《工程制图教学课件》第二章 点直线平面的投影.ppt

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1、第 二 章 点、直线和平面的投影,第二章 点、直线、平面的投影,第一节 投影的基本知识,第二章 点、直线、平面的投影,手影表演,图像资料来源：土豆网,第二章 点、直线、平面的投影,投影原理的应用：,第二章 点、直线、平面的投影,一、投影的概念及其分类,投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。,S投射中心,A投射线,B空间物体,C投影,P投影面,平行投影法,第二章 点、直线、平面的投影,中心投影法：,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。常用来画透视图，立体感强，直观性较好，但因其度量性较差，不用于施工和制造。,第二章 点、直线、平面的投影,正投影

2、法：平行的投射线垂直于投影面的投影法。,斜投影法：平行的投射线倾斜于投影面的投影法。,正投影法,斜投影法,度量性好，广泛用于工程图样中！,第二章 点、直线、平面的投影,（1）显实性,（3）类似性,（2）积聚性,正投影的基本性质：,（4）从属性,。,第二章 点、直线、平面的投影,一个投影不能确定空间立体形状,第二章 点、直线、平面的投影,二、工程上常用的几种投影图,1、多面正投影图,第二章 点、直线、平面的投影,三面正投影图：,原理：正投影法,优点： 度量性好， 作图方便,缺点： 立体感差,2. 轴测投影图,优点：直观性好，立体感强，有一定的可度量性 缺点：作图繁琐,原理：正投影法和斜投影法,3

3、. 标高投影图,15,20,25,原理：正投影法 用途：用于表达形状较复杂的曲面，如绘制地形图的等高线,4. 透视投影图,原理：中心投影法,优点：立体感强，直观性较好 缺点： 度量性较差,第二节 点的投影,第二章 点、直线、平面的投影,一、点在一个投影面上的投影,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,a,采用多面投影。,注意：空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。,第二章 点、直线、平面的投影,两面投影:,在与水平投影面垂直，位于观察者正对面再设置一投影面，形体从前向 后投影，得到的正投影图称作正面投影。投影面称作正

4、立投影面，用字母V 表示。,两面投影不能唯一地反映物体的形状!,H,H,V,V,第二章 点、直线、平面的投影,二、点在三个基本投影面上的投影,投影面,正立投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧立投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,三基本投影面体系,第二章 点、直线、平面的投影,点在三个基本投影面上的投影图,投影面展开FLASH动画,点A的正面投影,第二章 点、直线、平面的投影,（2） 点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。,（1） 点的两面投影的连线，必定

5、垂直于投影轴。,点的三面投影规律,第二章 点、直线、平面的投影,第二章 点、直线、平面的投影,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,结论： 若点的两个投影已知，则其空间位 置确定，其第三投影也就唯一确定。,第二章 点、直线、平面的投影,例2：已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。,第二章 点、直线、平面的投影,两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左。, y 坐标大的在前。, z 坐标大的在上。,b,a,a,a,b,b,B点在A点

6、之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,两点的相对位置,例3：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,第二章 点、直线、平面的投影,当空间两点的某两个坐标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。,重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。 YE YF 故对面V ，E可见，F不可见。,重影点,第三节 直线的投影,第二章 点、直线、平面的投影,一、直线投影图的作法,两点确定一条直线，将两点的 同名投影用直线连接，就得到直线 的同名投影。,展开图FLASH动画,第二章 点、直线、平面的投影,二、直线的投影特性,

7、(3)类似性：直线倾斜于投影面时，其投影小于实长。,(1)显实性：直线平行于投影面时，其投影等于实长。,(2)积聚性：直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点。,一般位置直线,投影面平行线,投影面垂直线,直线对投影面的相对位置,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性:,H,a,a,A,b,V,B,b,W,a,b,Z,X,O,Y,一般位置直线的投影,第二章 点、直线、平面的投影,投影面平行线：平行于一个投影面的直线,平行线空间位置的判别： 一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。,投影

8、特性？,第二章 点、直线、平面的投影,水平线的投影特性,ab与OX和OYH的夹角、等于AB对V、W面的倾角,水平线 ab=AB,abOX、abOYW 都不反映实长,第二章 点、直线、平面的投影,正平线的投影特性,cd OX、cdOYW 都不反映实长,cd与OX和OZ的夹角、等于CD对H、W面的倾角,正平线 cd= CD,第二章 点、直线、平面的投影,侧平线的投影特性,侧平线 ef=EF,efOYH、 efOZ 都不反映实长,ef与OYW和OZ的夹角、等于EF对H、V面倾角,第二章 点、直线、平面的投影,投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线,平行线空间位置的判别： 一点两直线，定是垂直线；点在哪

9、个面，垂直哪个面。,投影特性？,第二章 点、直线、平面的投影,铅垂线的投影特性,ab= ab= AB,且 abOX、abOYW,铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点,第二章 点、直线、平面的投影,正垂线的投影特性,正垂线:正面投影 c（d）积聚一点,cd=cd= CD,且 cdOX、cdOZ,第二章 点、直线、平面的投影,侧垂线的投影特性,侧垂线:侧面投影 e（f）积聚一点,ef=ef=EF,且 efOYH、 efOZ,例4：已知直线AB、AC的两投影，求两直线的第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。,第二章 点、直线、平面的投影,三、点和直线的相对位置,点与直线的从属关系可以分为两种，

10、即点从属于直线和点不从属于直线。,点从属于直线：,即：AC/CB= ac/cb = ac/cb =ac/cb,（2）从属于直线的点分割线段之长度比等于其投影分割线段投影长度之比。,（1）点在直线上，则点的各个投影必定 在该直线的同面投影上，并且符合点的投 影规律。,定比定理,第二章 点、直线、平面的投影,X,a,b,O,b,m,a,m,z,b,a,m,例5：已知直线AB和点M的正面投影和水平投影，问点M是否在直线上？,结论：点M不在直线上。,yW,yH,第三投影法,第二章 点、直线、平面的投影,四、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置有:平行、相交、交叉。,1 . 平行两直线：空间相互平行的

11、两直线,它们的各组同面投影也一定相互平行。,ABCD，则abcd、 abcd 、abcd。 反之亦成立。,第二章 点、直线、平面的投影,a,b,c,d,c,a,b,d,例6：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,第二章 点、直线、平面的投影,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例7：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,第二章 点、直线、平面的投影,2、相交两直线,空间两直线 AB，CD相交于点K，则交点

12、K是两直线的共有点。同时K要符合点的投影规律。,ab 、cd交于k ab、cd交于k ab、cd交于k,第二章 点、直线、平面的投影,3、交叉两直线,在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交两直线的投影特性。,交点是一对重影点的投影。,第二章 点、直线、平面的投影,4、两直线垂直相交,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,直角投影定理,第四节 平面的投影,

13、第二章 点、直线、平面的投影,一、平面在投影图上的表示法,平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列的几何元素来确定和表示：,不在同一直线上的三点,一直线和直线外一点,两相交直线,1. 用几何元素表示平面：,第二章 点、直线、平面的投影,两平行直线,任意平面图形,第二章 点、直线、平面的投影,2. 用平面的轨迹表示平面：,平面与投影面的交线，称为平面的迹线。 PH-水平迹线 PV-正面迹线 PW-侧面迹线,第二章 点、直线、平面的投影,二、平面的投影过程,平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。,先画出各顶点的投影,后将各点

14、同面投影依次连接，即为平面的投影。,立体图,第二章 点、直线、平面的投影,平面展开图,第二章 点、直线、平面的投影,三、平面的投影特性, 平面对一个投影面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,第二章 点、直线、平面的投影, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,第二章 点、直线、平面的投影,投影面平行面,平行面空间位置的判别：,一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面。,第二章 点、直线、平面的投影,水平面的投影特性,水平

15、面：水平投影反映实形,正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OYW轴,第二章 点、直线、平面的投影,正平面的投影特性,水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴,正平面：正面投影反映实形,第二章 点、直线、平面的投影,侧平面的投影特性,侧平面：侧面投影反映实形,水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于OYH、OZ轴,第二章 点、直线、平面的投影,投影面垂直面,平行面空间位置的判别：,两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面。,第二章 点、直线、平面的投影,铅垂面的投影特性,正面投影和侧面投影为原形的类似形,铅垂面：水平投影积聚为直线段,第二章 点、直线、平面的投影,

16、正垂面的投影特性,正垂面：正面投影为有积聚性的直线段,水平投影和侧投影为原形的类似形,第二章 点、直线、平面的投影,侧垂面的投影特性,侧垂面：侧面投影为有积聚性的直线段,正面投影和水平投影为原形的类似形,第二章 点、直线、平面的投影,四、平面内取点线,判断直线在平面内的方法：,1、平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,第二章 点、直线、平面的投影,例8：已知平面ABC，试作出属于该平面的任意一直线。,有无数解。,第二章 点、直线、平面的投影,n,m,n,m,唯一解！,例9：在平面ABC内作一条水平

17、线，使其到H面的距离为10mm。,第二章 点、直线、平面的投影,2、平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例10：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,第二章 点、直线、平面的投影,b,c,k,a,d,a,d ,b,c,k,b,例11：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,c,a,d,a,d,b,c,X,X,第二章 点、直线、平面的投影,例12： 已知一平面ABCD， 判别点K是否在平面上；已知平面上一点E的水平投影 e，

18、作出其正面投影。,a,X,b,c,O,k,e,c,d,a,b,k,d,第二章 点、直线、平面的投影,解：（1）分析：要找点K在不在平面内，先找过点K的直线在不在平面内。,f ,结论：点K不在平面内,f,作图：,第二章 点、直线、平面的投影,a,b,c,e,c,d,a,b,d,（2）分析：点E在平面内，必在平面内某一条直线上。 作图方法一：用过点E的任一辅助线作图。,e,X,O,第二章 点、直线、平面的投影,作图方法二：用/直线BC的辅助线作图,a,b,c,e,c,d,a,d,b,e,X,O,第五节 直线与平面 平面与平面的相对位置,第二章 点、直线、平面的投影,一、平行问题,直线与平面平行,平

19、面与平面平行,1、直线与平面平行,第二章 点、直线、平面的投影,a,c,b,m,a,b,c,m,例13：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,第二章 点、直线、平面的投影,正平线,例14：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,第二章 点、直线、平面的投影,2、平面与平面平行,A,B,C,E,F,G,P,Q,若一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则此两平面互相平行。,第二章 点、直线、平面的投影,例15：过点K作一平面，使其与平面ABC平行。,分析：如果过K点作两条相交直线分别平行于ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面

20、就平行于已知平面。,作图步骤：,2）作KDAC (kdac,kdac);,a,c,a,c,b,b,k,k,X,1）作KEBC (kebc, kebc);,3）平面KDE即为所求。,第二章 点、直线、平面的投影,例16：过K点作平面平行于ABC。,两特殊位置平面相互平行时，它们有积聚性的同面投影互相平行。,X,1,2,X,a,b,b,c,a,c,b,m,m,k,k,f,f,c,c,a,a,b,k,k,1,2,第二章 点、直线、平面的投影,P,K,A,B,交点,直线与平面相交,平面与平面相交,B,A,M,C,N,L,交线,二、相交问题,第二章 点、直线、平面的投影,1、直线与平面相交,P,K,B,

21、交点特性： 直线与平面的共有点; 直线可见性的分界点。,第二章 点、直线、平面的投影,A. 一般位置直线与特殊位置平面相交,F,V,H,E,K,P,A,B,C,PH,b,a,c,k,特殊位置平面投影有积聚性,直线与平面的交点属于直线和平面,交点的投影一定与平面的积聚性投影重合,第二章 点、直线、平面的投影,判断直线的可见性:,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,第二章 点、直线、平面的投影,B. 特殊位置直线与一般位置平面相交,E,B,C,b,a,c,特殊位置直线投影有积聚性,直线与平面的交点属于直线和平面,交点的投影一定与直线的积聚性投影重合,A,F,K,a,b

22、,c,k,e f,k,e,k,第二章 点、直线、平面的投影,直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点,且满足投影规律.,C. 直线和平面都在一般位置(不作要求）,X,H,V,a,b,c,A,a,B,b,c,a“,c“,b“,C,Y,Z,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,（1）平面为特殊位置,例17：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m

23、(n),b,m,n,c,b,a,a,c,（2）直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,第二章 点、直线、平面的投影,2、平面与平面相交,交线特性： 1. 交线是两平面的公有线。,A,B,C,N,E,F,G,M,2. 交线的投影一般是直线。,3. 交线是可见性的分界线。,第二章 点、直线、平面的投影,判断平面的可见性：,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及

24、投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例18：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作

25、图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不在DEF这个图形内。 故ABC和DEF的交线应为MK。,a,b,b,c,g,d,f,e,a,c,d,e,f,g,课后自学：例19 求四边形DEFG与ABC的交线。,分析与作图：,四边形DEFG是正垂面，所以 其正面投影有积聚性。,2.交线是两个平面的共有线。 设交线为MN,则m n一定与 平面的积聚性投影重合。,3.利用面上定线的方法求出交 线的水平投影mn,4.判别可见性。,交线是可见性的分界线,a,b,b,c,g,d,f,e,a,c,d,e,f,g,课后自学

26、：例20 求两四边形ABCD 与EFGH的交线。,分析与作图：,两四边形都是铅垂面，所以它们的水平投影有积聚性。,2.交线是两个平面的共有线。设交线为MN,则m n一定为两平面积聚性投影的交点。,3. 求出交线的正面投影。,4.判别可见性。,h,h,问题：交线是什么位置线？,第二章 点、直线、平面的投影,三、垂直问题,一、直线与特殊位置平面垂直,a,b,d,f,e,e,f,d,A,B,C,D,E,F,c,b,a,已知直线EF垂直于四边形ABCD平面。,2. 四边形ABCD是铅垂面,其垂线EF一定为水平线。故ef必定与平面的水平投影垂直。 e f平行于OX轴。,第二章 点、直线、平面的投影,二、两特殊位置平面垂直,a,b,f,e,e,f,d,A,B,C,E,F,c,b,a,D,本章结束， 谢谢！,