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1、热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点问题1(2014全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.2分将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.5分(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.8分由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)
2、，由题意知y10，则即10分代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.12分2已知椭圆C的方程为：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.2分因此a2，c.故椭圆C的离心率e.5分(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，则0，所以tx02y00，解得t.8分又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4).10分因为4
3、(0b0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M. 【导学号：31222334】(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解b1，e，解得a22.3分故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0)，由于点A(m，n)在椭圆C上，1nb0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.图5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否
4、存在一个定点M(t,0)，使得 0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：31222335】解(1)由c1，ac1，得a2，b，3分故椭圆C的标准方程为1.5分(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.8分设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，10分(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意.12分6(2016全国卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交
5、C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解由题意知F，设直线l1的方程为ya，直线l2的方程为yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.2分(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.5分(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.8分由题意可得|ba|，所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1).10分而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1.所以，所求的轨迹方程为y2x1.12分5