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1、9.3 圆的方程 大一轮复习讲义 第九章 平面解析几何 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 定义平面内到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆 方程 标准式 (xa)2(yb)2 r2(r0) 圆心为_ 半径为_ 一般式 x2y2DxEy F0 充要条件：_ 圆心坐标：_ 半径r_ 知识梳理 圆的定义与方程 ZHISHISHULIZHISHISHULI 定点 定长 (a，b) r D2E24F0 【概念方法微思考】 1.二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？ 2.已知C：x2y2DxEy
2、F0，则“EF0且Dr2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20)， 又圆与直线4x3y0相切， 123456 圆的标准方程为(x2)2(y1)21.故选A. 7 2题型分类 深度剖析 PART TWO 题型一 圆的方程 师生共研师生共研 例1 (1)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半 轴上，则圆E的标准方程为 解析 方法一 (待定系数法) 根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a0)，半径为r， 则圆E的标准方程为(xa)2y2r2(a0). 方法二 (待定系数法) 设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 方法三 (几何法
3、) 因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)， 又圆E的圆心在x轴的正半轴上， (x1)2(y1)22 解析 方法一 所求圆的圆心在直线xy0上， 设所求圆的圆心为(a，a). 又所求圆与直线xy0相切， 解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22. 方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2. 又圆心在直线xy0上，ab0. 故圆C的方程为(x1)2(y1)22. 方法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0， 圆心在直线xy0上， 又圆C与直线xy0相切， 即(DE)22(D2E24F)， D2E22DE8F0. (DE6)2
4、122(D2E24F)， 故所求圆的方程为x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22. (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D， E，F的值. 思维升华 跟踪训练1 一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得 的弦长为 则该圆的方程为_. x2y26x2y10或x2y26x2y10 解析 方法一 所求圆的圆心在直线x3y0上， 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与y轴相切，半径r3|a|， 故
5、所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10. 方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 由于所求圆与y轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0， 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10. 方法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0， 在圆的方程中，令x0，得y2EyF0. 由于所求圆与y轴相切，0，则E24F. 即(DE)2562(D2E24F). D3E0. 故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10. 题型
6、二 与圆有关的轨迹问题 例2 已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； 师生共研师生共研 解 方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0. 因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1， 化简得x2y22x30. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0). 方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C 三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0). (2)直角边BC的
7、中点M的轨迹方程. 解 设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 所以x02x3，y02y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0). 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 定义法：根据圆、直线等定义列方程. 几何法：利用圆的几何性质列方程. 相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 思维升华 跟踪训练2 设定点M(3，4)，动点N在
8、圆x2y24上运动，以OM，ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 解 如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 因为平行四边形的对角线互相平分， 又点N(x0，y0)在圆x2y24上， 所以(x3)2(y4)24. 所以点P的轨迹是以(3，4)为圆心，2为半径的圆， 题型三 与圆有关的最值问题 例3 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值. 解 设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距， xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小 值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 师生
9、共研师生共研 即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为ykx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 引申探究 求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值， 可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与半径的和或差. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义， 利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法. 思维升华 形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的 最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截
10、距的最值问 题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离 的平方的最值问题. 跟踪训练3 已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点 Q(2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； 解 由圆C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 设直线MQ的方程为y3k(x2)， 即kxy2k30. 由直线MQ与圆C有交点， (3)求yx的最大值和最小值. 解 设yxb，则xyb0. 当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值， yx的最大值为9，最小值为1. 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 A.0 B.1 C.2 D.3 解析 方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1) 0，即3a24a40，5，b1. 12345678910111213141516 12345678910111213141516