《2017年中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第23课时等腰三角形20170707212.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第23课时等腰三角形20170707212.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第5章 图形的性质【精学】考点一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2、等腰三角形的
2、判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么
3、这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形考
4、点二、等边三角形的性质与判定1.等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴2.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.【巧练】题型一、等腰三角形性质例1.（2016山东滨州）如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（）A50B51C51.5D52.5【答案】D.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质推出A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，根据三角形的外角性质求出B=25，由三角形的内角
5、和定理求出BDE=BED=（18025）=77.5，根据平角的定义即可求出CDE=180CDAEDB=1805077.5=52.5，故答案选D题型二、等腰三角形与线段垂直平分线例2（2016雅安）如图所示，底边BC为2，顶角A为120的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，则ACE的周长为（）A2+2 B2+ C4 D3【答案】A.【分析】过A作AFBC于F，根据等腰三角形的性质得到B=C=30，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论【解答】解：过A作AFBC于F，AB=AC，A=120，B=C=30，AB=AC=2，DE垂直平分AB，BE=AE，AE+CE=B
6、C=2，ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力题型三、等腰三角形的多解问题例3（2015湖北衡阳）已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A11 B16 C17 D16或17【答案】D【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和6，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论【解析】由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5,5,6或者5,6,6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之
7、差小于第三边的条件，所以此等腹三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.故选项D正确【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论题型四、等边三角形性质运用例4.(2016宁夏)在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长【答案】证明过程见解析【解析】试题分析：先证明DEC是等边三角形，再在RTDEC中求出EF即可解决问题试题解析：ABC是等边三角形， B=ACB=60， DEAB， EDC=B=60，EDC是等边
8、三角形， DE=DC=2，在RTDEC中，DEC=90，DE=2， DF=2DE=4，EF=2【限时突破】1（2016邵阳）如图所示，点D是ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）AACBC BAC=BC CAABC DA=ABC2.（2015吉林）如图，ABCD，AD=CD，1=70，则2的度数是（ ）A20 B35 C40 D703.(2016广西省贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A12 B16 C20 D16或204（2016河北）如图，AOB=120，OP平分AOB，且OP=2若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满
9、足上述条件的PMN有（）A1个 B2个 C3个 D3个以上5.(2016四川省乐山)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知ADE=40，则DBC= 6.（2015新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60，则它的顶角的度数是 7.（2016北京市）在等边ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，BAP=20，求AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM依题意将图2补全；小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想
10、与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证ANPPCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）【答案解析】1.【答案】A【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得到A=ABD，所以ABCA，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断【解答】解：AD=BD，A=ABD，ABCA，所以C选项和D选项错误；ACBC，所以A选项正
11、确；B选项错误故选A【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合2.【答案】C【分析】根据平行线的性质以及等腰三角形的性质即可.【解析】ABCD，ACD=1=70.AD=CD，DAC=ACD=70，2=180-DAC-ACD=180-70-70=40，故选C。【点评】此题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确识图是解题关键 3.【答案】C【解析】试题分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8-488+4，符合题意
12、故此三角形的周长=8+8+4=20.考点：(1)、等腰三角形的性质；(2)、三角形三边关系4.【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作MPN=60，只要证明PEMPON即可推出PMN是等边三角形，由此即可对称结论【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作MPN=60OP平分AOB，EOP=POF=60，OP=OE=OF，OPE，OPF是等边三角形，EP=OP，EPO=OEP=PON=MPN=60，EPM=OPN，在PEM和PON中，PEMPONPM=PN，MPN=60，POM是等边三角形，只要MPN=60，PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个故选D【点评】本题考查
13、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型5.【答案】15【解析】试题分析：DE垂直平分AB，AD=BD，AED=90，A=ABD，ADE=40，A=9040=50，ABD=A=50，AB=AC，ABC=C=（180A）=65，DBC=ABCABD=6550=15，故答案为：15 考点：1线段垂直平分线的性质；2等腰三角形的性质6.【答案】120【分析】本题主要考虑与这个外角相邻的内角是顶角或是底角，利用内角和定理即可得解.【解析】等腰三角形一个外角为60，那相邻的内角为120，三角形内角和为180，如果这
14、个内角为底角，内角和将超过180，所以120只可能是顶角故答案为：120【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理7【答案】（1）40；（2）作图见解析；证明见解析【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得到APB=AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据要求作出图形，如图2；根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得到APB=AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，OAC=MAC，等量代换得到MAC=BAP，推出APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论试题解析：（1）AP=AQ，APQ=AQP，APB=AQC，ABC是等边三角形，B=C=60，BAP=CAQ=20，PAQ=BACBAPCAQ=602020=20，BAQ=BAP+PAQ=40；（2）如图2；AP=AQ，APQ=AQP，APB=AQC，ABC是等边三角形，B=C=60，BAP=CAQ，点Q关于直线AC的对称点为M，AQ=AM，QAC=MAC，MAC=BAP，BAP+PAC=MAC+CAP=60，PAM=60，AP=AQ，AP=AM，APM是等边三角形，AP=PM考点：三角形综合题10