《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.3 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.3 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 Word版含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.3数学归纳法 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 对应学生用书 P48 在学校，我们经常会看到这样的一种现象 ： 排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆 自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下 问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆 倒下 问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 提示：一些与正整数 n 有关的问题 数学归纳法 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果 (1)当 n 取第一个值 n0(例
2、如 n01,2 等)时结论正确； (2)假设当 nk(kN*，且 kn0)时结论正确，证明当 nk1 时结论也正确 那么，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都成立 数学归纳法的两个步骤之间的联系： 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可， 只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法 递推下去，即 n 取 n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断同样只有步骤(2)而缺少步 骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步 骤(2)也就没有意义了 对应学生用书P48 用数学
3、归纳法证明恒等式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 1 用数学归纳法证明： 1 . 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 思路点拨 等式的左边有 2n 项，右边共有 n 项，f(k)与 f(k1)相比左边增二项，右边 增一项，而且左右两边的首项不同因此，从 nk 到 nk1 时要注意项的合并 精解详析 (1)当 n1 时，左边1 ， 1 2 1 2 右边 ，命题成立 1 2 (2)假设当 nk 时命题成立，即 1 ， 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k 那么当 nk1 时， 左边1 1 2 1 3 1
4、4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2k2 . 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2 右边， 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2 左边右边， 上式表明当 nk1 时命题也成立 由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立 一点通 (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项” ， 弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关由 nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 (2)证明 nk1 时成立，必须用到假设 nk 成立的结论 1
5、用数列归纳法证明：当 nN*时， 135 (1)n(2n1)(1)nn. 证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1， 所以左边右边，等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN*)时等式成立， 即135 (1)k(2k1)(1)kk. 那么当 nk1 时， 135 (1)k(2k1)(1)k1(2k1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)kk(1)k1(2k1) (1)k1(k)(1)k1(2k1) (1)k1(2k1k) (1)k1(k1) 这就是说 nk1 时等式也成立， 由(1)(2)可知，对任何 nN*等式都成立 2用数学归纳法证明： 12223242(2n1)2(2n)2
6、n(2n1) 证明：(1)当 n1 时，左边12223，右边1(211)3， 所以左边右边，等式成立 (2)假设当 nk 时等式成立， 即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)成立 则当 nk1 时， 左边12223242(2k1)2(2k)22(k1)122(k1)2 k(2k1)(2k1)2(2k2)2 (2k1)(k1)4(k1)2 (k1) 2k14(k1)(k1)(2k3) (k1)2(k1)1右边， 所以当 nk1 时，等式成立 由(1)(2)可知对于任意正整数 n，等式都成立 用数学归纳法证明不等式 例 2 求证： (n2，nN*) 1 n1 1 n2 1 3n 5
7、 6 思路点拨 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明 当 nk1 时，如何进行不等式的变换是关键另外，要注意本题 n 的初始值为 2. 精解详析 (1)当 n2 时， 左边 ，不等式成立 1 3 1 4 1 5 1 6 57 60 5 6 (2)假设当 nk(k2，kN*)时不等式成立， 即 ， 1 k1 1 k2 1 3k 5 6 则当 nk1 时， 1 (k1)1 1 (k1)2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 Error!Error!Error!Error! 1 k1 1 k2 1 3k 5 6 ( 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1)
8、 5 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ， (3 1 3k3 1 k1) 5 6 所以当 nk1 时不等式也成立 由(1)(2)可知原不等式对一切 n2，nN*都成立 一点通 利用数学归纳法证明与 n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用 过程中注意： (1)证明不等式的第二步即从 nk 到 nk1 的推导过程中要应用归纳假设，有时需要 对目标式进行适当的放缩来实现； (2)与 n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证 明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等 3 用数学归纳法证明不等式 的过程中， 由 nk 推导 nk 1 n1 1 n2
9、1 nn 13 24 1 时，不等式的左边增加的式子是_ 解析：nk，左边 ， 1 k1 1 k2 1 kk nk1 时， 左边 1 k2 1 k3 1 k1k 1 k1k1 1 k1 1 k2 1 k3 1 kk 1 2k1 1 2(k1) 1 k1 . 1 k1 1 k2 1 kk 1 (2k1)(2k2) 答案： 1 (2k1)(2k2) 4求证 (n2 且 nN*) 1 2 1 3 1 4 1 2n1 n2 2 证明：当 n2 时，左边 ，右边0，左边右边，此时不等式成立 1 2 1 3 5 6 22 2 假设当 nk(k2 且 kN*)时，不等式成立， 即 . 1 2 1 3 1 4
10、 1 2k1 k2 2 当 nk1 时， 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k11 k2 2 1 2k 1 2k1 1 22k1 k2 2 1 2k1 1 2k1 1 2k1 k2 2 2k 2k1 k2 2 1 2 ， k1 2 (k1)2 2 即当 nk1 时，不等式也成立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 综上所述，对任何 n2 且 nN*，不等式都成立 5证明不等式 1n3，就需要验证 n10 时不等式成立 (2)nk1 时式子的项数，特别是寻找 nk 与 nk1 的关系时，项数发生什么变化 容易被弄错因此对 nk 与 nk1 这两个关系式的正确
11、分析是应用数学归纳法成功证明 问题的保障 (3)“假设 nk(k1)时命题成立，利用这一假设证明 nk1 时命题成立” ，这是应用 数学归纳法证明问题的核心环节， 因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设， 否则这 样的证明就不再是数学归纳法了 另外在推导过程中要把步骤写完整， 注意证明过程中的严 谨性、规范性 对应课时跟踪训练(十八) 一、填空题 1用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1，nN*)” ，在验证 n1 1an2 1a 成立时，左边_. 解析：因为左边式子中 a 的最高指数是 n1，所以当 n1 时，a 的最高指数为 2，根 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 据左边
12、式子规律可得，当 n1 时，左边1aa2. 答案：1aa2 2 用数学归纳法证明关于 n 的恒等式， 当 nk 时， 表达式为 1427k(3k1) k(k1)2，则当 nk1 时，表达式为_ 答案：1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2 3用数学归纳法证明不等式 1 (nN*)成立，其初始值至少应取 1 2 1 4 1 2n1 127 64 _ 解析：左边1 2代入验证可知 n 的最小值为 8. 1 2 1 4 1 2n1 1(1 2) n 11 2 1 2n1 答案：8 4对于不等式 (1 1 3)(1 1 5) (1 1 2n1) 均成立 2n1 2 证明：(1)当 n2 时，左边1 ；右边. 1 3 4 3 5 2 左边右边，不等式成立 (2)假设 nk(k2，且 kN*)时，不等式成立，即 . (1 1 3)(1 1 5) (1 1 2k1) 2k1 2 则当 nk1 时， (1 1 3)(1 1 5) (1 1 2k1)1 1 2(k1)1 2k1 2 2k2 2k1 2k2 2 2k1 4k28k4 2 2k1 4k28k3 2 2k1 . 2k32k1 2 2k1 2(k1)1 2 所以当 nk1 时，不等式也成立 由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立