2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.7 .pdf

《2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.7 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.7 .pdf（102页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、8.7 立体几何的综合问题 大一轮复习讲义 第八章 立体几何与空间向量 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向量的方程组为 ZHISHISHULIZHISHISHULI 非零 2.空间中平行、垂直关系的证明方法 (2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系. 3.求两条异面直线所成的角 (1)用“平移法

2、”作出异面直线所成角(或其补角). (2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角. 4.求直线与平面所成的角 (1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形. (2)直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与 n的夹角为，则sin |cos |_. 5.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二 面角的大小_. (2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二 面角的大小满足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1与 n2的夹角(或其补角). |cosn1，n2| (

3、6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a 的大小是.( ) 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) 123456 123456 题组二 教材改编 2.P104T2设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2， 2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)

4、时，与的位置关系为 _. 解析 当v(3，2，2)时， uv(2，2，5)(3，2，2)0得. 当v(4，4，10)时，v2u得. 123456 3.P111T3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD 的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是 _. 垂直 123456 ON与AM垂直. 123456 4.P104T2已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两 平面所成的二面角为_. 两平面所成二面角为45或18045135. 45或135 123456 题组三 易错自纠 5.直线l的方向向量a(1，3，5)，

5、平面的法向量n(1，3，5)，则有 A.l B.l C.l与斜交 D.l或l 解析 由an知，na，则有l，故选B. 090，30. 30 123456 2题型分类 深度剖析 PART TWO 题型一 证明平行或垂直问题 师生共研师生共研 A.相交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内 解析 以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 又C1D1平面BB1C1C， 又MN 平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C. 2.(2010浙江)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A.若lm，m，则

6、l B.若l，lm，则m C.若l，m，则lm D.若l，m，则lm 解析 对于A，由lm及m，可知l与的位置关系有平行、相交或在平面内 三种，故A不正确.B正确. 对于C，由l，m知，l与m的位置关系为平行或异面，故C不正确. 对于D，由l，m知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D不正确. 3.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为 棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. 求证：MN平面BDE. 由题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)， E(0，2，2)，M(0，

7、0，1)，N(1，2，0). 设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量， 因为MN 平面BDE，所以MN平面BDE. 4.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90， ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明： (1)PABD； 证明 取BC的中点O，连接PO， 平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形， 平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC， PO底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y 轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. (2)平面PAD平面PAB. 又PAPBP，PA，PB平

8、面PAB， DM平面PAB. DM平面PAD，平面PAD平面PAB. (1)证明平行或垂直问题要以两条直线的平行或垂直为基础，灵活转化线线、 线面、面面的关系. (2)利用向量法证明平行、垂直问题时，要充分应用直线的方向向量和平面 的法向量，将空间线面关系转化为向量的关系. 思维升华 题型二 空间角的计算 命题点1 求直线和平面所成的角 (1)求AC的长； 多维探究多维探究 AD2AB2BD2，即ABBD. 又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AB平面ABD， AB平面CBD，ABBC， (2)点E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值. 解 方法一 由(1)可知

9、AB平面CBD，如图，过点B作BGDC的延长线于点 G，连接AG，则有CD平面ABG， 平面AGD平面ABG，过点B作BHAG于点H，平面AGD平面ABGAG， BH平面AGD，连接HE， 则BEH为直线BE与平面ACD所成的角. 方法二 在平面BCD上作BFBC，分别以B为原点，BC，BF，BA所在直线为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面ACD的法向量为n(x，y，z)， 设直线BE与平面ACD所成的角为， 命题点2 求二面角 例2 (2018浙江名校(诸暨中学)交流卷四)如图，已知ABC为等边三角形，M 为AB的中点，AA1，BB1分别垂直平面ABC于点A，B，AA1

10、AB，BB1 MNA1B1，垂足为N. (1)求证：CNA1B1； 证明 因为AA1，BB1分别垂直平面ABC于点A，B， 所以平面AA1B1B平面ABC， 又M为AB的中点，所以CMAB， 于是CM平面A1ABB1，所以CMA1B1. 又因为MNA1B1，CMMNM， 所以A1B1平面CMN，又CN平面CMN， 所以A1B1CN. (2)求平面ABC与平面A1B1C所成的锐二面角的正切值. 解 方法一 如图，延长AB，A1B1相交于点D，连接CD， 则CD为所求二面角的棱. 于是BDBCBA，于是ACD90，即CDCA. 又因为CDAA1，CAAA1A， 所以CD平面AA1C，所以CDCA1

11、. 于是A1CA即为所求二面角的平面角. 在RtA1AC中，AA1ABAC，所以A1CA45， 所以tanA1CA1. 综上，平面ABC与平面A1B1C所成的锐二面角的正切值为1. 方法二 如图，以M为原点，MA为x轴，MC为y轴建立空间直角坐标系， 设AB2. 设平面A1B1C的法向量为n1(x，y，z). 设所求二面角的大小为， 又平面ABC的一个法向量为n2(0，0，1). (1)利用定义法计算空间角的三步曲：一作二证三计算. (2)利用向量法求角时，可利用基底法或建立空间直角坐标系，要注意两个 向量的夹角和所求角的关系. 思维升华 (1)证明：AEMB； 证明 方法一 在梯形ABCD中

12、，连接BD交AE于点N， BC2BD2CD2，故BCBD. 又BCAE，AEBD， 从而AEBN，AEMN，且BNMNN， AE平面MNB，又MB平面MNB，AEMB. 得ME2CE2MC2，故CEME. 又CEBE，且MEBEE， CE平面BEM. MB平面BEM，CEMB， 又ABCE，ABMB. 又ABBEB，MB平面ABE， 又AE平面ABE，AEMB. (2)求直线CM与平面AME所成角的正弦值. 解 方法一 设直线MC与平面AME所成角为， AEBC， 点C到平面AME的距离即为点B到平面AME的距离. 方法二 MB平面ABCE， 建立空间直角坐标系如图所示， 设平面AME的法向量

13、为m(x，y，z)， 设直线CM与平面AME所成角为， 思维点拨 本题主要考查线线平行的证明，线面角的正弦值的求法以及空间中 线线、线面、面面间的位置关系等，意在考查考生的空间想象能力、推理论证 能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算. 例 (15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面 PCD为正三角形且二面角PCDA的大小为60. (1)设侧面PAD与侧面PBC的交线为m，求证：mBC； (2)设直线AB与侧面PBC所成的角为，求sin 的值. 答题模板 DATIMUBANDATIMUBAN 利用空间向量求空间角 规范解答 (1)证

14、明 因为BCAD，BC 平面PAD，AD平面PAD， 所以BC侧面PAD. 又侧面PAD侧面PBCm，所以mBC. 5分 (2)解 方法一 取CD的中点M，AB的中点N，连接PM，MN， 则PMCD，MNCD. 所以PMN是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角， 从而PMN60. 作POMN于点O，则PO底面ABCD. 以O为原点，ON所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 设n(x，y，z)是平面PBC的法向量， 取n(0，3，2). 方法二 如图，取CD的中点M，AB的中点N，连接PM，MN， 则PMCD，MNCD， 所以PMN是侧面PCD与底面ABCD

15、所成二面角的平面角， 从而PMN60. 作POMN于点O，则PO底面ABCD. 作OEAB交BC于点E，连接PE. 因为BCPO，BCOE，OPOEO， 所以BC平面POE. 从而平面POE平面PBC. 所以PEO就是直线OE即直线AB与平面PBC所成的角. 所以PEO. 答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标； 第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角. 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 1.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面

16、的法向量为n(2，1，1)，则 A.l B.l C.l或l D.l与斜交 解析 a(1，0，2)，n(2，1，1)， an0，即an，l或l. 12345678910111213141516 2.如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB， 则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为 12345678910111213141516 解析 设CA2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)， B1(0，2，1)， 12345678910111213141516 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED

17、与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 12345678910111213141516 解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系Axyz， 设棱长为1， 12345678910111213141516 n1(1，2，2). 平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)， 12345678910111213141516 4.(2018金华模拟)如图，平面，l，A，B，A，B到l的距离分 别是a和b，AB与，所成的角分别是和，线段AB在，内的射影长分别是 m和n，若ab，则 A.，mn B.，mn 12345678910111213141

18、516 5.已知正三棱柱ABCA1B1C1，ABAA12，则异面直线AB1与CA1所成角的余 弦值为 12345678910111213141516 解析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴， 以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设异面直线AB1和A1C所成的角为， 12345678910111213141516 6.(2018宁波十校高三适应性考试)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 点P是棱AB上的动点(P点可以运动到端点A和B)，设在运动过程中，平面PDB1 与平面ADD1A1所成的最小角为，则cos 等于 12345678910

19、111213141516 解析 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建 立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，APa(0a1)， 则易得D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，1，1)， 设平面PDB1的法向量为n(x，y，z)， 12345678910111213141516 令xa，得平面PDB1的一个法向量为n(a，1，a1)， 易得平面ADD1A1的一个法向量为m(0，1，0)， 由图易得平面PDB1与平面ADD1A1所成的二面角为锐角， 12345678910111213141516 7.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，

20、F分别是棱AB， BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值 为_. 12345678910111213141516 解析 以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 由ABAC1，PA2， 设平面DEF的法向量为n(x，y，z)， 12345678910111213141516 取z1，则n(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为， 12345678910111213141516 8.如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后， AEEDAD 则AF与CE所成角的余弦值为_. 1

21、2345678910111213141516 AEED，即AE，DE，EF两两垂直， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设ABEFCD2， 则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)， 12345678910111213141516 9.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1， ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角 是_. 60 12345678910111213141516 解析 以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在 直线为z轴，建立空间直角坐标系. 设A

22、BBCAA12， 则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)， 异面直线所成角的范围是(0，90， EF和BC1所成的角为60. 12345678910111213141516 10.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB， CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_. 12345678910111213141516 解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示. 设正方体的棱长为3，则GBBC3， 作BHAG于点H，连接EH， 则EHB为所求锐二面角的平面角. 123456789101112131

23、41516 方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设DA1， 设平面AEF的法向量为n(x，y，z)， 12345678910111213141516 令y1，z3，x1，则n(1，1，3)， 取平面ABC的法向量为m(0，0，1)， 设平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为， 证明 由题易知ADEABC60，ADCD，E是CD的中点， AECD. 又ABCD，AEAB. PA平面ABCD，PAAE，又PAABA， AE平面PAB. 12345678910111213141516 11.(2018嘉兴基础测试)如图，在

24、四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形， PA平面ABCD，PAAB2，E为CD的中点，ABC60. (1)求证：AE平面PAB； 12345678910111213141516 (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值. 12345678910111213141516 解 方法一 连接PE，过点A作AHPE于点H(图略). CDEA，CDPA，EAPAA， CD平面PAE，CDAH. 又AHPE，CDPEE，CD，PE平面PCD， AH平面PCD. AEP为直线AE与平面PCD所成的角. 12345678910111213141516 方法二 以A为坐标原点，AB，AE，AP所在直线分别为

25、x轴，y轴，z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设平面PCD的法向量为n(x，y，z)， 12345678910111213141516 设直线AE与平面PCD所成的角为， 12345678910111213141516 12.(2018浙江“七彩阳光”联盟联考)如图，四边形ABCD为正方形，四边形 PDCE为直角梯形，PDCE，PDC90，平面ABCD平面PDCE，且PD AD2EC2. (1)若PE和DC的延长线交于点F，求证：BF平面PAC； 证明 在梯形PDCE中，PD2EC， C为DF的中点， CFCDAB，又ABCF， 四边形ABFC为平行四边形，BFAC， 又AC平面

26、PAC，BF 平面PAC， BF平面PAC. 12345678910111213141516 (2)若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角的正弦值的最小值. 12345678910111213141516 解 方法一 设点Q在平面PBD上的射影为O，连接OQ，OB(图略)， 则QBO为直线BQ与平面PDB所成的角. ECPD，EC 平面PBD，EC平面PBD. 四边形ABCD为正方形，ACBD， 又平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平 面PDCE， PD平面ABCD，PDAC， 又BDPDD，AC平面PBD， 123456789101112131

27、41516 EC平面PBD， 12345678910111213141516 方法二 平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC， PD平面PDCE， PD平面ABCD，PDDA. 12345678910111213141516 设Q(0，2，t)(0t1)， 技能提升练 12345678910111213141516 13.(2019金华模拟)已知点P是正方体ABCDA1B1C1D1表面上一动点，且满足 PA2PB，设PD1与平面ABCD所成的角为，则的最大值为 12345678910111213141516 解析 以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，

28、y轴，z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，P(x，y，z)，则A(0，2，0)， 因为PA2PB， 即为如图的 、 、 ， EMG GSF ENF 12345678910111213141516 要使得PD1与底面ABCD所成的角最大， 则PD1与底面ABCD的交点R到点D的距离最短，从而点P在 上，且在QD上， ENF 12345678910111213141516 14.(2018浙江名校联盟联考)在直三棱柱ABCA1B1C1中， ABAC AA11，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的 动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长

29、度的取值范围为_. 12345678910111213141516 令D(0，b，0)，F(a，0，0)，0a1，0b1， 12345678910111213141516 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 拓展冲刺练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 连接AC与BD交于点O，连接A1O，C1O，A1B，A1D， 依题意得，ACBD，AA1BD， 又ACAA1A，BD平面AA1C1C. BDA1O，BDC1O，故A1OC1为二面角A1BDC1的平面角. 由勾股定理的逆定理，知A1OC190，故平面A

30、1BD平面C1BD. 连接PO， 若A1PC1为直角，即A1PPC1，又A1OPC1，A1PA1OA1， C1P平面POA1，则C1PPO，此时P在BDC1内的一段圆弧(该圆弧所在 的圆的直径为C1O)上，符合题意； 12345678910111213141516 当P在OC1上时，A1PC1为钝角三角形； 当P无限接近B或D时，A1PC1为锐角三角形； 若A1PC1为等腰三角形， 当A1C1为等腰三角形A1PC1的底边时，点P与A1C1中点的连线必垂直于A1C1， 此时，在BDC1内部不存在这样的点P.故选A. 12345678910111213141516 16.(2018杭州地区四校联考

31、)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD， PAAD2，BCCDAB1，ADBC. (1)若M是PD的中点，证明：CM平面PAB. 12345678910111213141516 证明 如图，取AP的中点F，连接MF，BF. 所以MFBC，MFBC， 所以四边形MFBC是平行四边形， 所以CMBF， 又BF平面PAB，CM 平面PAB， 所以CM平面PAB. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解 假设存在满足条件的点E. 方法一 如图，过点B作BH平面PCD，连接EH， 则BEH即直线BE与平面PCD所成的角. 所以PC2CD

32、2PD2， 所以PCCD， 12345678910111213141516 因为VPBCDVBPCD， 所以PB2BD2PD2， 所以PBBD， 12345678910111213141516 又BE2PB2PE22PBPEcosBPE， 所以当E是线段PD的中点或是线段PD的靠近点D的四等分点时， 12345678910111213141516 方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，其中O，G，N分别为AD，BC， PD的中点， 12345678910111213141516 设平面PCD的法向量为n(x，y，z)， 设直线BE与平面PCD所成的角为， 12345678910111213141516 所以当点E是线段PD的中点或是线段PD的靠近点D的四等分点时，