《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.1 第二课时 类比推理 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.1 第二课时 类比推理 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二课时 类 比 推 理 为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星 具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存， 等 等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在 问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？ 提示 ： 在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后 从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征 1类比推理 根据两个(或两类)对象之间在某些
2、方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或 相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程为： 观察、比较联想、类推猜测新的结论 2合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测 某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理 类比推理的特点主要体现在以下几个方面： (1)类比推理是从特殊到特殊的推理 (2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征所 以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠 (3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征所以，进 行类比推理的关键是明确地指
3、出两类对象在某些方面的类似特征 对应学生用书P16 类比推理在数列中的应用 例 1 在等差数列an中，若 a100，则有等式 a1a2ana1a2a19 n(n0，则数列 dn_(nN*)也是等比数列 答案： n c1c2c3cn 2已知命题：若数列an为等差数列，且 ama，anb(mn，m，nN*)，则 amn .现已知等比数列bn(bn0，nN*)，且 bma，bnb(mn，m，nN*)，类比上述 bnam nm 结论，求 bmn. 解：等差数列通项 an与项数 n 是一次函数关系，等比数列通项 bn与项数 n 是指数型函 数关系利用类比可得 bmn. ( bn am) 1 nm nm
4、bn am 类比推理在几何中的应用 例 2 如图， 在三棱锥 SABC 中， SASB， SBSC， SASC， 且 SA、 SB、 SC 和底面 ABC 所成的角分别为 1、 2、 3， 三侧面SBC， SAC， SAB 的面积 分别为 S1， S2， S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想 思路点拨 在DEF 中，有三条边，三个角，与DEF 相对应的是 四面体 SABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 是 SA，SB，SC 与底面 ABC 所成的三个线面角 1，2，3.在平面几何中三角形的有关性质
5、， 我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中 精解详析 在DEF 中，由正弦定理，得.于是，类比三角形中的 d sin D e sin E f sin F 正弦定理，在四面体 SABC 中，我们猜想成立 S1 sin 1 S2 sin 2 S3 sin 3 一点通 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的 相关结论 (2)平面图形与空间图形类比 平面图形空间图形 点线 线面 边长面积 面积体积 线线角二面角 三角形四面体 3在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分A
6、BC 面积所成的比，将 S AEC S BEC AC BC 这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交 于 E，则类比的结论为_ 图(1) (2) 解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故类比成. S AEC S BEC VACDE VBCDE 平面中的线段长类比到空间为面积， 故类比成. AC BC S ACD S BCD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故有. VACDE VBCDE S ACD S BDC 答案： VACDE VBCDE S ACD S BDC 4.如图所示， 在ABC 中， 射影定理可表示为 abcos C
7、ccos B， 其中 a， b， c 分别为角 A，B，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 解 ： 如图所示，在四面体 PABC 中，S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA， ABC 的面积， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面 角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1cos S2cos S3cos . 合情推理的应用 例 3 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义； (2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在
8、等和数列an中，如果 a1a，a2b，求它的前 n 项和 Sn. 思路点拨 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探 索等和数列的奇数项、偶数项及其前 n 项和 精解详析 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等和数列 (2)由(1)知 anan1an1an2， 所以 an2an. 所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等 (3)当 n 为奇数时，令 n2k1，kN*，则 SnS2k1S2k2a2k1(ab)a 2k2 2 (ab)aab； n1 2 n1 2 n1 2 当 n 为偶数时，令 n2k，kN*，则 SnS
9、2kk(ab) (ab) n 2 所以它的前 n 项和 SnError!Error! 一点通 (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理 解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力 (2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5类比平面向量基本定理：“如果 e1，e2是平面 内两个不共线的向量，那么对于平 面 内任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使得 a1e12e2.”写出空间向量基本定理 的是_ 答案：如果 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向
10、量 a，有且只有 一组实数 1，2，3，使得 a1e12e23e3 6已知椭圆 C：1 具有性质 ： 若 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，点 P x2 a2 y2 b2 是椭圆 C 上任意一点， 当直线 PM， PN 的斜率都存在， 并记为 KPM， KPN时， 那么 KPM与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值试对双曲线1 写出类似的性质，并加以证明 x2 a2 y2 b2 解：类似的性质：若 M，N 是双曲线1 上关于原点对称的两点，点 P 是双曲线 x2 a2 y2 b2 上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 KPM，KPN时，那么 KPM与 KPN之积是
11、与点 P 位置无关的定值 证明如下： 设 M(m，n)，则 N(m，n)，其中1. m2 a2 n2 b2 设 P(x，y)，由 KPM，KPN， yn xm yn xm 得 KPMKPN， yn xm yn xm y2 n2 x2m2 将 y2x2b2，n2m2b2代入得 KPMKPN. b2 a2 b2 a2 b2 a2 1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一 点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误 2多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些 (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性 (3
12、)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面 对应学生用书P18 一、填空题 1正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是_，结论 是_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案：正方体 正方体的体积为棱长的立方 2给出下列推理： (1)三角形的内角和为(32)180， 四边形的内角和为(42)180， 五边形的内角和为(52)180， 所以凸 n 边形的内角和为(n2)180； (2)三角函数都是周期函数，ytan x 是三角函数，所以 ytan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、
13、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的； (4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空 间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行 其中属于合情推理的是_(填序号) 解析：根据合情推理的定义来判断因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不 符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理 答案：(1)(3)(4) 3三角形的面积为 S (abc)r，a、b、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半 1 2 径，利用类比推理可以得出四面体的体积为_ 解析：ABC 的内心为 O，连结 OA，OB，OC，将AB
14、C 分割为三个小三角形，这三 个小三角形的高都是 r，底边长分别为 a，b，c； 类比 ： 设四面体 ABCD 的内切球球心为 O， 连结 OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以 O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高 都为 r，所以有 V (S1S2S3S4)r. 1 3 答案： (S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r 为内切球的半径) 1 3 4在平面几何中，有射影定理 ： “在ABC 中，ABAC，点 A 在 BC 边上的射影为 D， 有 AB2BDBC.” 类比平面几何定理， 研究三棱锥的侧面面积与射影面积、 底面面积的关系， 可以得出的正确结论是：“在
15、三棱锥 ABCD 中，AD平面 ABC，点 A 在底面 BCD 上的 射影为 O，则有_ ” 答案：SSBOCSBCD 2 ABC 5已知结论：“在三边长都相等的ABC 中，若 D 是 BC 的中点，G 是ABC 外接圆 的圆心， 则2” 若把该结论推广到空间， 则有结论 ： “在六条棱长都相等的四面体 ABCD AG GD 中， 若 M 是BCD 的三边中线的交点， O 为四面体 ABCD 外接球的球心， 则_.” AO OM 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 ： 如图，易知球心 O 在线段 AM 上，不妨设四面体 ABCD 的边长为 1，外接球的半 径为 R， 则 BM ，
16、 3 2 2 3 3 3 AM ，12( 3 3) 2 6 3 R ，解得 R. ( 6 3 R)2( 3 3) 2 6 4 于是，3. AO OM 6 4 6 3 6 4 答案：3 二、解答题 6已知：等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，有如下的性质： (1)通项 anam(nm)d. (2)若 mnpq，且 m，n，p，qN*，则 amanapaq. (3)若 mn2p，且 m，n，pN*，则 aman2ap. (4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列 类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质 解：设等比数列bn中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)通项
17、 anamqnm. (2)若 mnpq，且 m，n，p，qN*， 则 amanapaq. (3)若 mn2p，且 m，n，pN*，则 a aman. 2 p (4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列 7类比圆的下列特征，找出球的相关特征 (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的 3 个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求 解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球； (2)空间中不共面的 4 个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求 8若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算，即 a*b，则两边均含有运 ab 2 算符号“*”和“” ，写出对于任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 ： 由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并 且答案不惟一解决这道试题要把握住 a*b，还要注意到试题的要求不仅类比推广到 ab 2 三个数， 而且等式两边均含有运算符号 “*”和 “” ， 则可容易得到 a(b*c)(ab)*(ab) 正确的结论还有：(a*b)c(a*c)(b*c)，(a*b)c(b*a)c 等