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1、北京市西城区2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分151617181920分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 复数（ ） （A）（B）（C）（D）2. 已知函数，则（ ）（A）（B）（C）（D）3. 甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为. 现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）OOxOyO1O2O4. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）（A）（B）（C）（D）5. 直线与抛物线
2、所围成的封闭图形的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）6. 用四个数字组成无重复数字的四位数，其中比大的偶数共有（ ）（A）个（B）个（C）个（D）个7. 函数在区间上的最大、最小值分别为（ ）（A）（B）（C）（D）8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）（A）总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多（B）总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多（C）总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个（D）总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 曲线在处切线的斜率为_.10. 展开式中的常数项是_.
3、（用数字作答） 11. 离散型随机变量的分布列为:且，则_； _.12. 某班举行的联欢会由个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_种13. 若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是_14. 已知，对于任意，均成立.若，则的最大值为_； 在所有符合题意的中，的最小值为_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）在数列中，其中.() 计算，的值；() 根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动
4、员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.()求甲投球次，至少命中次的概率；()若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率.17（本小题满分13分）已知函数.() 若，求的极值点和极值；() 求在上的最大值.18（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共()个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是. 现从袋中任意摸出个球.() 用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率，并写出概率最小时的值.（直接写出的值）() 若，且摸出的个球中至少有个白球的概率是，设表示摸出的个球中红球的个数，求随机变量的分布列和数学期望.19（本小题满分
5、14分）已知函数和. () 若，求证：的图象在图象的上方；() 若和的图象有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围.20（本小题满分14分）已知函数. （）求的单调区间；（）证明：当时，方程在区间上只有一个解； （）设，其中.若恒成立，求的取值范围.北京市西城区2016 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A； 2.D； 3. C ； 4. B ； 5. C； 6. D； 7. C； 8. B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. ； 10. ； 11. ； 12. ；13.
6、 ； 14. ；.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解： () 根据已知，；. 4分 ()猜想. 6分证明： 当时，由已知；由猜想，猜想成立. 8分假设当（）时猜想成立，即， 10分则时， .所以，当时，猜想也成立. 12分由和可知，对任意的都成立. 13分16.（本小题满分13分）解：()设“甲投球一次命中”为事件， 则. 2分故甲投球次至少命中 次的概率为. 5分 () 设“乙投球一次命中”为事件.由题意得， 7分解得或(舍去)， 所以. 8分甲、乙两人各投球次共命中次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两
7、次. 9分甲中两次，乙中一次的概率为.11分甲中一次，乙中两次的概率为.12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为.所以甲、乙两人各投次，共命中次的概率为. 13分17.（本小题满分13分）解：() 当时，. 2分令，得或. 与在上的情况如下：4分所以，函数的极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为.6分() . 7分当时，（仅当时，），函数是增函数，在上的最大值为. 8分当时，在区间上，函数是增函数.在上的最大值为. 10分当时，与在区间上的情况如下：11分此时，. 当，即时，在上的最大值为. 12分当，即时，在上的最大值为. 13分综上，当时，
8、在上的最大值为；当时，在上的最大值为.18.（本小题满分13分）解：() 依题意有个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件，则. 4分最小时. 5分() 依题意有个黑球. 6分设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件，则，整理得，解得或（舍）. 8分所以袋中红球的个数为(个).随机变量的取值为. 9分；.的分布列为：12分数学期望. 13分19.（本小题满分14分）解：() 当时，.设，. 1分则， 2分所以，在区间上，是减函数；在区间上，是增函数. 4分所以，的最小值为，又，所以恒成立.即的图象在图象的上方. 5分 () 设，其中.由已知，.因为在点处的切线
9、相同，所以. 7分消去得. 根据题意，方程有解. 8分设，则在上有零点.，当时，函数在上单调递增. 当时，有零点. 当时，有零点. 11分当时，令，解得.与在区间上的情况如下：令，得 .此时.所以有零点. 13分综上，所求的取值范围为. 14分20.（本小题满分14分）解：（）由已知. 2分所以，在区间上，函数在上单调递减，在区间上，函数在区间上单调递增. 4分（）设，. 5分，由（）知，函数在区间上单调递增.且，. 所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解. 8分（）设，定义域为， 9分令，则，由（）知，在区间上只有一个零点，是增函数，不妨设的零点为，则， 11分所以，与在区间上的情况如下：所以，函数的最小值为， 由，得，所以. 13分依题意，即，解得， 所以，的取值范围为. 14分10