2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．4 圆锥曲线的应用 Word版含解析.pdf

《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．4 圆锥曲线的应用 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．4 圆锥曲线的应用 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.4圆锥曲线的应用圆锥曲线的应用 椭圆、双曲线的应用椭圆、双曲线的应用 我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称 “地心”简称 “地心” )F2为一 个焦点的椭圆已知它的近地点 为一 个焦点的椭圆已知它的近地点 A(离地面最近的点离地面最近的点)距地面距地面 439 km， 远 地点 ， 远 地点 B(离地面最远的点离地面最远的点)距地面距地面 2 384 km， AB 是椭圆的长轴，地球半径 约为 是椭圆的长轴，地球半径 约为 6 371 km 如图所示，以直线如图所示，以直线 AB

2、为为 x 轴，线段轴，线段 AB 的中垂线为的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系 xOy，AB 与地球交于与地球交于 C，D 两点求卫星运行的轨道方程两点求卫星运行的轨道方程(结果精确到结果精确到 1 km) 自主解答自主解答 设椭圆方程为 设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由题意知由题意知 |AC|439，|BD|2 384，|F2C|F2D|6 371. ac|OA|OF2|F2A|4396 3716 810， ac|OB|OF2|F2B|2 3846 3718 755， 解得解得 a7 782.5，c972.5， 所以所以 b7 722.a2c2 a c

3、a c 因此，卫星运行的轨道方程是因此，卫星运行的轨道方程是1. x2 7 7832 y2 7 7222 (1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大 和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点” 有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大 和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点” (2)解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直 角坐标系；然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式， 求解方程 解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直 角坐标系；然后设出待

4、求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式， 求解方程 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP， BP 运到运到 P 处，如 图所示， 处，如 图所示， PA100 m， PB150 m， ， APB60， 试说明怎样运土才能最省工， 试说明怎样运土才能最省工 解 ： 以解 ： 以 AB 所在直线为所在直线为 x 轴，轴， AB 的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系 设轴建立如图所示的直角坐标系 设 M 是分界线上的点，则有是分界

5、线上的点，则有|MA|PA|MB|PB|，于是有，于是有|MA|MB|PB| |PA|15010050.这说明这条分界线是以这说明这条分界线是以 A，B 为焦点的双曲线的右 支，在 为焦点的双曲线的右 支，在APB 中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：|AB|2|AP|2|PB|22|AP|PB|cos 6017 500，从而，从而 a25， c24 375， b2c2a23 750， 所以所求分， 所以所求分 |AB|2 4 界线方程为 ：界线方程为 ：1(x25)，于是运土时，将此双曲线左侧的土沿，于是运土时，将此双曲线左侧的土沿 AP 运到运到 P 点，点， x2 625 y2 3 75

6、0 右侧的土沿右侧的土沿 BP 运到运到 P 点最省工点最省工 抛物线的应用抛物线的应用 一辆卡车高一辆卡车高 3 m，宽，宽 1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽 AB 恰好是拱高的恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为倍，若拱口宽为 a m，求能使卡车通过的，求能使卡车通过的 a 的最小整数值的最小整数值 自主解答自主解答 以拱顶为原点，拱高所在直线为 以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，如 图所示，设抛物线方程为 轴，建立直角坐标系，如 图所示，设抛物线方程为 x22py(p0)，则点，则点 B 的坐标为，的坐标为， (

7、( a 2， ， a 4) ) 由点由点 B 在抛物线上，在抛物线上， 得得 2 2p，所以，所以 p ， ， ( ( a 2) ) ( ( a 4) ) a 2 所以抛物线方程为所以抛物线方程为 x2ay. 将点将点(0.8，y0)代入抛物线方程，得代入抛物线方程，得 y0. 0.64 a 欲使卡车通过隧道，应有 欲使卡车通过隧道，应有 |y0| 3. a 4 a 4 0.64 a 解得解得 a12.21，或，或 a0.21(舍去舍去) a 取整数，取整数，a 的最小值为的最小值为 13. 在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立 坐标系这样可使得标准方程不

8、仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式 更为简单，便于应用 在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立 坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式 更为简单，便于应用 2.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽为时，水面宽为 8 m，一 木船宽 ，一 木船宽 4 m， 高， 高 2 m，载货后木船露在水面上的部分高为，载货后木船露在水面上的部分高为 m，则水面上涨到，则水面上涨到 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 与拱顶相距多 少时，木船开始不能

9、通航？与拱顶相距多 少时，木船开始不能通航？ 解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，设抛物 线方程为 轴，建立如图所示的坐标系，设抛物 线方程为 x22py(p0)由题意知，点由题意知，点 A(4，5)在在 抛物线抛物线 x22py(p0)上，上， 162p(5)，2p. 16 5 抛物线方程为抛物线方程为 x2y(4x4) 16 5 设水面上涨， 船面两侧与抛物线拱桥接触于设水面上涨， 船面两侧与抛物线拱桥接触于 B， B时， 船开始不能通航， 设时， 船开始不能通航， 设 B(2， y)， 由 ， 由 22y，得，得

10、 y ， ， 16 5 5 4 水面与抛物线拱顶相距水面与抛物线拱顶相距 |y| 2(m)故水面上涨到与抛物线拱顶相距故水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航时，船开始不能通航 3 4 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 已知椭圆已知椭圆1(ab0)与与 x 轴的交点为轴的交点为 A1，A2，P 是椭圆上任一点，是椭圆上任一点，F 是它的一个是它的一个 x2 a2 y2 b2 焦点，证明：以线段焦点，证明：以线段 PF 为直径的圆与以线段为直径的圆与以线段 A1A2为直径的圆相切为直径的圆相切 巧思巧

11、思 判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若 判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若 M 为为 PF 的中点，则圆心距为的中点，则圆心距为|OM|. 妙解妙解 由椭圆方程 由椭圆方程1(ab0)知，知， x2 a2 y2 b2 以线段以线段 A1A2为直径的圆为为直径的圆为 x2y2a2. 设设 F1是椭圆的另外一个焦点，点是椭圆的另外一个焦点，点 M 是线段是线段 PF 的中点，的中点， 则则|MO| |PF1| (2a|PF|)a |PF|. 1 2 1 2 1 2 即以线段即以线段 A1A2为直径的圆为直径的圆(圆心为圆心为 O)与以线段与以

12、线段 PF 为直径的圆为直径的圆(圆心为圆心为 M)的圆心距等于 两圆的半径之差，于是两圆相切 的圆心距等于 两圆的半径之差，于是两圆相切 1若方程若方程1 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) x2 a2 y2 a 6 A(3，) B(，2) C(，2)(3，) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 D(3，)(6，2) 解析：要满足方程解析：要满足方程1 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的椭圆需有轴上的椭圆需有Error!Error!解得解得63. 答案：答案：D 2已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线的

13、两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别的准线分别 x2 a2 y2 b2 交于交于 A， B 两点，两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， ， AOB 的面积为， 则的面积为， 则 p( )3 A1 B.3 2 C2D3 解析：因为双曲线的离心率解析：因为双曲线的离心率 e 2，所以，所以 ba，所以双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程为 y c a 3 xx，与抛物线的准线，与抛物线的准线 x 相交于 相交于 A，B，所以，所以AOB 的的 b a 3 p 2 ( ( p 2， ， 3 2 p) ) ( ( p 2， ， 3 2 p)

14、 ) 面积为 面积为 p，又，又 p0，所以，所以 p2. 1 2 p 2 33 答案：答案：C 3过双曲线的一个焦点过双曲线的一个焦点 F2作垂直于实轴的弦作垂直于实轴的弦 PQ，Q，F1是另一焦点，若是另一焦点，若PF1Q ，则Q ，则 2 双曲线的离心率双曲线的离心率 e 等于等于( ) A.1B.22 C.1D.222 解析 ： 解析 ： PF1F2是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c，|PF1|PF2|2a,22 c2c2a，e 1.2 c a 1 21 2 答案：答案：C 4焦点在焦点在 x 轴上的椭圆，焦距轴上的椭圆，焦距|F1F2|8，离

15、心率为 ，椭圆上的点，离心率为 ，椭圆上的点 M 到焦点到焦点 F1的距离的距离 4 5 为为 2，N 为为 MF1的中点，则的中点，则|ON|(O 为坐标原点为坐标原点)的值为的值为_ 解析：解析：|F1F2|2c8，e ， ，a5， c a 4 5 |MF1|MF2|2a10，|MF1|2，|MF2|8. 又又O，N 分别为分别为 F1F2，MF1的中点，的中点， ON 是是F1F2M 的中位线，的中位线，|ON| |MF2|4. 1 2 答案：答案：4 5 设 设 F1， F2是双曲线是双曲线1(a0， b0)的左、 右焦点， 若双曲线上存在点的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 A， 使

16、， 使F1AF2 x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 90，且，且 AF13AF2，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为_ 解析：由解析：由 AF13AF2，设，设 AF2m，AF13m(m0)，则，则 2aAF1AF22m,2c m，AF2 1AF2 210 离心率离心率 e. 2c 2a 10 2 答案：答案： 10 2 6某抛物线形拱桥跨度是某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱 支撑，求其中最长支柱的长 米需用一根支柱 支撑，求其中最长支柱的长 解：建立如图所示的直角坐标系

17、，设抛物线方程为解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)， 由题意知，点由题意知，点 P(10，4)在抛物线上，在抛物线上， 1002p(4)，2p25， 即抛物线方程为即抛物线方程为 x225y. 每每 4 米需用一根支柱支撑，米需用一根支柱支撑， 支柱横坐标分别为支柱横坐标分别为6，2,2,6. 由图知，由图知，AB 是最长的支柱之一，点是最长的支柱之一，点 B 的坐标为的坐标为(2，yB)， 代入代入 x225y，得，得 yB， 4 25 AB43.84，即最长支柱的长为，即最长支柱的长为 3.84 米米 4 25 一、选择题一、选择题 1若直线若直线 kxy10

18、(kR)与椭圆 与椭圆 1 恒有公共点，则恒有公共点，则 m 的取值范围是的取值范围是( ) x2 5 y2 m A(0,1) B(0,5) C1,5)(5，)D1，) 解析：直线解析：直线 kxy10 恒过点恒过点(0,1)， 由题意知，该点在椭圆内或椭圆上，由题意知，该点在椭圆内或椭圆上， 故有故有Error!Error!解得解得 m1 且且 m5，故选，故选 C. 答案：答案：C 2 若点 若点 A 的坐标为的坐标为(3,2)， F 是抛物线是抛物线 y22x 的焦点， 点的焦点， 点 M 在抛物线上移动时， 使在抛物线上移动时， 使|MF| |MA|取得最小值的取得最小值的 M 的坐标

19、为的坐标为( ) A(0,0)B.( (1 2， ，1) ) C(1，)D(2,2)2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：设解析：设 M(x0，y0)，则，则|MF|可以看作是点可以看作是点 M 到准线的距离，当点到准线的距离，当点 M 移动到和点移动到和点 A 的 纵坐标相等时， 的 纵坐标相等时，|MF|MA|取得最小值，即取得最小值，即 y02，代入，代入 y22x，得，得 x02，即，即 M(2,2) 答案：答案：D 3 椭圆 椭圆 1 的焦点为的焦点为 F1， F2， P 为椭圆上的一点， 已知为椭圆上的一点， 已知0， 则， 则F1PF2 x2 25 y2 9 PF

20、1 PF2 的面积为的面积为( ) A9B12 C10D8 解析：解析：0，PF1PF2.PF1 PF2 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2且且|PF1|PF2|2a. 又又 a5，b3，c4. Error!Error! 2，得，得 2|PF1|PF2|10264， |PF1|PF2|18. F1PF2的面积为的面积为 S |PF1|PF2|9. 1 2 答案：答案：A 4已知双曲线的两个焦点已知双曲线的两个焦点 F1(，0)，F2(，0)，M 是此双曲线的一点，且是此双曲线的一点，且1010MF1 0，|2，则该双曲线的方程是，则该双曲线的方程是( )MF2 MF1 MF2 A.y21B

21、x2 1 x2 9 y2 9 C. 1D. 1 x2 3 y2 7 x2 7 y2 3 解析：由已知解析：由已知 MF1MF2， |MF1|2|MF2|2|F1F2|2， (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|F1F2|2， 即即(|MF1|MF2|)2(2)2436.10 |MF1|MF2|6， a3，c，b1，10 双曲线方程是双曲线方程是y21. x2 9 答案：答案：A 二、填空题二、填空题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5若曲线若曲线1 表示双曲线，则表示双曲线，则 k 的取值范围是的取值范围是_ x2 4 k y2 1 k 解析：由题意知解析：由题意知(4k)(

22、1k)0，k1 或或 k0 时， 时， 1， 25，20； x2 y2 4 4 当当 0)上的一点上的一点M(1， m)(m0)到其焦点的距离为到其焦点的距离为5， 双曲线， 双曲线y2 x2 a 1 的左顶点为的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数平行，则实数 a 的值为的值为_ 解析 ： 由题意，得解析 ： 由题意，得 1 5，p8，m4，M(1,4)，又，又 A(，0)，直线，直线 AM p 2 a 的斜率为的斜率为 kAM， ， ，a . 4 0 1a 1 a a 1 3 1 9 答案：答案：1 9 三、解答题三、解答题 高清试卷 下

23、载可打印 高清试卷 下载可打印 9.连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所 示一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所 示一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，卡车与箱共高米，卡车与箱共高4.5米，此 时，卡车能否通过此隧道，请说明理由 米，此 时，卡车能否通过此隧道，请说明理由 解：以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为解：以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐 标系，如图所示 轴，建立平面直角坐 标系，如图所示 设抛

24、物线的标准方程为设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，依题意知点，依题意知点 A(3，3)在抛物线上，在抛物线上， 322p(3)，解得，解得 p ， ， 3 2 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 x23y. 又集装箱宽又集装箱宽 3 米，当米，当 x1.5 时，时，y0.75， 即离隧道中心线即离隧道中心线 1.5 米处，隧道面离地面的距离为米处，隧道面离地面的距离为 50.754.25 米，而箱顶离地面的 高度为 米，而箱顶离地面的 高度为 4.5 米，故此时卡车不能通过此隧道米，故此时卡车不能通过此隧道 10.一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转

25、椭圆面(椭圆绕其对称轴旋 转一周形成的曲面 椭圆绕其对称轴旋 转一周形成的曲面)的一部分过对称轴的截口的一部分过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点 是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点上，片门位于另一个焦点F2上由椭圆一个 焦点 上由椭圆一个 焦点 F1发出的光线， 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点发出的光线， 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2.已知已知 BCF1F2， F1B2.8 cm， F1F24.5 cm.试建立适当的坐标系， 求截口试建立适当的坐标系， 求截口 BAC 所在椭圆的方程所在椭圆的方程 (精确到精确到 0.1 cm) 解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为 1(ab0) x2 a2 y2 b2 在在 RtBF1F2中，中，F2B.F1B2F1F2 22.824.52 由椭圆的定义， 知由椭圆的定义， 知F1BF2B2a， 所以， 所以a (F1BF2B) (2.8)4.1， b 1 2 1 2 2.824.52 3.4，a2c24.122.252 所以，所求的椭圆方程为所以，所求的椭圆方程为1. x2 4.12 y2 3.42