地，如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的平均变化率S(t 0t)S(t0) t 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间 的瞬时变化率 3瞬时加速度 一般地，如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体速度 v(t)的平均变化率v(t 0t)v(t0) t 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时 间的瞬时变化率 导 数 1导数
4、设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值 y x 无限趋近于一个常数 A， 则称 f(x)在 xx0处可导， 并称该常数 A 为函数 f(x) f(x0x)f(x0) x 在 xx0处的导数，记作 f(x0) 2导数的几何意义 导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 3导函数 (1)若 f(x)对于区间(a， b)内任一点都可导， 则 f(x)在各点的导数也随自变量 x 的变化而变 化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f(x)，在不引起混淆时， 导函数 f(x)也简
5、称 f(x)的导数 (2)f(x)在 xx0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 xx0处的函数值 1利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线 方程 2 函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 xx0处的函数值， 所以求函 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值 对应学生用书P5 求曲线上某一点处的切线 例 1 已知曲线 yx 上的一点 A，用切线斜率定义求： 1 x (2， 5 2) (1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程 思路点拨 先计
6、算，再求其在 x 趋近于 0 时无限逼近的值 f(2x)f(2) x 精解详析 (1)yf(2x)f(2)2xx， 1 2x (2 1 2) x 2(2x) 1. y x x 2x(2x) x x 1 2(2x) 当 x 无限趋近于零时，无限趋近于 ， y x 3 4 即点 A 处的切线的斜率是 . 3 4 (2)切线方程为 y (x2)， 5 2 3 4 即 3x4y40. 一点通 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切 线的斜率，即在该点处，x 无限趋近于 0 时，无限趋近的常数 y x 1曲线 y x22 在点 P处的切线的斜率为_ 1 2 (1， 5 2)
7、解 析 ： 设 P， Q， 则 割 线 PQ 的 斜 率 为 kPQ (1， 5 2) (1x， 1 2(1x) 22) x1. 1 2(1x) 225 2 x 1 2 当 x 无限趋近于 0 时，kPQ无限趋近于1，所以曲线 y x22 在点 P处 1 2 (1， 5 2) 的切线的斜率为1. 答案：1 2已知曲线 y2x24x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则 P 点坐标为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：设 P 点坐标为(x0， y0)，则4x042x. f(x0x)f(x0) (x0x)x0 2(x)24x0x4x x 当 x 无限趋近于 0 时，4x042x
8、无限趋近于 4x04， 因此 4x0416，即 x03， 所以 y023243181230. 即 P 点坐标为(3,30) 答案：(3,30) 3已知曲线 y3x2x，求曲线上一点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程 解：设 A(1,2)，B(1x,3(1x)2(1x)， 则 kAB53x， 3(1x)2(1x)(3 121) x 当 x 无限趋近于 0 时，53x 无限趋近于 5，所以曲线 y3x2x 在点 A(1,2)处的切 线斜率是 5. 切线方程为 y25(x1)，即 5xy30. 瞬时速度 例 2 一质点按规律 S(t)at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点
9、在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值 思路点拨 先求出质点在 t2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解 精解详析 因为 SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以S t 4aat. 当 t 无限趋近于 0 时，无限趋近于 4a. S t 所以 t2 s 时的瞬时速度为 4a m/s. 故 4a8，即 a2. 一点通 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量 t，求出相应的位移的改变 量 S，再求出平均速度 ，最后计算当 t 无限趋近于 0 时，无限趋近常数，就是该v S t S t 物体在该时刻的瞬时速度 4一做直线运动的物体，其位移
10、S 与时间 t 的关系是 S3tt2，则此物体在 t2 时的 瞬时速度为_ 解析：由于 S3(2t)(2t)2(3222)3t4t(t)2t(t)2， 所以1t. S t t(t)2 t 当 t 无限趋近于 0 时，无限趋近于常数1. S t 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故物体在 t2 时的瞬时速度为1. 答案：1 5如果一个物体的运动方程 S(t)Error!Error!试求该物体在 t1 和 t4 时的瞬时速度 解：当 t1 时，S(t)t22， 则2t， S t S(1t)S(1) t (1t)223 t 当 t 无限趋近于 0 时，2t 无限趋近于 2， 所以 v(1)
11、2； t43，)， S(t)293(t3)23t218t56， S t 3(4t)218(4t)563 4218 456 t 3t6， 3t26t t 当 t 无限趋近于 0 时，3t66，即6， S t 所以 v(4)6. 导数及其应用 例 3 已知 f(x)x23. (1)求 f(x)在 x2 处的导数； (2)求 f(x)在 xa 处的导数 思路点拨 根据导数的定义进行求解深刻理解概念是正确解题的关键 精解详析 (1)因为 y x f(2x)f(2) x (2x) 23(223) x 4x， 当 x 无限趋近于 0 时，4x 无限趋近于 4， 所以 f(x)在 x2 处的导数等于 4.
12、(2)因为 y x f(ax)f(a) x (ax) 23(a23) x 2ax， 当 x 无限趋近于 0 时，2ax 无限趋近于 2a， 所以 f(x)在 xa 处的导数等于 2a. 一点通 由导数的定义知，求一个函数 yf(x)在 xx0处的导数的步骤如下： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求函数值的改变量 yf(x0x)f(x0)； (2)求平均变化率； y x f(x0x)f(x0) x (3)令 x 无限趋近于 0，求得导数 6函数 yx 在 x1 处的导数是_ 1 x 解析：函数 yf(x)x ， 1 x yf(1x)f(1) 1x11， 1 1x (x)2 1x
13、 ，当 x0 时，0， y x x 1x y x 即 yx 在 x1 处的导数为 0. 1 x 答案：0 7设 f(x)ax4，若 f(1)2，则 a_. 解析：a， f(1x)f(1) x a(1x)4a4 x f(1)a，即 a2. 答案：2 8将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如 果第 x h 时，原油的温度(单位：)为 f(x)x27x15(0x8)求函数 yf(x)在 x6 处 的导数 f(6)，并解释它的实际意义 解：当 x 从 6 变到 6x 时，函数值从 f(6)变到 f(6x)，函数值 y 关于 x 的平均变化 率为： f(6x)f(6)
14、x (6x) 27(6x)15(627 615) x 5x. 5x(x)2 x 当 x6 时，即 x0，平均变化率趋近于 5， 所以 f(6)5， 导数 f(6)5 表示当 x6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬 时变化速度也就是说，如果保持 6 h 时温度的变化速度，每经过 1 h 时间，原油温度将升 高 5. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数 yf(x)在点 x0处的导数，然后根据直 线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0) (2)若题中所给的点(x0，y0)不在
15、曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意 义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程 2f(x0)与 f(x)的异同 区别联系 f(x0)f(x0)是具体的值，是数值 f(x) f(x)是 f(x)在某区间 I 上每一点 都存在导数而定义的一个新函 数，是函数 在 xx0处的导数f(x0)是导函数f(x) 在 xx0处的函数值，因此求函数在某 一点处的导数，一般先求导函数，再计 算导函数在这点的函数值 对应课时跟踪训练(二) 一、填空题 1一质点运动的方程为 S53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为 3t6，则该质点在 t1 时的瞬时速度为_ 解析：当 t 无限趋近于 0
16、 时，3t6 无限趋近于常数6，该质点在 t1 时的 瞬时速度为6. 答案：6 2函数 f(x)13x 在 x2 处的导数为_ 解析：yf(2x)f(2)3x，3， y x 则 x 趋于 0 时，3. y x 故 f(x)在 x2 处的导数为3. 答案：3 3已知函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 y x2，则 f(1)f(1) 1 2 _. 解析：由题意知 f(1) ，f(1) 2 ， 1 2 1 2 5 2 所以 f(1)f(1) 3. 5 2 1 2 答案：3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4曲线 f(x) x22 在点处的切线的倾斜角为_ 1 2
17、(1， 3 2) 解析： f(1x)f(1) x 1 2(1x) 22(1 22) x x1. 1 2(x) 2x x 1 2 当 x 无限趋近于 0 时，无限趋近于常数 1，即切线的斜率为 1. f(1x)f(1) x 切线的倾斜角为 . 4 答案： 4 5已知曲线 y2ax21 过点 P(，3)，则该曲线在 P 点处的切线方程为_a 解析：y2ax21 过点 P(，3)，a 32a21，即 a21. 又a0，a1，即 y2x21. P(1,3) 又42x. y x f(1x)f(1) x 2(1x)212 121 x 当 x 无限趋近于 0 时，无限趋近于常数 4， y x f(1)4，即
18、切线的斜率为 4. 由点斜式可得切线方程为 y34(x1)， 即 4xy10. 答案：4xy10 二、 解答题 6已知质点运动方程是 S(t) gt22t1(g 是重力加速度，常量)，求质点在 t4 s 时 1 2 的瞬时速度(其中 s 的单位是 m，t 的单位是 s) 解： S t S(4t)S(4) t 1 2g(4t) 22(4t)1(1 2g4 22 41) t 1 2g(t) 24gt2t t 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 gt4g2. 1 2 当 t0 时，4g2， S t S(4)4g2，即 v(4)4g2， 所以，质点在 t4 s 时的瞬时速度为(4g2) m/s
19、. 7求过点 P(1,2)且与曲线 y3x24x2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程 解：3(1x) 24(1x)2(3 124 12) x 23x， 2x3(x)2 x 当 x0 时，23x2，f(1)2， 所以直线的斜率为 2， 所以直线方程为 y22(x1)， 即 2xy40. 8已知直线 l：y4xa 和曲线 C：yx32x23 相切求 a 的值及切点的坐标 解：设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y0)， y x (x0x)32(x0x)23(xoal(3,0)2xoal( 2,0)3) x (x)2(3x02)x3x 4x0. 2 0 当 x0 时，3x 4x0， y x 2 0 即 f(x0)3x 4x0， 2 0 由导数的几何意义，得 3x 4x04， 2 0 解得 x0 或 x02. 2 3 切点的坐标为或(2,3)， ( 2 3， 49 27) 当切点为时， ( 2 3， 49 27) 有4a，a， 49 27 ( 2 3) 121 27 当切点为(2,3)时，有 342a，a5， 当 a时，切点为； 121 27 ( 2 3， 49 27) a5 时，切点为(2,3)