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1、3.9 函数模型及其应用 大一轮复习讲义 第三章 函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 1.几类函数模型 知识梳理 ZHISHISHULIZHISHISHULI 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb (a，b为常数，a0) 反比例函数模型f(x) b (k，b为常数且k0) 二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0) 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)
2、 幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0) 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，) 上的增减性 单调_单调_单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与 平行 随x的增大逐渐表现 为与 平行 随n值变化而各有不同 值的比较存在一个x0，当xx0时，有logax1)的增长速度会超过并远远大于y xa(a0)的增长速度.( ) (5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越 快的形象比喻.( ) 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 123456 0 x a 7 题组二 教材改编
3、2.P102例3某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下 列说法中错误的是 A.收入最高值与收入最低值的比是31 B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入 的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元 1234567 解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是 31，故A正确； 由题图可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确； 由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故 C正确； 1234567 3.P104例5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月 生产某种
4、商品x万件时的生产成本为C(x) x22x20(万元).一万件售价为 20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件. 18 当x18时，L(x)有最大值. 1234567 4.P112A组T7一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h 130t5t2，则该函数的定义域是_. 解析 令h0，解得0t26，故所求定义域为0,26. 123456 0,26 7 5.国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税. 已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应
5、得稿费(扣税前)为 A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元 1234567 题组三 易错自纠 解析 由题意，知纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数 关系式为 1234567 由于此人纳税420元， 所以8004 000时，令0.112x420，解得x3 750(舍去)， 故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元. 123456 6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q， 则该市这两年生产总值的年平均增长率为_. 解析 设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)， 7 7.已知某种动物繁殖量y(只)与时
6、间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动 物第2年有100只，到第8年它们发展到_只. 200 解析 由题意知100alog3(21)，a100， y100log3(x1). 当x8时，y100log39200. 1234567 2题型分类 深度剖析 PART TWO 1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底 部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时 水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是 题型一 用函数图象刻画变化过程 解析 vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 自主演练自主演练 2.设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从
7、甲地到乙地用了20分钟， 在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发 到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C. 又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D. 3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗 汽油量最多 C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米
8、/时，相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 解析 根据图象所给数据，逐个验证选项. 根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶 里程大于5千米，故选项A错； 以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时， 甲车消耗汽油最少，故选项B错； 甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程 为80千米，消耗8升汽油，故选项C错； 最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该 市用丙车比用乙车更省油，故选项D对. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型
9、时，先建立函数模型， 再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化 趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况 的答案. 思维升华 题型二 已知函数模型的实际问题 例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食 用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p at2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和 实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟. 师生共研师生共研 3.75 解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5
10、,0.5)分别代入函数关 系式， (2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系： Q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元 解析 设毛利润为L(p)元，则由题意知 L(p)pQ20QQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以L(p)3p2300p11 700. 令L(p)0，解得p30或p130(舍去). 当p(0,30)时，L(p)0，当p(
11、30，)时，L(p)0，m是不超过m的最大整数(如33，3.7 3，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元. 4.24 解析 m6.5，m6， 则f(6.5)1.06(0.561)4.24. (2)西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一 年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式 为 则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大. 4 解析 由图象可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700， 解得x19. 题型三 构建函数模型的实际问题 命题点1 构造一次函数、二次函数模型 例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携
12、带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之 间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质 量最大为_kg. 多维探究多维探究 19 (2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用 下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 解析 由题中表可知函数在(0，)上是增函数， 且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B. x1.992345.156.126 y1.5174.041 87.51218.01 1 2 log x 命题点2 构造指数函数、对数函数模型 例3 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍
13、伐面积的百分 比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林 面积至少要保留原面积的 已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比； 解 设每年砍伐面积的百分比为x(040时， (2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？ 并求出最大年利润. 解 当0400时，y60 000100x280)，则有 12345678910111213141516 解得x320.故该公司的年收入为320万元. 5.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投 入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上
14、一年增长12%，则 该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05， lg 1.30.11，lg 20.30) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年 12345678910111213141516 解析 设从2016年起，过了n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元， 则130(112%)n200， 6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3 的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴 水费16m元，则该职工这个月实际用水为 A.13 m3 B.14
15、 m3 C.18 m3 D.26 m3 12345678910111213141516 解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元， 则10m(x10)2m16m，解得x13. 7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常 数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1 个病毒能繁殖为_个. 12345678910111213141516 2ln 2 1 024 解析 当t0.5时，y2，2 ， 1 2 e k k2ln 2，ye2tln 2， 当t5时，ye10ln 22101 024. 8.某人根据经验绘制了2018年春节前后，
16、从12月21日至1月7日自己种植的西红 柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26 日大约卖出了西红柿_千克. 解析 前10天满足一次函数关系，设为ykxb(k0)， 12345678910111213141516 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m. 20 解析 设内接矩形另一边长为y m， 12345678910111213141516 解得y40x， 所以面积Sx(40x)x240x (x20)2400(00， 12345678910111213141516 即x140时等号成立，此时，Pm
17、ax20120100. 所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元. 13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销 售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(b a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc) 和(ba)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x_. 技能提升练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 bc(ba)(ca)， (ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2，得x2x10， 14.一
18、艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例 系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的 燃料费是6元.若匀速行驶10海里，求这艘轮船的速度为多少时，总费用最小？ 12345678910111213141516 解 设每小时的总费用为y元， 则ykv296，又当v10时，k1026， 解得k0.06， 所以每小时的总费用y0.06v296， 12345678910111213141516 故总费用最小时轮船的速度为40海里/时. 拓展冲刺练 12345678910111213141516 8 15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来
19、描述：设物体的初始温度是 T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则TTa(T0Ta) ，其中Ta 称为环境温度，h称为半衰期.现有一杯用85 热水冲的速溶咖啡，放在21 的 房间中，如果咖啡降到37 需要16 min，那么这杯咖啡要从37 降到29 ，还 需要_ min. 1 2 t h 12345678910111213141516 解析 由题意知Ta21 . 令T085 ，T37 ， 令T037 ，T29 ， 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小 时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式； 12345678910111213141516 当t1时，由y4，得k4； (2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态， 求服用毒品后重度躁动状态的持续时间. 12345678910111213141516