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1、5. 电容,由物理学得知，平板电容器的电容为,电容的单位 F（法拉）。,C地球 F,实际中，使用 F（微法）及 pF（皮法）作为电容单位。,多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关。,各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为,式中Cii 称为固有部分电容；Cij 称为互有部分电容。,例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。,解 能否应用高斯定律求解?,设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个单位长度圆柱面作为高斯面S，则,那么内外导体之间的电位差 U 为,因此单位长度
2、内的电容为,6 静电场的边值问题,主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。,1. 电位微分方程 2. 镜像法,1. 电位微分方程,已知电位 与电场强度 E 的关系为,对上式两边取散度，得,对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为,那么，电位满足的微分方程式为,泊松方程,拉普拉斯方程,对于无源区， ，上式变为,已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为,上式为泊松方程在自由空间的特解。,利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。,静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。,初始条件,边界条件,数学物理方程描述物理量随时间和空间
3、的变化特性。,根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。,此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。,边界条件有三种类型：,第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。,第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。,第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。,解的存在、稳定及惟一性问题。,泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。,惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。,稳定性是指当定
4、解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。,存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。,静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。,可以证明电位微分方程解具有惟一性。,若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。,已知,因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。,可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。,静电场的边值问题 根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。,对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程
5、方程,在无源区，电位满足拉普拉斯方程,利用格林函数，可以求解泊松方程。,利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。,求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。,2. 镜像法,实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。,这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。,依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。,关键：确定镜像电荷的大小及其位置。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。,（1）点电荷与无限大的导体平面,以一个镜像点电荷q代替边界的
6、影响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即,电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。,* 根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。,* 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。,例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可
7、求出其镜像电荷。,为什么？,（2）点电荷与导体球,若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷q 位于球心与点电荷 q 的连线上，那么球面上任一点电位为,为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为,为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。,若 OPq OqP ，则,镜像电荷离球心的距离d 应为,求得镜像电荷为,若导体球不接地，则其电位不为零。,q 的位置和量值应该如何?,由q 及 q 在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q 以产生一定的电位。,以保证导体球表面上总电荷量为零值。,为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必须位于球
8、心。,为了满足电荷守恒原理，第二个镜像电荷q 必须为,导体球的电位?,（3）线电荷与带电的导体圆柱,在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像线电荷 。,因此，离线电荷 r 处，以 为参考点的电位为,已知无限长线电荷产生的电场强度为,若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上P点共同产生的电位为,已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值,与前同理，可令,（4）点电荷与无限大的介质平面,=,+,对于上半空间，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。,对于下半空间，可用位于原点电荷处的 q“ 等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。,必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即,已知各个点电荷产生的电场强度分别为,代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：,例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。,解 对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。,求得,选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为,利用边界条件：,最后求得,求得,