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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 刷题小卷练 32 抛物线的定义、标准方程及性质 小题基础练 32 一、选择题 12019哈尔滨模拟过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的 动圆圆心的轨迹方程为( ) Ay212x By212x Cx212y Dx212y 答案：D 解析：由抛物线的定义知，过点 F(0,3)且和直线 y30 相 切的动圆圆心的轨迹是以点 F(0,3)为焦点，直线 y3 为准线 的抛物线，故其方程为 x212y.故选 D. 2抛物线 x4y2的准线方程为( ) Ay By1 1 2 Cx Dx 1 16 1 8 答案：C 解析 ： 将 x4y2化为标准形式为 y2
2、x，所以 2p ，p ， 1 4 1 4 1 8 开口向右，所以抛物线的准线方程为 x.故选 C. 1 16 3顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛 物线的标准方程是( ) Ay2x Bx28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 答案：D 解析 ： 设抛物线为 y2mx， 代入点 P(4， 2)， 解得 m1， 则抛物线方程为 y2x； 设抛物线为 x2ny，代入点 P(4， 2)，解得 n8，则抛物线方程为 x28y.故选 D. 42019广东广州天河区实验中学月考抛物线 x24y 上一 点 P 到焦点的距离为 3，则点 P 到 y 轴的距离为( ) A2 B1
3、2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C2 D3 答案：A 解析 ： 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y 1.根据抛物线定义，得 yP13，解得 yP2，代入抛物线 方程求得 xP2，点 P 到 y 轴的距离为 2.故选 A.22 5已知双曲线x21 的两条渐近线分别与抛物线 y2 y2 4 2px(p0)的准线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面 积为 1，则 p 的值为( ) A1 B. 2 C2 D42 答案：B 解析：双曲线 x21 的渐近线 y2x 与抛物线 y22px y2 4 的准线 x 的交点分别为 A， B， 则|AB|2p， p
4、 2 ( p 2，p) ( p 2，p) AOB 的面积为 2p 1，p0，解得 p.故选 B. 1 2 p 2 2 62019山东第三中学月考已知点 Q(0,2)及抛物线 y22 4x 上一动点 P(x，y)，则 x|PQ|的最小值为( ) A4 B2 C6 D. 2 答案：B 解析：抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，则由抛物线的定义得 其准线方程为 x1.设 d 为点 P(x，y)到准线的距离 x|PQ|d1|PQ|PF|PQ|1|FQ|1， x|PQ|的最小值是|QF|1. 点 Q(0,2)，|QF|3.2 x|PQ|的最小值是|QF|1312.故选 B. 7直线 xy10 与抛
5、物线 y22px 的对称轴及准线相交 于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为( ) A1 B1 C2 D3 答案：B 解析 ： 由题意可得，直线 xy10 与抛物线 y22px 的对 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 称轴及准线交点的坐标为， 代入 xy10， 得 10， ( p 2，0) p 2 即 p2， 故抛物线的方程为 y24x.将 y24x 与直线方程 xy1 0 联立可得交点的坐标为(1,2)故选 B. 82019广东中山一中第一次统测过抛物线 y24x 的焦点 作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点如果 x1x26, 那么|AB|( ) A6 B8
6、 C9 D10 答案：B 解析：由题意知，抛物线 y24x 的准线方程是 x1. 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，|AB|x1x22.又x1x26， |AB|x1x228.故选 B. 二、非选择题 92019广西贺州桂梧高中月考抛物线 x22py(p0)的 焦点到直线 y2 的距离为 5，则 p_. 答案：6 解析：由题意得 2 5，p6. p 2 102019湖南益阳、湘潭联考已知圆 C1： x2(y2)24， 抛物线 C2： y22px(p0)， C1与 C2相交于 A， B 两点 若|AB|， 8 5 5 则抛物线 C2的方程为_ 答案
7、：y2x 32 5 解析 ： 由题意得圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点 B 为原点， 设 A(x，y)，圆 C1的圆心为 C(0,2) |AB|，sin BCA，cos BCA. 8 5 5 1 2 |AB| 2 |BC| 2 5 5 1 2 5 5 y|AB|sin BCA， x|AB|cos BCA 1 2 8 5 5 2 5 5 16 5 1 2 ，点 A 的坐标为. 8 5 5 5 5 8 5 ( 8 5， 16 5 ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 点 A 在抛物线 C2上，2p 2，解得 p ， 8 5 ( 16 5 ) 16 5 抛物线 C2的方程为 y2x.
8、32 5 112019厦门模拟已知焦点为 F 的抛物线 y22px(p0)上 一点 A(m，2)，若以 A 为圆心，|AF|为半径的圆 A 被 y 轴截得2 的弦长为 2，则 m_.5 答案：2 解析 ： 因为圆 A 被 y 轴截得的弦长为 2， 所以|AF|5m25 m ， p 2 又 A(m,2)在抛物线上，故 82pm 2 由与可得 p2，m2. 12 2019浙江五校联考抛物线y24x的焦点为F， 点P(x， y) 为该抛物线上的动点， 又点A(1,0)， 则的最小值是_ |PF| |PA| 答案： 2 2 解析：根据抛物线的定义，可求得|PF|x1，又|PA| ， x12y2 所以
9、. |PF| |PA| x1 x12y2 因为 y24x，令t，则式可化简为，其 2 x1 1 t22t1 中 t(0,2，即可求得的最小值为，所以的最 1 t22t1 2 2 |PF| |PA| 小值为. 2 2 课时增分练 32 一、选择题 1若抛物线 y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴 的距离分别为 10 和 6，则抛物线的方程为( ) Ay24x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 By236x Cy24x 或 y236x Dy28x 或 y232x 答案：C 解析：因为抛物线 y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的 距离为 6，所以若设该点为 P，则 P(x0
10、，6)因为 P 到抛物线的 焦点 F的距离为 10， 所以由抛物线的定义得 x0 10 . ( p 2，0) p 2 因为 P 在抛物线上， 所以 362px0 .由解得 p2， x09 或 p18，x01，则抛物线的方程为 y24x 或 y236x. 22019重庆酉阳一中月考已知 F 是抛物线 C：y2x2的 焦点，点 P(x，y)在抛物线 C 上，且 x1，则|PF|( ) A. B. 9 8 3 2 C. D. 17 8 5 2 答案：C 解析：由 y2x2，得 x2 ，则 p . y 2 1 4 由 x1 得 y2.由抛物线的性质， 得|PF|2 2 .故选 C. p 2 1 8 1
11、7 8 32019南昌模拟已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，P 是抛物线上一点，若|PF|5，则PKF 的 面积为( ) A4 B5 C8 D10 答案：A 解析：通解 由抛物线 y24x，知 1，则焦点 F(1,0)设 p 2 点 P，则由|PF|5，得5，解得 y04，所 ( y2 0 4 ，y0) ( y2 0 4 1)2y2 0 以 SPKF p|y0| 244，故选 A. 1 2 1 2 优解 由题意知抛物线的准线方程为 x1.过点 P 作 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 PAl 于点 A，由抛物线的定义知|PF|xp xp15，所以
12、xp p 2 4，代入抛物线 y24x，得 yp4，所以 SPKF p|yp| 1 2 1 2 244，故选 A. 4已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( ) A B 3 3 3 4 C1 D 3 答案：D 解析：设 M(x，y)，由题意知 F，由抛物线的定义，可 ( p 2，0) 知 x 2p， 故 x， 由 y22p， 知 yp.当 M p 2 3p 2 3p 2 3 ( 3p 2 ， 3p) 时，kMF，当 M，p 时，kMF 3p0 3p 2 p 2 3 3p 2 3 3p0 3p 2 p 2 ，故 kMF.故选 D.33 5
13、 2018全国卷设抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 过点( 2,0)且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，则( ) 2 3 FM FN A5 B6 C7 D8 答案：D 解析：由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)， 2 3 联立直线与抛物线的方程，得Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 不妨设 M 为(1,2)，N 为(4,4) 又抛物线焦点为 F(1,0)，(0,2)，(3,4) FM FN 03248. FM FN 故选 D. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 62019辽宁省五校联考抛物线 C： y24x 的焦点为
14、F，N 为准线上一点，M 为 y 轴上一点，MNF 为直角，若线段 MF 的中点 E 在抛物线 C 上，则MNF 的面积为( ) A. B. 2 2 2 C. D3 3 2 2 2 答案：C 解析：如图所示，不妨设点 N 在第二象限，连接 EN，易知 F(1,0)， 因为MNF 为直角， 点 E 为线段 MF 的中点， 所以|EM| |EF|EN|， 又 E 在抛物线 C 上， 所以 EN准线 x1， E， ( 1 2， 2) 所以N(1，)， M(0,2)， 所以|NF|， |NM|， 所以MNF2263 的面积为，故选 C. 3 2 2 72019河南中原名校联考已知抛物线 C：y22px
15、(p0)的 焦点为F， 准线为l， 且l过点(2,3)， M在抛物线C上 若点N(1,2)， 则|MN|MF|的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 答案：B 解析：由题意得 l：x2，抛物线 C：y28x.过点 M 作 MMl，垂足为点 M，过点 N 作 NNl，垂足为点 N. 由抛物线的几何性质，得|MN|MF|MN|MM|NN| 3.当点 M 为直线 NN与抛物线 C 的交点时，|MN|MF|取得 最小值 3.故选 B. 82019湘潭调研如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中 点，且|AF|4，则线段
16、AB 的长为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A5 B6 C. D. 16 3 20 3 答案：C 解析 ： 解法一 如图， 设 l 与 x 轴交于点 M， 过点 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的 中点，知|AF|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2，抛物线的方 程为 y24x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1 x114， p 2 所以 x13， 解得 y12， 所以 A(3,2)， 又 F(1,0)， 所以直线 AF33 的斜率 k，所以直线 AF 的方程为 y(x1)，代入 2 3 31
17、33 抛物线方程 y24x 得， 3x210x30， 所以 x1x2， |AB|x1 10 3 x2p.故选 C. 16 3 解法二 如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点， 知|AF|2|MF|2p， 所以 2p4， 解得 p2， 抛物线的方程为 y2 4x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则|AF|x1 x114， 所以 x13， p 2 又 x1x21，所以 x2 ，所以|AB|x1x2p.故选 C. p2 4 1 3 16 3 解法三 如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过
18、点 A 作 ADl 交 l 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点， 知|AF|2|MF|2p， 所以 2p4， 解得 p2， 抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 因为 ， |AF|4， 所以|BF| ， 1 |AF| 1 |BF| 2 p 4 3 所以|AB|AF|BF|4 .故选 C. 4 3 16 3 二、非选择题 9 2019宁夏模拟已知抛物线的顶点在原点， 焦点在y轴上， 抛物线上的点P(m， 2)到焦点的距离为4， 则m的值为_ 答案：4 解析：由题意可设抛物线的标准
19、方程为 x22py(p0)由 定义知 P 到准线的距离为 4，故 24，即 p4，所以抛物线 p 2 的方程为 x28y，代入点 P 的坐标得 m4. 10 抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的距离的最 小值是_ 答案：4 3 解析：解法一 如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛 物线 yx2相切的直线为 4x3yb0，切线方程与抛物线方 程联立得Error!Error!消去 y 整理得 3x24xb0， 则 1612b0， 解得 b ，所以切线方程为 4x3y 0，抛物线 yx2上 4 3 4 3 的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是这两条平行线间的 距离 d .| 84 3
20、| 5 4 3 解法二 由yx2， 得y2x.如图， 设与直线4x3y8 0 平行且与抛物线 yx2相切的直线与抛物线的切点是 T(m， m2)，则切线斜率 ky|xm2m，所以 m ，即切 4 3 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 点 T， 点 T 到直线 4x3y80 的距离 d ， ( 2 3， 4 9) | 8 3 4 38| 169 4 3 由图知抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小 值是 . 4 3 112019云南大理州模拟已知抛物线 C 的顶点在坐标原 点， 焦点 F 在 x 轴的正半轴上， 过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交 于 A、B 两
21、点，且满足 . OA OB 3 4 (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)若点 M 在抛物线 C 的准线上运动，其纵坐标的取值范围 是1,1，且9，点 N 是以线段 AB 为直径的圆与抛物 MA MB 线 C 的准线的一个公共点，求点 N 的纵坐标的取值范围 解析：(1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，其焦点 F 的 坐标为，直线 l 的方程为 xty ，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ( p 2，0) p 2 联立方程Error!Error!消去 x 得 ： y22ptyp20， 所以 y1y22pt， y1y2 p2，x1x2.因为x1x2y1y2 y2 1 2p y2 2 2p y 1y22 4p2 p2 4 OA OB ，解得 p1，所以所求抛物线 C 的标准方程为 y22x. 3p2 4 3 4 (2)设点 M， 1m1， 由(1)知， x1x2 ， y1y21， ( 1 2，m) 1 4 y1y22t，所以 x1x22t21，因为 MA MB ( x11 2)(x 21 2) (y1m)(y2m)(tm)2， 所以(tm)29 得 tm3 或 tm3， 因为1m1，2t4 或4t2，由抛物线定义可知， 以线段 AB 为直径的圆与抛物线 C 的准线相切， 所以点 N 的纵坐 标为t，所以点 N 的纵坐标的取值范围是4， y1y2 2 22,4