2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 44生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 读教材读教材填要点填要点 1优化问题优化问题 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题， 这些问题通常称为优化问题生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题， 这些问题通常称为优化问题 2解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思路 小问题小问题大思维大思维 将将 8 分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？ 提示：设一个数为提示：设一个数为 x， 则另一个数为则另一个数为 8x，则其立方和，则其立方和 yx3(8x)383

2、192x24x2，且，且 0x8， y48x192. 令令 y0，即，即 48x1920，得，得 x4. 当当 0x0， 当当 x4 时，时，y 最小最小 即分成的这两个数应为即分成的这两个数应为 4,4. 用料最省、费用最低问题用料最省、费用最低问题 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 200 m2的三级污水处理池， 由于地形限制，长、宽都不能超过 的三级污水处理池， 由于地形限制，长、宽都不能超过 16 m，如果池外周壁建造单价为每米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条 隔墙建造单价为每米 元，中间两条 隔墙建造单价为每米 2

3、48 元， 池底建造单价为每平方米元， 池底建造单价为每平方米 80 元元(池壁厚度忽略不计， 且池无盖池壁厚度忽略不计， 且池无盖). (1)写出总造价写出总造价 y(元元)与污水处理池长与污水处理池长 x(m)的函数关系式，并指出其定义域的函数关系式，并指出其定义域 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价 自主解答自主解答 (1)设长为设长为 x m，则宽为，则宽为 m 200 x 据题意据题意Error!Error! 解得解得x16， 2

4、5 2 y40024816 000 ( (2x 2200 x) ) 400 x 800x16 000. 259 200 x ( ( 25 2 x 16) ) (2)令令 y8000，解得，解得 x18. 259 200 x2 当当 x(0,18)时，函数时，函数 y 为减函数；为减函数； 当当 x(18，)时，函数时，函数 y 为增函数为增函数 又又x16. 25 2 当当 x16 时，时，ymin45 000. 当且仅当长为当且仅当长为 16 m、宽为、宽为 12.5 m 时，总造价时，总造价 y 最低为最低为 45 000 元元. 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要

5、利用导数求解相应函数 的最小值，此时根据 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数 的最小值，此时根据 f(x)0 求出极值点求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函 数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 后，函 数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 1.已知已知 A，B 两地相距两地相距 200 千米，一只船从千米，一只船从 A 地逆水航行到地逆水航行到 B 地，水速为地，水速为 8 千米千米/时，船在 静水中的航行速度为 时，船在 静水中的航行速度为

6、 v 千米千米/时时(8vv0) 若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航 行速度的平方成正比，当 若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航 行速度的平方成正比，当 v12(千米千米/时时)时，船每小时航行所需的燃料费为时，船每小时航行所需的燃料费为 720 元为了使 全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？ 元为了使 全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？ 解：设船每小时航行所需的燃料费为解：设船每小时航行所需的燃料费为 y1元，比例系数为元，比例系数为 k(k0)，则，则 y1kv2. 当当 v12 时，时，y1720，720k122，得，得 k5. 设全程燃料费为设全程燃料费为

7、 y 元，元， 由题意，得由题意，得 yy1， 200 v 8 1 000v2 v 8 y. 2 000v v8 1 000v2 v 8 2 1 000v216 000v v 8 2 令令 y0，解得，解得 v0(舍去舍去)或或 v16. 当当 v016 时，时，v(8,16)，y0，即，即 y 为减函数；为减函数； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 v(16，v0，y0，即，即 y 为增函数，为增函数， 故故 v16(千米千米/时时)时，时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； 当当 v016 时，时，v(8，v0，y0，即，

8、即 y 在在(8，v0上为减函数，上为减函数， 故当故当 vv0时，时，ymin，此时全程燃料费最省，此时全程燃料费最省 1 000v2 0 v0 8 综上可得，若综上可得，若 v016，则当，则当 v16(千米千米/时时)时，全程燃料费最省，为时，全程燃料费最省，为 32 000 元；若元；若 v016， 则当 ， 则当 vv0时，全程燃料费最省，为元时，全程燃料费最省，为元. 1 000v2 0 v08 利润最大、效率最高问题利润最大、效率最高问题 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨吨)与每吨产品的价格与每吨产品的价格 p(元元/吨吨)

9、之 间的关系式为： 之 间的关系式为：p24 200 x2，且生产，且生产 x 吨的成本为：吨的成本为：R50 000200x(元元)问该厂每月问该厂每月 1 5 生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 自主解答自主解答 依题意，每月生产 依题意，每月生产 x 吨时的利润为：吨时的利润为： f(x)x(50 000200x) ( (24 200 1 5x 2) ) x324 000x50 000(x0) 1 5 由由 f(x) x224 000， 3 5 令令 f(x)0，解得，解得 x1200，x2200(舍去舍去) 因为因为 f

10、(x)在在0，)内有意义，则有且只有当内有意义，则有且只有当 x200 时时 f(x)0，且它就是最大值点，最 大值为 ，且它就是最大值点，最 大值为 f(200) 200324 00020050 0003 150 000. 1 5 故每月生产故每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元万元. 实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函 数的最大值，此时根据 实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函 数的最大值，此时根据 f(x)0 求出极值点求出极值点(注意根据实际意义舍弃

11、不合适的极值点注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函 数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值 ，函 数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值 2.某产品按质量分为某产品按质量分为 10 个档次，生产第个档次，生产第 1 档次档次(即最低档次即最低档次)的利润是每件的利润是每件 8 元，每提高一 个档次，利润每件增加 元，每提高一 个档次，利润每件增加 2 元，但在一天内产量减少元，但在一天内产量减少 3 件在一天内，最低档次的产品可生 产 件在一天内，最低档次的产品可生 产 60 件问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？最大利润是多少？件问在一天内，生产第几档

12、次的产品的总利润最大？最大利润是多少？ 解：设在一天内，生产第解：设在一天内，生产第 x(1x10，xN )档次的产品的总利润为 档次的产品的总利润为 y. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 依题意，得依题意，得 y82(x1)603(x1) 6x2108x378(1x10，xN )， ， y12x108，令，令 y12x1080，解得，解得 x9. 因为因为 x9 符合题意，且符合题意，且 y 只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第 9 档次 的产品的总利润最大，最大利润为 档次 的产品的总利润最大，最大利润为 864

13、元元. 面积、容积的最值问题面积、容积的最值问题 请你设计一个包装盒如图所示，请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴 影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 的正方形硬纸片，切去阴 影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于 图中的点 四个点重合于 图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F 在在 AB 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点设 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点设 AEFBx(cm) (1)若广告

14、商要 求包装盒的侧面积 若广告商要 求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问最大，试问 x 应取何值？应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值 自主解答自主解答 设包装盒的高为 设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为，底面边长为 a(cm) 由已知得由已知得 ax，h(30x)，0x30.2 60 2x 2 2 (1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800， 所以当所以当 x15 时，时，S 取得最大值取得最大值 (2)Va2h

15、2(x330x2)，V6x(20x)22 由由 V0 得得 x0(舍舍)或或 x20. 当当 x(0,20)时，时，V0；当；当 x(20,30)时，时，V0. 所以当所以当 x20 时，时，V 取得极大值，也是最大值取得极大值，也是最大值 此时 此时 .即包装盒的高与底面边长的比值为即包装盒的高与底面边长的比值为 . h a 1 2 1 2 一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值 点或函数 在给定区间内只有一个极值 点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使在开区间上只有一个点使 f(x)0， 则只需要根据

16、实际意义判断该值是最大值， 则只需要根据实际意义判断该值是最大值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较 3.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为 2 400 m2的矩形休闲广 场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域， 周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)， 道路的宽度均为 的矩形休闲广 场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域， 周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)， 道路的宽度均为 2 m 怎 样设计矩形休闲

17、广场的长和宽， 才能使绿化区域的总面积最大？并求 出最大面积 怎 样设计矩形休闲广场的长和宽， 才能使绿化区域的总面积最大？并求 出最大面积 解：设休闲广场的长为解：设休闲广场的长为 x m，则宽为，则宽为 m，绿化区域的总面积为，绿化区域的总面积为 S(x) m2. 2 400 x 则则 S(x)(x6)2 424 ( ( 2 400 x 4) ) ( (4x 6 2 400 x ) ) 2 4244，x(6,600) ( ( x 3 600 x ) ) S(x)4， ( (1 3 600 x2 ) ) 4 x60 x 60 x2 令令 S(x)0，得，得 60，y0， y2(00，f(x)

18、为增函数；为增函数； 1 2 当当 0；当；当 3004 时，时，l0. 故当故当 x4 时，时，l 有极小值，也是最小值，且最小值为有极小值，也是最小值，且最小值为 816. 因此，当箱底是边长为因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816 元元 答案：答案：D 4 用总长为 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架， 若所制作容器的底面一边比高 长出 的钢条制作一个长方体容器的框架， 若所制作容器的底面一边比高 长出 0.5 m，则当高为，则当高为_m 时，容器的容积最大时，容器的容积最大 解析：设

19、高为解析：设高为 x 米，则米，则 Vx(x0.5)( (14.8 4 0.52x) ) 2x32.2x21.6x，x(0,1.6)， V6x24.4x1.6，令，令 V0， 解得解得 x1 或或 x(舍去舍去) 4 15 当当 00，当，当 10)，则，则 l20，解得，解得 y16(另一负根舍去另一负根舍去)， 512 y 512 y2 当当 016 时，时，l0，所以当，所以当 y16 时，函数取得极小值，也就是最小 值，此时 时，函数取得极小值，也就是最小 值，此时 x32. 512 16 答案：答案：A 4某商场从生产厂家以每件某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零

20、售价定为元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量 为 Q 件，则销售量 Q 与零售价 元，销售量 为 Q 件，则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系：Q有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为则最大毛利润为(毛利润 销售收入进货支出 毛利润 销售收入进货支出)( ) A30 元元 B60 元元 C28 000 元元 D23 000 元元 解析：设毛利润为解析：设毛利润为 L(p)，由题意知，由题意知 L(p)pQQ20QQQQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以所以 L(p)3p2300p11 700. 令令

21、 L(p)0，解得，解得 p30 或或 p130(舍去舍去) 此时，此时，L(30)23 000. 因为在因为在 p30 附近的左侧附近的左侧 L(p)0，右侧，右侧 L(p)0. 250 000 x 500 x 设总利润为设总利润为 y 万元，万元， 则则 yx1 200x3500x31 200. 500 x 2 75 x 2 75 求导数得，求导数得，yx2. 250 x 2 25 令令 y0，得，得 x25. 故当故当 x0；当；当 x25 时，时，y0， 故故 x5 是是 f(x)的最小值点，的最小值点， 对应的最小值为对应的最小值为 f(5)6570. 800 15 5 当隔热层修建

22、当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值厚时，总费用达到最小值 70 万元万元 10 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度不计厚度) 设该蓄水池的底面半径为 设该蓄水池的底面半径为 r 米， 高为 米， 高为 h 米，体积为米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元元/平 方米， 底面的建造成本为 平 方米， 底面的建造成本为 160 元元/平方米， 该蓄水池的总建造成本为平方米， 该蓄水池的总建造成本为 12 000 元元( 为圆周率为圆周率) (1)将将

23、V 表示成表示成 r 的函数的函数 V(r)，并求该函数的定义域；，并求该函数的定义域； (2)讨论函数讨论函数 V(r)的单调性，并确定的单调性，并确定 r 和和 h 为何值时该蓄水池的体积最大为何值时该蓄水池的体积最大 解：解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为元，底面的总成本为 160r2元，元， 所以蓄水池的总成本为所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元元 根据题意得根据题意得 200rh160r212 000， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以所以 h(3004r2)， 1 5r 从而从而 V(r)r2h (300r4r3) 5 由由 h0，且，且 r0 可得可得 00，故，故 V(r)在在(0,5)上为增函数；上为增函数； 当当 r(5,5)时，时，V(r)0，故，故 V(r)在在(5,5)上为减函数上为减函数33 由此可知，由此可知，V(r)在在 r5 处取得最大值，此时处取得最大值，此时 h8， 即当即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大时，该蓄水池的体积最大