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1、第9讲 规律探究【知识要点】通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点： 1、一般地，常用字母n为正整数，从1开始。 2、在数据中，分清奇偶，记住常用表达式：正整数n1,n,n+1 ；奇数2n3,2n1,2n+1,2n+3；偶数2n2,2n,2n+2 3、熟记常用的规律： 正方形数：1
2、、4、9、16. n2 三角形数：1、3、6、10 折痕数：1、3、7、152n1 正整数和：1+2+3+4+n=【例题选编】 例1、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A、2、3、J、Q、K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是。 例2、已知，已知，则n的值为。 例3、10个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁
3、的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 例4、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90 例5、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多
4、边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 例6、正五边形广场ABCDE的周长为2000米甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿ABCDEA方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。例7、如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点的位置，则（ ）A2012 B2011 C2010 D2009 例8、如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此下去，得图（3），这样得
5、到的图案叫雪花曲线，雪花曲线有一个奇妙的性质，其边行可以无限增加，但围成的图形的面积是有限的。如图可得，第1 个图有3条边，周长为3，第2个图形有12条边，周长为4，则第4个图形的周长是_，第n个图形的周长是_. 例9、把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（ ）A（45，77） B（45，39） C（32，46） D（32，23） 例10、已知直线y=x+（n为正整数）与坐标轴围成的三
6、角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+S2012= 。【课后作业】1、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有 _个小圆. （用含 n 的代数式表示）第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形 2、如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取ABC和DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取A1B1C1和1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 。 3、如下数
7、表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；（3）第n行各数之和为 。 4、同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+n2但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n1)n=n(n+1)(n1)时，我们可以这样做：(1) 观察并猜想： 12+22=(1+0)1+(1+1)2=1+01+2+12=
8、(1+2)+(01+12)12+22+32=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3=1+01+2+12+3+23=(1+2+3)+(01+12+23)12+22+32+42=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+ =1+01+2+12+3+23+ =(1+2+3+4)+( )(2)归纳结论：12+22+32+n2=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+1+(n1)n=1+01+2+12+3+23+n+(n一1)n=( ) + = + = (3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 。 5、如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3、Pn
9、、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、Sn，则S1= ，Sn= （用含n的代数式表示） 6、若干个1与2进行如下排列：1；2，1；2，2，1；2，2，2，1；2，规则是第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一列1，再在第k个1前插入（k1）个2，（k1，2，3，）。试问： （1）第2009个数是 （填空1或2），其前面有 个1； （2）前2009个数的和是 ； （3）前2009个数两两乘积是 。5