《2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版：专题跟踪检测（十四） 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版：专题跟踪检测（十四） 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题跟踪检测（十四）专题跟踪检测（十四） 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 1(2018武汉调研武汉调研)已知抛物线已知抛物线 C：x22py(p0)和定点和定点 M(0,1)，设过点，设过点 M 的动直线交 抛物线 的动直线交 抛物线 C 于于 A，B 两点，抛物线两点，抛物线 C 在在 A，B 处的切线的交点为处的切线的交点为 N. (1)若若 N 在以在以 AB 为直径的圆上，求为直径的圆上，求 p 的值；的值； (2)若若ABN 的面积的最小值为的面积的最小值为 4，求抛物线，求抛物线 C 的方程的方程 解：设直线解：设直线 AB：ykx
2、1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线将直线 AB 的方程代入抛物线的方程代入抛物线 C 的方程得的方程得 x22pkx2p0， 则则 x1x22pk，x1x22p. (1)由由 x22py 得得 y ，则 ，则 A，B 处的切线斜率的乘积为 ，处的切线斜率的乘积为 ， x p x1x2 p2 2 p 点点 N 在以在以 AB 为直径的圆上，为直径的圆上， ANBN， 1，p2. 2 p (2)易得直线易得直线 AN：yy1(xx1)， x1 p 直线直线 BN：yy2(xx2)， x2 p 联立联立Error!结合式，结合式， 解得解得Error!即即 N(pk，1) 所以所以|A
3、B|x2x1|1k2 1k2 x 1 x2 24x1x2 ，1k24p2k28p 点点 N 到直线到直线 AB 的距离的距离 d， |pk22| 1 k2 则则 S ABN |AB|d2， 1 2 p pk2 2 3 2p 当当 k0 时，取等号，时，取等号， ABN 的面积的最小值为的面积的最小值为 4， 24，p2，2p 故抛物线故抛物线 C 的方程为的方程为 x24y. 2(2019 届高三届高三河北“五个一名校联盟”模拟河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆中，已知椭圆 C ： ： y21， 点， 点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)
4、是椭圆是椭圆 C 上两个动点， 直线上两个动点， 直线 OP， OQ 的斜率分别为的斜率分别为 k1， k2， x2 4 若若 m，n，mn0. ( x1 2 ， ，y1) ( x2 2 ， ，y2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求证：求证：k1k2 ； ； 1 4 (2)试探求试探求POQ 的面积的面积 S 是否为定值，并说明理由是否为定值，并说明理由 解：解：(1)证明：证明：k1，k2存在，存在，x1x20， mn0，y1y20， x1x2 4 k1k2 . y1y2 x1x2 1 4 (2)当直线当直线 PQ 的斜率不存在，的斜率不存在， 即即 x1x2，y1y2
5、时，时， 由 ，得由 ，得y 0， y1y2 x1x2 1 4 x2 1 4 2 1 又由又由 P(x1，y1)在椭圆上，在椭圆上， 得得y 1， x2 1 4 2 1 |x1|，|y1|，2 2 2 S POQ |x1|y1y2|1. 1 2 当直线当直线 PQ 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为的方程为 ykxb(b0) 由由Error!得得(4k21)x28kbx4b240， 64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0， x1x2，x1x2. 8kb 4k21 4b24 4k21 y1y20， x1x2 4 (kx1b)(kx2b)0， x1x2
6、4 得得 2b24k21，满足，满足 0. S POQ |PQ| 1 2 |b| 1 k2 |b| 1 2 x 1 x2 24x1x2 2|b|1. 4k21b2 4k21 POQ 的面积的面积 S 为定值为定值 3.(2018长春质检长春质检)如图， 在矩形如图， 在矩形 ABCD 中，中， |AB|4， |AD|2， O 为为 AB 的中点，的中点，P，Q 分别是分别是 AD 和和 CD 上的点， 且满足， 直线上的点， 且满足， 直线 AQ |AP| |AD| |DQ| |DC| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 与与 BP 的交点在椭圆的交点在椭圆 E：1(ab0)上上 x2
7、 a2 y2 b2 (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)设设 R 为椭圆为椭圆 E 的右顶点，的右顶点，M 为椭圆为椭圆 E 第一象限部分上一点，作第一象限部分上一点，作 MN 垂直于垂直于 y 轴，垂 足为 轴，垂 足为 N，求梯形，求梯形 ORMN 面积的最大值面积的最大值 解：解：(1)设设 AQ 与与 BP 的交点为的交点为 G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)， 由题可知， 由题可知， . y1 2 x12 4 kAGkAQ，kBGkBP， ， ， ， y x 2 2 x12 y x 2 y1 4 从而有 ，整理得从而有 ，整理得y21， y2 x24 y1 2
8、x1 2 1 4 x2 4 即椭圆即椭圆 E 的方程为的方程为y21. x2 4 (2)由由(1)知知 R(2,0)，设，设 M(x0，y0)，则，则 y0， 1 2 4 x2 0 从而梯形从而梯形 ORMN 的面积的面积 S (2x0)y0， 1 2 1 4 4 x2 0 2 x0 2 令令 t2x0，则，则 20，u4t3t4单调递增，单调递增， 当当 t(3,4)时，时，u0)， 直线， 直线 xmy3 与与 E 交于交于 A， B 两点， 且两点， 且6，OA OB 其中其中 O 为坐标原点为坐标原点 (1)求抛物线求抛物线 E 的方程；的方程； (2)已知点已知点 C 的坐标为的坐标
9、为(3,0)， 记直线， 记直线 CA， CB 的斜率分别为的斜率分别为 k1， k2， 证明 ：， 证明 ：2m2 1 k2 1 1 k2 2 为定值为定值 解：解：(1)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立联立Error!消去消去 x，整理得，整理得 y22pmy6p0， 则则 y1y22pm，y1y26p，x1x29， y 1y2 2 4p2 由由x1x2y1y296p6，OA OB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得解得 p ，所以 ，所以 y2x. 1 2 (2)证明：由题意得证明：由题意得 k1， y1 x13 y1 my16 k2， y2 x23 y2
10、my26 所以所以m ， ，m ， ， 1 k1 6 y1 1 k2 6 y2 所以所以2m2 2 2 2m2 1 k2 1 1 k2 2 (m 6 y1) (m 6 y2) 2m212m362m2 ( 1 y1 1 y2)( 1 y2 1 1 y2 2) 12m36. y1y2 y1y2 y 1 y2 22y1y2 y2 1y2 2 由由(1)可知：可知：y1y22pmm，y1y26p3， 所以所以2m212m3624， 1 k2 1 1 k2 2 ( m 3) m26 9 所以所以2m2为定值为定值 1 k2 1 1 k2 2 5(2018惠州调研惠州调研)已知已知 C 为圆为圆(x1)2
11、y28 的圆心，的圆心，P 是圆上的动点，点是圆上的动点，点 Q 在圆的 半径 在圆的 半径 CP 上，且有点上，且有点 A(1,0)和和 AP 上的点上的点 M，满足，满足0，2.MQ AP AP AM (1)当点当点 P 在圆上运动时，求点在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；的轨迹方程； (2)若斜率为若斜率为 k 的直线的直线 l 与圆与圆 x2y21 相切， 与相切， 与(1)中所求点中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点的轨迹交于不同的两点 F， H，O 是坐标原点，且 是坐标原点，且 ，求 ，求 k 的取值范围的取值范围 3 4 OF OH 4 5 解：解：(1)由题意知由题意知 MQ
12、 是线段是线段 AP 的垂直平分线，的垂直平分线， 所以所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，2 所以点所以点 Q 的轨迹是以点的轨迹是以点 C，A 为焦点，焦距为为焦点，焦距为 2，长轴长为，长轴长为 2的椭圆，的椭圆，2 所以所以 a，c1，b1，2a2c2 故点故点 Q 的轨迹方程是的轨迹方程是y21. x2 2 (2)设直线设直线 l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)， 直线直线 l 与圆与圆 x2y21 相切相切1t2k21. |t| k21 联立联立Error!(12k2)x24ktx2t220， 则则 16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21
13、)8k20k0， x1x2，x1x2， 4kt 1 2k2 2t22 1 2k2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以所以x1x2y1y2OF OH (1k2)x1x2kt(x1x2)t2 ktt2 1 k2 2t 2 2 1 2k2 4kt 1 2k2 k21 1 k2 2k 2 1 2k2 4k2 k 2 1 1 2k2 ， 1 k2 1 2k2 所以 所以 k2 |k|， 3 4 1 k2 1 2k2 4 5 1 3 1 2 3 3 2 2 所以所以k或或k. 2 2 3 3 3 3 2 2 故故 k 的取值范围是的取值范围是. 2 2 ， ， 3 3 3 3 ， ， 2 2
14、 6.如图所示，设椭圆如图所示，设椭圆 M：1(ab0)的左顶点为的左顶点为 A，中心为，中心为 O， x2 a2 y2 b2 若椭圆若椭圆 M 过点过点 P，且，且 APOP. ( 1 2， ， 1 2) (1)求椭圆求椭圆 M 的方程；的方程； (2)若若APQ 的顶点的顶点 Q 也在椭圆也在椭圆 M 上，试求上，试求APQ 面积的最大值；面积的最大值； (3)过点过点 A 作两条斜率分别为作两条斜率分别为 k1，k2的直线交椭圆的直线交椭圆 M 于于 D，E 两点，且两点，且 k1k21，求证： 直线 ，求证： 直线 DE 过定点过定点 解：解：(1)由由 APOP，可知，可知 kAPk
15、OP1. 又点又点 A 的坐标为的坐标为(a,0)， 所以所以1，解得，解得 a1. 1 2 1 2 a 1 2 1 2 又因为椭圆又因为椭圆 M 过点过点 P，所以 ，所以 1，解得，解得 b2 ， ， 1 4 1 4b2 1 3 所以椭圆所以椭圆 M 的方程为的方程为 x2 1. y2 1 3 (2)由题意易求直线由题意易求直线 AP 的方程为，的方程为， y 0 1 2 0 x 1 1 2 1 即即 xy10. 因为点因为点 Q 在椭圆在椭圆 M 上，故可设上，故可设 Q， (cos ， ， 3 3 sin ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又又|AP|， 2 2 所以所以
16、 S APQ 1 2 2 2 |cos 3 3 sin 1| 2 cos1 . 1 4 2 3 3 ( 6) 当当 2k(kZ)，即，即 2k (kZ)时，时， 6 6 S APQ取得最大值 取得最大值 . 3 6 1 4 (3)证明 ： 法一 ： 由题意易得，直线证明 ： 法一 ： 由题意易得，直线 AD 的方程为的方程为 yk1(x1)，代入，代入 x23y21，消去，消去 y， 得 ， 得(3k 1)x26k x3k 10. 2 12 12 1 设设 D(xD，yD)，则，则(1)xD， 3k2 11 3k2 11 即即 xD，yDk1. 1 3k2 1 1 3k2 1 ( 1 3k2
17、1 1 3k2 1 1) 2k1 1 3k2 1 设设 E(xE，yE)，同理可得，同理可得 xE，yE. 1 3k2 2 1 3k2 2 2k2 1 3k2 2 又又 k1k21 且且 k1k2，可得，可得 k2且且 k11， 1 k1 所以所以 xE，yE， k2 13 k2 13 2k1 k2 13 所以所以 kDE， yEyD xExD 2k1 k2 13 2k1 1 3k2 1 k2 13 k2 13 1 3k2 1 1 3k2 1 2k1 3 k2 1 1 故直线故直线 DE 的方程为的方程为 y. 2k1 1 3k2 1 2k1 3 k2 1 1 (x 1 3k2 1 1 3k2
18、 1) 令令 y0，可得，可得 x2. 1 3k2 1 1 3k2 1 3 k2 1 1 1 3k2 1 故直线故直线 DE 过定点过定点(2,0) 法二：设法二：设 D(xD，yD)，E(xE，yE) 若直线若直线 DE 垂直于垂直于 y 轴，则轴，则 xExD，yEyD，此时，此时 k1k2 yD xD1 yE xE1 y2 D 1 x2 D y2 D 3y2 D 与题设矛盾，与题设矛盾， 1 3 若若 DE 不垂直于不垂直于 y 轴，可设直线轴，可设直线 DE 的方程为的方程为 xtys，将其代入，将其代入 x23y21，消去，消去 x， 得 ， 得(t23)y22tsys210， 高清
19、试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则 yDyE，yDyE. 2ts t23 s21 t23 又又 k1k2 yD xD1 yE xE1 yDyE ty D s1 tyEs 1 1， 可得可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20， 所以所以(t21)t(s1)(s1)20， s21 t23 2ts t23 可得可得 s2 或或 s1. 又又 DE 不过点不过点 A，即，即 s1，所以，所以 s2. 所以所以 DE 的方程为的方程为 xty2. 故直线故直线 DE 过定点过定点(2,0) 7 (2018南昌模拟南昌模拟)如图， 已知直线如图， 已知直线 l： ykx1(k0
20、)关于直线关于直线 yx1 对称的直线为对称的直线为 l1， 直线 ， 直线 l，l1与椭圆与椭圆 E：y21 分别交于点分别交于点 A，M 和和 A，N，记直线，记直线 l1的斜率为的斜率为 k1. x2 4 (1)求求 kk1的值；的值； (2)当当 k 变化时，试问直线变化时，试问直线 MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出 该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由 是否恒过定点？若恒过定点，求出 该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由 解：解：(1)设直线设直线 l 上任意一点上任意一点 P(x，y)关于直线关于直线 yx1 对称的点为对称的点为 P0(x0，y0)， 直线直线 l 与直线与直
21、线 l1的交点为的交点为(0,1)， l：ykx1，l1：yk1x1， k，k1， y 1 x y01 x0 由由1， y y0 2 x x0 2 得得 yy0xx02， 由由1，得，得 yy0x0x， y y0 x x0 由得由得Error! kk1yy 0 yy0 1 xx0 1. x 1 x01 xx0 2 1 xx0 (2)由由Error!得得(4k21)x28kx0， 设设 M(xM，yM)，N(xN，yN)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 xM，yM. 8k 4k21 1 4k2 4k21 同理可得同理可得 xN，yN. 8k1 4k2 11 8k 4 k2 1 4k
22、2 1 4k2 11 k24 4 k2 kMN， yMyN xMxN 1 4k2 4k21 k 2 4 4 k2 8k 4k21 8k 4 k2 8 8k4 8k 3k2 3 k21 3k 直线直线 MN：yyMkMN(xxM)， 即即 y， 1 4k2 4k21 k21 3k(x 8k 4k21) 即即 yxx . k21 3k 8 k2 1 3 4k2 1 1 4k2 4k21 k21 3k 5 3 当当 k 变化时，直线变化时，直线 MN 过定点过定点. (0， ， 5 3) 8(2019 届高三届高三湘东五校联考湘东五校联考)已知椭圆已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短
23、的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短 1 2 轴端点恰好是抛物线轴端点恰好是抛物线 x28y 的焦点的焦点3 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)如图，已知如图，已知 P(2,3)，Q(2，3)是椭圆上的两点，是椭圆上的两点，A，B 是椭圆上位于直线是椭圆上位于直线 PQ 两侧的 动点 两侧的 动点 若直线若直线 AB 的斜率为 ，求四边形的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；面积的最大值； 1 2 当当 A，B 运动时，满足运动时，满足APQBPQ，试问直线，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理 由 的斜率是否为定值？请说明理 由 解：解：(1)设椭圆设椭圆 C
24、的方程为的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 抛物线的焦点为抛物线的焦点为(0,2)3 b2 . 3 由 ，由 ，a2c2b2，得，得 a4， c a 1 2 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为1. x2 16 y2 12 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设直线设直线 AB 的方程为的方程为 y xt， 1 2 代入代入1， x2 16 y2 12 得得 x2txt2120， 由由 0，解得，解得4t4， x1x2t，x1x2t212， |x1x2| x1x2 24x1x2 t24 t2 12 .483t2 四边形四边形 APB
25、Q 的面积的面积 S 6|x1x2|3. 1 2 48 3t2 当当 t0 时，时，S 取得最大值，且取得最大值，且 Smax12 . 3 若若APQBPQ，则直线，则直线 PA，PB 的斜率之和为的斜率之和为 0，设直线，设直线 PA 的斜率为的斜率为 k，则直 线 ，则直 线 PB 的斜率为的斜率为k，直线，直线 PA 的方程为的方程为 y3k(x2)， 由由Error!消去消去 y， 得得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480， x12， 8k 2k 3 3 4k2 将将 k 换成换成k 可得可得 x22， 8k 2k 3 3 4k2 8k 2k 3 3 4k2 x1x2，x1x2， 16k212 3 4k2 48k 3 4k2 kAB y1y2 x1x2 k x12 3k x22 3 x1x2 ， ， k x1x2 4k x1x2 1 2 直线直线 AB 的斜率为定值的斜率为定值 . 1 2