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1、10.3 二项式定理 大一轮复习讲义 第十章 计数原理 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 二项式定理(ab)n_(nN*) 二项展开式 的通项公式 Tk1_，它表示第 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 知识梳理 1.二项式定理 ZHISHISHULIZHISHISHULI k1 (3)当n是偶数时， 项的二项式系数最大；当n是奇数时， 与_项 的二项式系数相等且最大. 2.二项式系数的性质 1 2 n T 1 2 n T 1 1 2 n T 11 2n 【概念方法微思考】 1.(ab)n与(ba
2、)n的展开式有何区别与联系？ 提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而 且两个展开式的通项不同. 2.二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的 系数，否则不一定. 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 题
3、组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) 是二项展开式的第k项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( ) (4)(ab)n的展开式第k1项的系数为 ( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ) 1234567 123456 题组二 教材改编 2.P31例2(2)(12x)5的展开式中，x2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10 7 123456 A.10 B.20 C.30 D.120 7 123456 4.P41B组T5若(x1)4a0a1
4、xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为 A.9 B.8 C.7 D.6 解析 令x1，则a0a1a2a3a40， 令x1， 则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48. 7 123456 题组三 易错自纠 5.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是 7 123456 6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11， kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是 A.5 B.6 C.7 D.8 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 7 6 1234567 42 22 2 ( 1) C kk kk xy 2题型分类 深度剖
5、析 PART TWO 题型一 二项展开式 命题点1 求指定项(或系数) 多维探究多维探究 A.15 B.20 C.30 D.35 39 2 9 (2) C k kk x (3)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_. 12 解析 方法一 (x2xy)4(x2x)y4， 因为要求x3y2的系数，所以k2， 因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6212. 方法二 (x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积， 在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选 x2，即可得到含x3y2的项， 命题点2 求参数 令123k0， 得k4. 求二项展开
6、式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要 求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1， 代回通项公式即可. 思维升华 14 令63k3，则k1， 2 60 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题 师生共研师生共研 例3 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_. 解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令x1，得0a0a1a2a3a4a5. ，得16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)， 所以
7、8(a1)32，解得a3. 3 (2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2 a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_. 解析 令x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令x2，则m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3或m1. 1或3 当k5时，2n3k1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令x1，得a0a1a828256. 又当x0时，a01， a1a2a8255. 255 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对
8、形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b， cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. (2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0a2a4 思维升华 跟踪训练2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； 解 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71. 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737. (2)a1a3a5a7； 解 ()2， (3)a0a2a4a6； 解 ()2， (4)|a0|a1|a2|a7|. 解 方法一 (12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a
9、1，a3，a5，a7小 于零， |a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094) 2 187. 方法二 |a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1， |a0|a1|a2|a7|372 187. 题型三 二项式定理的应用 师生共研师生共研 例4 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于 A.0 B.1 C.11 D.12 A.i B.i C.1i D.1i (1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的 结构，然后逆用二项式定理求解. (2)利用二项式定理解
10、决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论. 思维升华 A.1 B.1 C.87 D.87 前10项均能被88整除， 余数是1. 解析 当x0时，左边1，右边a0，a01. 1 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 A.240 B.60 C.60 D.240 令123k0，得k4， 12345678910111213141516 A.80 B.48 C.40 D.80 则k1， 12345678910111213141516 3.(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为 A.80 B.
11、40 C.40 D.80 当k2时，T3240x4y2， 当k3时，T4160x3y3， 故x4y3的系数为24016080，故选D. 12345678910111213141516 4.(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为 A.21 B.35 C.45 D.28 12345678910111213141516 A.120 B.160 C.200 D.240 令2k60，可得k3，故展开式的常数项为160. 12345678910111213141516 6.若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为 解析 (x1)4(ax1)(x44x36
12、x24x1)(ax1)， x4项的系数为4a115，a4. 12345678910111213141516 A.671 B.671 C.672 D.673 解析 令x1，可得该二项展开式各项系数之和为1. 所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671，故选B. 12345678910111213141516 8.若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，则a13a232a2 01832 018 的值为 A.22 0181 B.82 0181 C.22 018 D.82 018 解析 由已知，令x0， 得a01，令x3， 得a0a13a232a2 01832 018(1
13、9)2 01882 018， 所以a13a232a2 01832 01882 018a082 0181，故选B. 12345678910111213141516 9.(2018绍兴诸暨期末)已知(2x1)6a6(x1)6a5(x1)5a4(x1)4 a1(x1)a0，则a0a1a2a6_，a2_. 1 60 解析 令x0，即得16a6a5a1a0， 12345678910111213141516 解析 因为展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式共有13项，n12， 则二项展开式的通项Tk1 12 14 12 121212 33 1212 CC kk kkkkk axxax ， 123
14、45678910111213141516 11.9192除以100的余数是_. 81 所以9192除以100的余数是81. 12345678910111213141516 12.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用 数字作答) 解析 令x1，得a0a1a2a1236， 令x1，得a0a1a2a121， 364 令x0，得a01， 技能提升练 12345678910111213141516 13.(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)等于 A.45 B.60 C.
15、120 D.210 12345678910111213141516 即n3时取等号，此时p64q的最小值为16. 16 拓展冲刺练 12345678910111213141516 15.(2018金华模拟)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10x10，则a12a2 3a34a410a10_. 解析 对原等式两边求导，得20(32x)9a12a2x3a3x210a10x9， 令x1，得a12a23a34a410a1020. 20 (1)展开式中所有x的有理项； 12345678910111213141516 设展开式中的有理项为Tk1， 12345678910111213141516 18 3 4 9 2 C k kk x ， 又0k9，k2，6. 18 3 2 22 4 9 2 Cx 故有理项为T3 144x3， 18 3 6 66 4 79 2C5 376.Tx (2)展开式中系数最大的项. 12345678910111213141516 解 设展开式中Tk1项的系数最大， 又kN，k6， 故展开式中系数最大的项为T75 376.