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1、2.4 基本不等式及其应用 大一轮复习讲义 第二章 不等式 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 1.基本不等式： 知识梳理 ZHISHISHULIZHISHISHULI (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR). (2) (a，b同号). 以上不等式等号成立的条件均为ab. a0，b0 ab 2ab 2 3.算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等 式可叙述为两个正数的
2、算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值_.(简记： 积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值_. (简记：和 定积最大) xy小 xy大 1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这 两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数yx 的最小值是2吗？ 【概念方法微思考】 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 基础自测 JICHUZICEJIC
3、HUZICE 12345 (3)(ab)24ab(a，bR).( ) 6 12345 6 题组二 教材改编 12345 2.P100A组T1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 当且仅当xy9时，(xy)max81. 6 3.P100A组T2若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最 大面积是_ m2. 解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2 12345 当且仅当x10x，即x5时，ymax25. 25 6 12345 题组三 易错自纠 6 123456 5.若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是 A.2 B.3 C.
4、4 D.5 12345 故4x3y的最小值为5.故选D. 6 6.(2018温州市适应性考试)已知2a4b2(a，bR)，则a2b的最大值为 _. 12345 0 当且仅当ab0时等号成立， 所以a2b0，即a2b的最大值为0. 6 2题型分类 深度剖析 PART TWO 题型一 利用基本不等式求最值 多维探究多维探究 命题点1 配凑法 例1 (1)已知00时，x (a0)的最小值为3，则实数a的值为 _. 4 解析 因为当x0，a0时， 命题点2 常数代换法 例2 (2018浙江部分重点中学调研)已知a0，b0，且满足a2b2.若不等 式abt(t2)ab1恒成立，则实数t的取值范围是_.
5、解析 因为对于任意的a0，b0，a2b2， 不等式abt(t2)ab1恒成立， 命题点3 消元法 例3 已知正实数a，b满足a2b40，则u A.有最大值 B.有最小值 C.有最小值3 D.有最大值3 解析 a2b40，ba24， aba2a4. 当且仅当a2，b8时取等号.故选B. (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用 基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形， 利用常数“1”代换的方法. 思维升华 跟踪训练1 (1)(2018杭州高级中学高考仿真测试)若正数x，y满足x22xy
6、10， 则2xy的最小值是 题型二 基本不等式的综合应用 多维探究多维探究 当且仅当mn1时等号成立. 命题点2 求参数值或取值范围 当且仅当t1，即xy时，取等号， 跟踪训练2 (2018金华名校统练)已知正实数x，y满足xy0，xy20， 若m 恒成立，则实数m的取值范围是_. 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数 学的方法构建模型解决问题.过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发 现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、 改进模型，最终解决实际问题. 核心素养之数学建模 HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMOHEXINSU
7、YANGZHISHUXUEJIANMO 利用基本不等式求解实际问题 例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该 厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3 (k为常数)，如果 不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固 定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销 售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部 分资金). (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； 解 由题意知，当m0时，x1， 13k，解得k2， (2)该厂家2019年的促销
8、费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ y82921， 即m3(万元)时， ymax21(万元). 故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元. 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式， 建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 素养提升 3课时作业 PART THREE 1.函数f(x) 的最小值为 A.3 B.4 C.6 D.8 基础保分练 12345678910111213141516 当且仅当x2时，等号成立，故选B. 2.若x0，y0，则“x2y2 ”的一个充分不必要条件是 A.xy B.x2y C.x2且y1 D.xy或y1 解析
9、 x0，y0， 12345678910111213141516 解析 由题意知，正数a，b满足ab1， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 4.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学 家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过 图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在 直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为 12345678910111213141516 再根据题图知FOFC， 12345678910111213141
10、516 12345678910111213141516 所以2xy4.又2x2y2z2xyz， 所以2xy2z2xy2z， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 令txy(t0)， 则t258t4， 即t28t9(t9)(t1)0，得t9， 从而当x3，y6时，xy取得最小值，最小值为9，故选B. 12345678910111213141516 B，D，E，C共线， mn1，1， 则xymn2， 12345678910111213141516 8.(2018湖州五校模拟)已知x23xy2y21(x，yR)，则x2y2的最小值为 1234
11、5678910111213141516 解析 方法一 x23xy2y2(xy)(x2y)1， 方法二 设x2y2t2，xtcos ，ytsin ， 代入已知等式得，t2cos23t2sin cos 2t2sin21， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 9.(2018绍兴市适应性考试)已知正数x，y满足2xy2，则当x_时， y取得最小值为_. 12345678910111213141516 解析 因为x，y为正数， 则2xy2y22x000，t6， 当且仅当2mn6时，等号成立， 故mn的最小值为18. 12.(2018绍兴市上虞区
12、质检)若实数x，y，z满足x2y3z1，x24y29z2 1，则z的最小值是_. 12345678910111213141516 又x2y13z， 技能提升练 12345678910111213141516 13.(2018浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x，y满足x2y3xy， 且对任意的实数x(2，)，y(1，)，不等式(xy3)2a(xy3) 10恒成立，则实数a的取值范围是 解析 因为x(2，)，y(1，)， 所以xy30， 令txy3，t0， 且函数f(t)在区间1，)上单调递增. 方法一 等式x2y3xy可化为(x2)(y1)5， 令mx2，ny1， 123456789101
13、11213141516 当且仅当mn，即xy1， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 令x1m0,2y1n0， 当且仅当mn1时取等号， 12345678910111213141516 拓展冲刺练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 因为x0，y0， 则4x24y2(1xy)24(x2y2)1(xy)24(xy)21(xy)2 5(xy)22(xy)1， 又因为0xy1， 所以4x24y2(1xy)25(xy)22(xy)14， 当且仅当xy0且xy1， 另一方面4x24y2(1xy)2 4(x2y2)1(xy)22(xy)21(xy)2 3(xy)22(xy)1， 又因为0xy1， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 所以当k1时，