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1、3.8 函数与方程 大一轮复习讲义 第三章 函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD)，把使 的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点. (2)三个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)， 使得 ，这个_也就是方程
2、f(x)0的根. f(x)0 x轴零点 知识梳理 ZHISHISHULIZHISHISHULI f(a)f(b)000)的图象 与x轴的交点_无交点 零点个数_ 2.二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 210 函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？ 提示 不能. 【概念方法微思考】 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0，得f(x)在R上单调递
3、增， 123456 因此函数f(x)有且只有一个零点. 7 4.P92A组T4函数f(x) 的零点个数为_. 123456 1 2 x1 解析 作函数y 和y 的图象如图所示， 1 2 x 由图象知函数f(x)有1个零点. 7 5.函数f(x)ln2x3ln x2的零点是 A.(e,0)或(e2,0) B.(1,0)或(e2,0) C.(e2,0) D.e或e2 123456 解析 f(x)ln2x3ln x2(ln x1)(ln x2)， 由f(x)0得xe或xe2， f(x)的零点是e或e2. 题组三 易错自纠 7 6.已知函数f(x)x (x0)，g(x)xex，h(x)xln x(x0
4、)的零点分别为x1， x2，x3，则 A.x10， f(1)f(2)0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)， (b，c)内，故选A. 3.设函数y1x3与y2 x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN， 则x0所在的区间是_. (1,2) 易知f(x)为增函数，且f(1)0， x0所在的区间是(1,2). 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理. (2)数形结合法. 思维升华 所以在(，0上有一个
5、零点； 所以f(x)在(0，)上是增函数. 又因为f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. 题型二 函数零点个数的判断 师生共研师生共研 2 (2)(2018杭州质检)设方程xln(ax)(a0，e为自然对数的底数)，则 A.当ae时，方程有两个实数根 解析 由xln(ax)得exax，则函数yex，yax图象的交点个数是原方程根的 个数. 当ae时，方程有两个实数根，D正确，故选D. 0 e x0 e x 0 0 e x x 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点. (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数. (3)利用
6、函数图象的交点个数判断. 思维升华 跟踪训练1 (1)函数f(x) 的零点个数为 A.3 B.2 C.7 D.0 解析 方法一 由f(x)0得 解得x2或xe. 因此函数f(x)共有2个零点. 方法二 函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点. A.2 B.3 C.4 D.5 解析 函数h(x)f(x)log4x的零点个数即为方程f(x)log4x的根的个数， 分别画出y1f(x)，y2log4x的图象， 由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h(x)有5个零点. 题型三 函数零点的应用 命题点1 根据函数零点个数求参数 多维探究多维探究 (0,1) 由于函数g(x)
7、f(x)m有3个零点，结合图象得02m2或2m223m， 由函数f1(x)|2x1|m(x0且a1)的两个零点是m，n，则 A.mn1 B.mn1 C.00， 2.函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 12345678910111213141516 由图知两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有2个零点. 3.(2018宁波模拟)设f(x) 则函数yf(f(x)的零点之和为 A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由f(f(x)0得f(x)0或f(x)1， 当f(x)0时，x0或x1； 当f(x)1时，x1或x2， 所以函数yf(f(x)的零点之和为0
8、1(1)22，故选C. 12345678910111213141516 4.已知函数f(x) 则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是 A.(1,2) B.(，2 C.(，1)(2，) D.(，12，) 解析 当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1； 12345678910111213141516 即实数m的取值范围是(，12，).故选D. 5.(2018温州十校联合体期末)已知关于x的方程 a|x|有三个不同的实数 解，则实数a的取值范围是 A.(，0) B.(0,1) C.(1，) D.(0，) 12345678910111213141516 1234567891011121314
9、1516 解得a1，所以实数a的取值范围为(1，)，故选C. 12345678910111213141516 6.设函数f(x) 若关于x的方程f 2(x)af(x)0恰有三个不同 的实数根，则实数a的取值范围是 A.0，) B.(0，) C.(1，) D.1，) 12345678910111213141516 解析 由方程f 2(x)af(x)0得f(x)0或f(x)a. 在平面直角坐标系中作出函数yf(x)的图象如图所示， 由图易得显然f(x)0有一个实数根x1， 因此只要f(x)a有两个不相等的实根， 结合函数yf(x)的图象可得实数a的取值范围是1，)，故选D. 12345678910
10、111213141516 7.(2018浙江新高考仿真训练)若f(x)为奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点， 则x0一定是下列哪个函数的零点 A.yf(x)ex1 B.yf(x)ex1 C.yf(x)ex1 D.yf(x)ex1 12345678910111213141516 解析 由题意，知f(x0) 0，f(x0)f(x0)， 对于A，f(x0) 1f(x0) 1 f(x0) 0， 所以x0是函数yf(x)ex1的零点，故选A. 0 e x 0 e x 0 1 e x 0 1 e x 0 e x 12345678910111213141516 12345678910111213141
11、516 分两种情形： 12345678910111213141516 f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意. 即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去). 综上所述，m(0,13，). 故选B. 9.若函数f(x) 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_. (0,1 解析 当x0时，由f(x)ln x0，得x1. 因为函数f(x)有两个不同的零点， 则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点， 令f(x)0得a2x，因为00时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上， 函数f(x)零点的个数为_. 12345678910111213141516 解析 因为函数f(x)为R上的奇
12、函数， 因此在(0，)内有且仅有一个零点. 根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f(x)在R上的零点个数为3. 12345678910111213141516 1 2 log 5 12345678910111213141516 解析 由题意知函数h(x)的图象如图所示， 易知函数h(x)的图象关于直线yx对称， 函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和， 设图象交点的横坐标分别为x1，x2， 所以x1x25. 12.已知函数f(x) 4. (1)若m4，求函数f(x)的零点个数； 12345678910111213141516 当且仅当x2
13、时，等号成立， (2)若函数f(x)有4个零点，求实数m的取值范围. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 当m0时，f(x)|x|4，易知此时函数f(x)|x|4有2个零点，不符合题意； 综上所述，实数m的取值范围为(，0)(0,4). 技能提升练 12345678910111213141516 (4，) 12345678910111213141516 x0显然不是函数f(x)ax1的零点， 12345678910111213141516 则由图可知当x4. 12345678910111213141516 解 因为直线kxyk0(k0
14、)，即k(x1)y0(k0)过定点(1,0). 因为函数f(x)满足f(1x)f(1x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x1对称， 又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称， 在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象及直线k(x1)y0(k0)如图所示， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 则要使直线kxyk0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点， 拓展冲刺练 12345678910111213141516 15.(2018湖州、衢州、丽水三地市质检)已知f(x)是定义在R上的函数，若方程 f(f(x)
15、x有且仅有一个实数根，则f(x)的解析式可能是 A.f(x)|2x1| B.f(x)ex C.f(x)x2x1 D.f(x)sin x 12345678910111213141516 对于B，由(exx)ex1，得yexx在(0，)上单调递增，在(， 0)上单调递减，所以(exx)min10，即exx恒成立，所以f(f(x) exx， 即f(f(x)x无解，故B错误； 对于C，f(x)x2x1，f(f(x)(x2x1)2x2x11x，即(x2x1)2 x220，无实数根，故C错误； e e x 12345678910111213141516 对于D，令ysin xx，则ycos x10，则ysin xx在R上单调递减， 当x0时，y0，所以当x(0，)时，sin xx，sin(sin x)sin xx，则sin(sin x)x在R上单调递减， 且sin(sin 0)0，故f(f(x)x有且仅有一个实数根，故选D. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解 在平面直角坐标系内画出函数f(x)与g(x)的图象如图所示， 方程|f(x)g(x)|2的实根个数等价于垂直于x轴的直线与两函数图象的交点 的距离等于2的直线的条数，由图易得满足题意的直线共有4条.