2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分 第一层级 基础送分专题二 平面向量 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 基础送分专题二 平面向量基础送分专题二 平面向量 平面向量的基本运算平面向量的基本运算 题组练透题组练透 1 (2018全国卷全国卷)在在ABC 中，中， AD 为为 BC 边上的中线，边上的中线， E 为为 AD 的中点， 则的中点， 则( )EB A. B. 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC C. D. 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 解析 ： 选解析 ： 选A 法一 ： 作出示意图如图所示 法一 ： 作出示意图如图所示 EB ED DB 1 2 ()(). AD 1 2 CB 1 2 1 2 AB

2、AC 1 2 AB AC 3 4 AB 1 4 AC 故选故选 A. 法二 ： 不妨设法二 ： 不妨设ABC 为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且A ， ， ABAC1. 2 建立如图所示的平面直角坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系， 则则 A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)， D，E.故故(1,0)，(0,1)， ( 1 2， ， 1 2) ( 1 4， ， 1 4) AB AC (1,0)，EB ( 1 4， ， 1 4) ( 3 4， ， 1 4) 即即.EB 3 4 AB 1 4 AC 2已知平面内不共线的四点已知平面内不共线的四点 O，A，B，C 满足，则满足，则|OB

3、1 3 OA 2 3 OC AB BC ( ) A13 B31 C12 D21 解析：选解析：选 D 由，得 由，得2()，即，即2，OB 1 3 OA 2 3 OC OB OA OC OB AB BC 所以所以|21，故选，故选 D.AB BC 3(2018全国卷全国卷)已知向量 a已知向量 a(1,2)，b，b(2，2)，c，c(1，)若 c若 c(2abab)，则，则 _. 解析：解析：2abab(4,2)，因为 c，因为 c(2abab)， 所以所以 42，解得，解得 . 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案：答案：1 2 4 (2018太原模拟太原模拟)在正方形在

4、正方形 ABCD 中，中， M， N 分别是分别是 BC， CD 的中点， 若的中点， 若AC AM ，则实数，则实数 _.AN 解析：如图，解析：如图，AM AB BM AB 1 2 BC DC 1 2 BC ， AN AD DN BC 1 2 DC 由得，由得，BC 4 3 AN 2 3 AM DC 4 3 AM 2 3 AN ，AC AB BC DC BC 4 3 AM 2 3 AN 4 3 AN 2 3 AM 2 3 AM 2 3 AN ， ， ， ， ， .AC AM AN 2 3 2 3 4 3 答案：答案：4 3 题后悟通题后悟通 快 审 题 快 审 题 1.看到向量的线性运算，

5、想到三角形和平行四边形法则看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则 2.看到向量平行，想到向量平行的条件看到向量平行，想到向量平行的条件 准 解 题 准 解 题 记牢向量共线问题的记牢向量共线问题的 4 个结论个结论 (1)若 a 与 b 不共线且若 a 与 b 不共线且 aab，则b，则 0. (2)直线的向量式参数方程 ：直线的向量式参数方程 ： A，P，B 三点共线三点共线(1t) t (O 为平面为平面O OP P OA OB 内任一点，内任一点，tRR). (3) (， 为实数为实数)，若，若 A，B，C 三点共线，则三点共线，则 1.OA OB OC (4)若 a若 a(x1

6、， y1)， b， b(x2， y2)， 则 ab， 则 abx1y2x2y1， 当且仅当， 当且仅当 x2y20 时， ab时， ab x1 x2 . y1 y2 平面向量的数量积平面向量的数量积 题组练透题组练透 1(2018全国卷全国卷)已知向量 a，b 满足已知向量 a，b 满足|a a|1，a，abb1，则 a，则 a(2abab)( ) A4 B3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C2 D0 解析：选解析：选 B a a(2abab)2a a2aabb2|a a|2aab b. |a a|1，a，abb1，原式，原式21213. 2已知向量 m已知向量 m(t1,1)，

7、n，n(t2,2)，若，若(mnmn)(mnmn)，则，则 t( ) A0 B3 C3 D1 解析 ： 选解析 ： 选 B 法一 ： 由 法一 ： 由(mnmn)(mnmn)可得可得(mnmn)(mnmn)0， 即 m， 即 m2nn2， 故， 故(t1)21 (t2)24，解得，解得 t3. 法二：mn法二：mn(2t3,3)，mn，mn(1，1)，(mnmn)(mnmn)，(2t3)30， 解得 ， 解得 t3. 3在在ABC 中，中，ABC90 ， ，AB6，点，点 D 在边在边 AC 上，且上，且 2，则，则AD DC BA BD 的值是的值是( ) A48 B24 C12 D6 解析

8、 ： 选解析 ： 选 B 法一 ： 由题意得， 法一 ： 由题意得，0，(BA BC BA CA BA BA )|236，()0BC BA BA BD BA BC CD BA ( 2 3) 2 3 3624. 法二 ：法二 ： (特例法特例法)若若ABC为等腰直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则为等腰直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(6,0)， C(0,6) 由由 2，得，得 D(4,2)AD DC (6,0)(4,2)24.BA BD 4.(2018贵阳摸底考试贵阳摸底考试)如图，在边长为如图，在边长为 1 的正方形组成的网格 中，平行四边形 的正方形组成的网格

9、 中，平行四边形 ABCD 的顶点的顶点 D 被阴影遮住，找出被阴影遮住，找出 D 点的位置，则点的位置，则 的值为的值为( )AB AD A10 B11 C12 D13 解析：选解析：选 B 以点 以点 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐 标系， 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐 标系，A(0,0)， B(4,1)， C(6,4)， 根据四边形， 根据四边形 ABCD 为平行四边形， 可以为平行四边形， 可以 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得到得到 D(2,3)， 所以， 所以(4,1)(2,3)8311.故选故选 B.AB AD 5 (2019 届高三届高三益阳、

10、湘潭调研益阳、 湘潭调研)已知非零向量 a， b 满足 a已知非零向量 a， b 满足 abb0， |abab|t|a a|， 若 ab 与 ab 的夹角为 ，则 ， 若 ab 与 ab 的夹角为 ，则 t 的值为的值为_ 3 解析 ： 因为a解析 ： 因为abb0， 所以， 所以(abab)2(abab)2， 即， 即|abab|abab|.又又|abab|t|a a|， 所以， 所以|abab|a b a b|t|a a|.因为ab与ab的夹角为 ， 所以因为ab与ab的夹角为 ， 所以cos ， 整理得 ， 即， 整理得 ， 即(2 3 a b a b |ab|a b| 3 |a|2|b

11、|2 t2|a|2 1 2 t2)|a a|22|b b|2.又又|abab|t|a a|，平方得，平方得|a a|2|b b|2t2|a a|2，所以，所以|a a|2t2|a a|2，解得，解得 t2 . 2 t2 |a| 2 2 4 3 因为因为 t0，所以，所以 t. 2 3 3 答案：答案： 2 3 3 6在矩形在矩形 ABCD 中，中，AB2，AD1.边边 DC 上的动点上的动点 P(包含点包含点 D，C)与与 CB 延长线上 的动点 Q 延长线上 的动点 Q(包含点包含点 B)满足满足|，则，则的最小值为的最小值为_DP BQ Q PA PQ Q 解析：以点解析：以点 A 为坐标

12、原点，分别以为坐标原点，分别以 AB， AD 所在直线为所在直线为 x 轴，轴，y 轴 建立如图所示的平面直角坐标系， 轴 建立如图所示的平面直角坐标系， 设设 P(x,1)，Q，Q(2，y)， 由题意知由题意知 0x2，2y0. |，DP BQ Q |x|y|，xy. (x，1)，(2x，y1)，PA PQ Q x(2x)(y1)x22xy1x2x1 2 ， ，PA PQ Q (x 1 2) 3 4 当当 x 时， 时，取得最小值，为取得最小值，为 . 1 2 PA PQ Q 3 4 答案：答案：3 4 题后悟通题后悟通 快 审 题 快 审 题 1.看到向量垂直，想到其数量积为零看到向量垂直

13、，想到其数量积为零 2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式 3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 系求最值系求最值 用 妙 法 用 妙 法 特例法妙解图形中平面向量数量积问题特例法妙解图形中平面向量数量积问题 解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再 建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解(如第 3 题可取ABC为等腰直角三角 形建系

14、) 解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再 建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解(如第 3 题可取ABC为等腰直角三角 形建系) 避 误 区 避 误 区 两个向量夹角的范围是两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可 能是 ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可 能是 0 或或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还 要求不能反向共线 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还 要求不能反向共线. 专 专题题过过关关检检测 测 一、选择题一、选择题 1设 a设 a

15、(1,2)，b，b(1,1)，ca，cakb b.若 bc，则实数若 bc，则实数 k 的值等于的值等于( ) A B 3 2 5 3 C. D. 5 3 3 2 解析：选解析：选 A 因为 ca 因为 cakbb(1k,2k)，又 bc，所以，又 bc，所以 1(1k)1(2k)0， 解得 ， 解得 k . 3 2 2已知向量 a已知向量 a(1,1)，2abab(4,2)，则向量 a，b 的夹角的余弦值为，则向量 a，b 的夹角的余弦值为( ) A. B 3 10 10 3 10 10 C. D 2 2 2 2 解析：选解析：选 C 因为向量 a 因为向量 a(1,1)，2abab(4,2

16、)，所以 b，所以 b(2,0)，则向量 a，b 的夹角的 余弦值为 ，则向量 a，b 的夹角的 余弦值为. 1 21 0 2 2 2 2 3已知在平面直角坐标系中，点已知在平面直角坐标系中，点 A(0,1)，向量，向量(4，3)，(7，4)，AB BC 则点则点 C 的坐标为的坐标为( ) A(11,8) B(3,2) C(11，6) D(3,0) 解析：选解析：选 C 设 设 C(x，y)，在平面直角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点 A(0,1)，向量，向量(4，3)，AB (7， ， 4)， ， (11， ， 7)， ， Error!解得解得 x11， y6， 故， 故 C(BC A

17、C AB BC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11，6) 4在等腰梯形在等腰梯形 ABCD 中，中，2，M 为为 BC 的中点，则的中点，则( )AB CD AM A. B. 1 2 AB 1 2 AD 3 4 AB 1 2 AD C. D. 3 4 AB 1 4 AD 1 2 AB 3 4 AD 解析：选解析：选 B 因为 因为2，所以，所以2.又又 M 是是 BC 的中点，所以的中点，所以 (AB CD AB DC AM 1 2 ) ().AB AC 1 2 AB AD DC 1 2( 1 2) 3 4 AB 1 2 AD 5(2019 届高三届高三武汉调研武汉调研)设非零向

18、量 a，b 满足设非零向量 a，b 满足|2abab|2abab|，则，则( ) Aabab B|2a a|b b| Cabab D|a a|b b| 解析 ： 选解析 ： 选 A 法一 ： 法一 ： |2abab|2abab|， ， (2abab)2(2abab)2， 化简得 a， 化简得 abb0， ab， 故选 ， ab， 故选 A. 法二 ： 记c法二 ： 记c2a， 则由a， 则由|2abab|2abab|得得|cbcb|cbcb|， 由平行四边形法则知， 以向量c， b 为邻边的平行四边形的对角线相等，该四边形为矩形，故 cb，即 ab，故选 ， 由平行四边形法则知， 以向量c，

19、b 为邻边的平行四边形的对角线相等，该四边形为矩形，故 cb，即 ab，故选 A. 6已知已知(2,1)，点，点 C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为，则向量在方向上的投影为( )AB AB CD A B3 3 2 2 5 C. D3 3 2 2 5 解析 ： 选解析 ： 选 C 因为点 因为点 C(1,0)，D(4,5)，所以，所以(5,5)，又，又(2,1)，所以向量，所以向量CD AB AB 在方向上的投影为在方向上的投影为|cos， ， .CD AB AB CD | 15 5 2 3 2 2 7已知 a 和 b 是非零向量，ma已知 a 和 b 是非零向量，matb b(

20、tRR)，若，若|a a|1，|b b|2，当且仅当，当且仅当 t 时， 时，|mm| 1 4 取得最小值，则向量 a，b 的夹角取得最小值，则向量 a，b 的夹角 为为( ) A. B. 6 3 C. D. 2 3 5 6 解析 ： 选解析 ： 选 C 由 ma 由 matb， 及b， 及|a a|1， |b b|2， 得， 得|mm|2(aatb b)24t24tcos 1(2tcos 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 )2sin2，由题意得，当，由题意得，当 t 时， 时，cos ，则向量 a，b 的夹角 ，则向量 a，b 的夹角 为，故选为，故选 C. 1 4 1 2 2 3

21、 8 在 在ABC 中，中， |， AB2， AC1， E， F 为为 BC 的三等分点，的三等分点，AB AC AB AC 则则( )AE AF A. B. 8 9 10 9 C. D. 25 9 26 9 解析：选解析：选 B 由 由|知，以知，以 A 为坐标原点，为坐标原点，AB AC AB AC AB AC AB AC 的方向分别为的方向分别为 x 轴、轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨设，不妨设 E ，F，则，则 . ( 4 3， ， 1 3) ( 2 3， ， 2 3) AE AF ( 4 3，

22、， 1 3) ( 2 3， ， 2 3) 8 9 2 9 10 9 9已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xOy 中，中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量三点共线且向量OP3 与向量 a与向量 a(1，1)共线，若共线，若(1) ，则，则 ( )OP3 OP1 OP2 A3 B3 C1 D1 解析 ： 选解析 ： 选 D 设 设(x， y)， 则由a， 知， 则由a， 知 xy0， 于是， 于是(x， ， x) 若 若OP3 OP3 OP3 OP3 (1)， 则有， 则有(x， ， x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)， 即， 即Error!所以所以

23、 41OP1 OP2 320，解得，解得 1. 10(2018兰州诊断考试兰州诊断考试)在在ABC 中，中，M 是是 BC 的中点，的中点，AM1，点，点 P 在在 AM 上且满 足 上且满 足2，则，则()等于等于( )AP PM PA PB PC A B 4 9 4 3 C. D. 4 3 4 9 解析：选解析：选 A 如图， 如图，2，AP PM AP PB PC () 2， ，PA PB PC PA AM1 且且2，| ， ，AP PM PA 2 3 () .PA PB PC 4 9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11 (2019 届高三届高三南宁摸底联考南宁摸底联考)已

24、知已知 O 是是ABC 内一点，内一点，0，OA OB OC AB 2 且且BAC60 ，则 ，则OBC 的面积为的面积为( )AC A. B. 3 3 3 C. D. 3 2 2 3 解析：选解析：选 A 0，O 是是ABC 的重心，于是的重心，于是 S OBC S ABC. OA OB OC 1 3 2，|cosBAC2，BAC60 ， ，|4.AB AC AB AC AB AC S ABC |sinBAC，OBC 的面积为的面积为. 1 2 AB AC 3 3 3 12(2018南昌调研南昌调研)已知已知 A，B，C 是圆是圆 O： x2y21 上的动点，且上的动点，且 ACBC，若点，

25、若点 M 的坐标是的坐标是(1,1)，则，则|的最大值为的最大值为( )MA MB MC A3 B4 C31 D3122 解析：选解析：选 D 法一： 法一：A，B，C 是圆是圆 O：x2y21 上的动点，且上的动点，且 ACBC， 设设 A(cos ，sin )，B(cos ，sin )，C(cos ，sin )，其中，其中 02，02， M(1,1)，(cos 1，sin 1)(cos 1，sin 1)(cos MA MB MC 1，sin 1)(cos 3，sin 3)， |MA MB MC cos 3 2 sin 3 2 cos26cos 9sin26sin 9 ，196 2sin(

26、4) 当且仅当当且仅当sin1时，时， |取得最大值， 最大值为取得最大值， 最大值为3 ( 4) MA MB MC 196 22 1. 法二：连接法二：连接 AB，ACBC，AB 为圆为圆 O 的直径，的直径， 2，MA MB MO |2|2|2|，MA MB MC MO MC MO MC 2MC 易知点易知点 M 与圆上动点与圆上动点 C 的距离的最大值为的距离的最大值为1，2 |1，|31，故选，故选 D.MC 2MA MB MC 2 二、填空题二、填空题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 13(2018潍坊统一考试潍坊统一考试)已知单位向量 e已知单位向量 e1，e，e2，且

27、e，且e1，e，e2 ，若向量 ae ，若向量 ae12e e2， 3 则则|a a|_. 解析 ： 因为解析 ： 因为|e e1|e e2|1， e， e1，e，e2 ，所以 ，所以|a a|2|e e12e e2|214|e e1|e e2|cos 41 3 3 411 43，即，即|a a|. 1 2 3 答案：答案： 3 14 已知 a， b 是非零向量， 已知 a， b 是非零向量， f(x)(a axbb)(b bxaa)的图象是一条直线，的图象是一条直线， |abab|2， |a a|1， 则 ， 则 f(x)_. 解析：由解析：由 f(x)aab bx2(a a2bb2)xaa

28、b 的图象是一条直线，可得 ab 的图象是一条直线，可得 abb0.因为因为|abab|2， 所以 a ， 所以 a2bb24. 因为因为|a a|1，所以 a，所以 a21，b，b23，所以，所以 f(x)2x. 答案：答案：2x 15 在 在ABC 中，中， N 是是 AC 边上一点且，边上一点且， P 是是 BN 上一点， 若上一点， 若mAN 1 2 NC AP AB ，则实数，则实数 m 的值是的值是_ 2 9 AC 解析 ： 如图， 因为， 所以， 所以解析 ： 如图， 因为， 所以， 所以mAN 1 2 NC AN 1 3 AC AP AB m.因为因为 B，P，N 三点共线，所

29、以三点共线，所以 m 1，则，则 m 2 9 AC AB 2 3 AN 2 3 . 1 3 答案：答案：1 3 16(2019 届高三届高三唐山五校联考唐山五校联考)在在ABC 中，中，(3)，则角，则角 A 的最大值的最大值AB AC CB 为为_ 解析：因为解析：因为(3)，所以，所以(3)0，即，即(3)(AB AC CB AB AC CB AB AC AB )0，则，则 2 43 2 0，即，即 cos A2，当且，当且AC AB AC AB AC |23|2 4| | 4| 3| 4| 3 16 3 2 仅当仅当|时等号成立因为时等号成立因为 0A，所以，所以 0A ，即角 ，即角 A 的最大值为的最大值为 .AB 3 AC 6 6 答案：答案： 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印