固体物理-周张凯课件 第一章-晶体结构与x射线-2014-zzk.ppt

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1、第一章 晶体结构和X 射线衍射,周张凯,中山大学 物理科学与工程技术学院,固体物理引言,我教这门课的主要目的不是替你为应付某种考试做准备 甚至也不是替你为参加工业部门或军事部门作准备。,我至多希望是你对奇妙的世界以及对物理学家看待这一世界的方 式有所了解，我相信这是真正的现代文化主要部分。,或许你不仅会对这种文化有所了解，甚至还可能加入这一人类心 智早已开始的最伟大的冒险。,理查德费曼：,5. 课程主要内容,固体物理引言,电子运动,原子=原子实+价电子,原子具体排列形式 即为晶格,自由电子模型,晶格振动即为声子,电子活动的舞台,最简单的电子运动模型,声子的运动规律,电子最重要的相互作用对象,晶

2、格周期势场作用下的 电子运动,Bloch定理,电子与晶格作用具体体现,外场中的电子运动 （主要是静电场）,电子运动规律的实际应用,以上是从电子角度的概括，但必须强调，物理学的每个分支都有同等重要的地位， 晶格以及声子研究也是固体物的重要部分。,能带论,7. 参考书目,固体物理引言,美 C.基泰尔：固体物理导论，科学出版社，1979年11月第1版； (Introduction to Solid State Physics(C.Kittel)，JOHN WILEY & SONS INC (7th edition, 1996) 方俊鑫，陆栋：固体物理学（上册），上海科学技术出版社， 1980年12月

3、第1版 陆栋，蒋平，徐志中：固体物理学，上海科学技术出版社， 2003年12月第1版 刘友之，聂向富，蒋生蕊，固体物理学习题指导，高等教育出版社， 1988年8月第一版 王矜奉，范希会，张承琚，固体物理概念题和习题指导 山东大学出版社，2011年9月第一版,第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X 射线衍射,1.1 晶体和晶格基本概念,1.2 几种简单的晶体结构,1.3 晶列和晶面指数,1.4 倒格子和晶体衍射,1.5 对称操作和点群,1.6 晶体的对称性、空间群,晶体学的基本概念,本章最重要内容 也是周期性特性初步尝试,晶体学的高级概念,晶体形态,石英,绿玉,钻石,蓝宝石,Ho-

4、Mg-Zn 准晶,琥珀,碳纳米管,石墨烯,第一章 晶体结构和X 射线衍射,Crystal Growth & Design 8, 4432, 2008,第一章 晶体结构和X 射线衍射,各晶体是由一些基元（basis）按一定规则, 周期重复排列而成。 是组成晶体的最小物理重复单元； 可以是原子或原子集团（如分子、蛋白质）;,1、晶体结构=晶格+基元,第一章 晶体结构和X 射线衍射,1）基元,1.1 晶体和晶格基本概念,基元、重复排列,第一章 晶体结构和X 射线衍射,晶体结构的周期性 （Crystal structure）,理想化的晶体是周期排列无限延伸的，即 每一个基元是等价的，其物理内容都相同，

5、它周围的环境也是相同的。（没有边界） 宏观尺度的实际晶粒含极大量的原子; 一般晶体内的杂质含量低于 10-9，这样，可把实际晶体近似为理想晶体。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,具有原子分辨率的TEM模拟辅助成像,L.J. CHEN, Metal Silicides: An Integral Part of Microelectronics, JOMM, Vol. 57, No.9, pp. 24-31,第一章 晶体结构和X 射线衍射,OL Krivanek et al. Nature 464, 571-574 (2010) doi:10.1038/nature08879,The atomic

6、 structure determined by the histogram analysis.,现代分析技术可以做到每个原子做化学分析,B,N,C,O,第一章 晶体结构和X 射线衍射,Nano Letters, 2013, doi:10.1021/nl401945b,原子级3D-TEM分析图,第一章 晶体结构和X 射线衍射,2）晶格、格点和布喇菲格子,在基元中任选一点（如重心），并在其他各基元选出相同点，把最近邻点相连接，抽象出三维几何网络，则此网络就叫 晶格（Lattice），或 布喇菲格子（Bravais Lattice） ，网格点就叫 格点（Lattice point）。 除边界以外,

7、 布喇菲格子内每一个格点都是等价的, 它代表的内容、它的环境（最近邻）与所处的地位是相同的。 平移对称性: 晶体在任两格点间平移后保持不变,第一章 晶体结构和X 射线衍射,基元,、格点,第一章 晶体结构和X 射线衍射,布喇菲格子、平移对称性,第一章 晶体结构和X 射线衍射,格子 (lattice),第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X 射线衍射,晶体结构,点阵、晶格,晶体结构 = 晶格 + 基元,第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X 射线衍射,2、格式与基矢、原胞与晶胞,在格子内任选一格点作为原点, 向另外任一格点作矢量 , 此矢量就叫格矢。（Lattice T

8、ranslation Vector） 格矢的特点：晶体沿格矢作整体位移后，晶格与原来的重合。这也称作平移周期性或平移对称性。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,2、格式与基矢、原胞与晶胞,对格子内任何一格矢 ，都可找出一组不共面的格矢 ，使之表示为： 则把 叫做一组基矢（Translation Vector）。,a1,a2,第一章 晶体结构和X 射线衍射,格式与基矢,第一章 晶体结构和X 射线衍射,格式与基矢,第一章 晶体结构和X 射线衍射,基矢的选择不是唯一的, 其特点是：,所包围的空间内不再有格点； 由它们沿各基矢平移所包围的空间（平行六面体）体积相等； 通过平移操作，此空间可覆盖整个晶体，

9、既没有重复，也没有遗漏。,二维格子几种可能的基矢,第一章 晶体结构和X 射线衍射,原胞,由一组基矢 所决定的平行六面体所围起来的最小重复单元就叫原胞 (或初基单胞Primitive Cell)。(固体物理常用),第一章 晶体结构和X 射线衍射,晶格的最小周期单元，只包含一个格点； 二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的原胞是平行六面体； 以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量，可以把原胞复制满空间，既没有重复，也没有遗漏。,原胞的特点,第一章 晶体结构和X 射线衍射,二维格子几种可能的原胞取法,第一章 晶体结构和X 射线衍射,晶胞,原胞往往不能反映晶体的对称性，因而，习惯上常选择能反映晶体对称性的

10、重复单元，这种重复单元就叫 晶胞（conventional cell）(或非初基单胞, nonprimitive cell)。 晶胞一般不是最小的重复单元。其体积（面积）可以是原胞的数倍。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,威格纳-赛兹原胞,能反映晶体对称性的最小重复单元叫威格纳-赛兹原胞（Wigner-Seitz Cell）。,它按以下方法选取: 最近邻或次近邻两格点间连线的垂直平分面(三维)或垂直平分线(二维)所围成的原胞。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X射线衍射,简单晶格：原胞只有一个原子。,复式晶格：原胞有两或更多个原子。,复式晶格： 由不等原子分别组成的多套简单

11、格子嵌套而成。,简单晶格：原胞只有一个基元，且晶格结构无套嵌结构。,3、简单格子和复式格子,第一章 晶体结构和X射线衍射,1. 晶体结构= 晶格 结构基元,反映原子周期排列的方式,反映周期排列的内容,可以是一个原子可以是一个分子可以是一组原子可以是分子集团,它是等同点的集合，反映的是理想的、无限大的、没有缺陷的晶体中，原子排列的情况。是晶体本质的一种高度概括,小结1.1节,第一章 晶体结构和X射线衍射,2. 原胞、晶胞和维格纳-塞茨原胞,原胞：晶格反应周期性的最小重复单元。（一个原胞只有一个结点）,晶胞：晶格既包括周期性又包括对称性的最小单元。,维格纳-塞茨原胞：晶格反应对称性的最小重复单元。

12、,1.简单立方sc,简单晶体的简单立方(simple cubic, sc) 布喇菲格子。（例如氧、硫固体） SC基元为单一原子结构的晶体叫简单晶体。其特点有: 三个基矢互相垂直（ ）, 重复间距相等, 为a, 亦称晶格常数； 其晶胞=原胞；体积=a3； 配位数(第一近邻数) =6。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,1.2 几种简单的晶体结构,V=a3,第一章 晶体结构和X 射线衍射,36,体 积：,基 矢：,体心立方晶胞：,2.体心立方结构bcc,第一章 晶体结构和X 射线衍射,37,体心立方惯用原胞：,基 矢：,体 积：,第一章 晶体结构和X 射线衍射,体心立方 bcc,简单晶体的体心立方

13、( body-centered cubic bcc ) , 例如，Li，K，Na，Rb，Cs， Fe，Cr，Mo，W，Ta，Ba等。其特点有：晶胞基矢 , 并且, 其原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构成: 其体积为a3/2; 配位数=8。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,sc,bcc,第一章 晶体结构和X 射线衍射,3. 面心立方 fcc,简单晶体的面心立方 ( face-centered cubic; fcc ) , 例如，Cu，Ag，Au，Ni，Pd，Pt，Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al等。晶胞基矢 ，并且 每面中心有一格点, 其原胞基矢由从一顶点指向另外三

14、个面心点的矢量构成: 其体积=a3/4; 配位数=12。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,面心立方结构(晶胞),面心立方惯用原胞,第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X 射线衍射,NaCl结构,NaCl结构（Sodium Chloride structure）, 复式面心立方, (互为fcc), 配位数=6。,第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X 射线衍射,CsCl结构,CsCl结构（Cesuim Chloride structure）, 复式简单立方, (互为sc), 配位数=8,第一章 晶体结构和X 射线衍射,第一章 晶体结构和X射线衍射, 1.3 晶列与晶面

15、指数,1. 晶列、晶向 (crystal direction),任取两格点的连线延伸, 它必然穿过一串格点, 称此串格点为晶列; 也必然有无穷相互平行的晶列, 它们通过所有的格点, 没有遗漏, 也没有重复, 则称这些平行的晶列为晶列簇。 晶列的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体。,晶列,2. 晶向 (crystal direction),晶向往往以晶胞的基矢来表示： 即以lmn表示;（其中： 为晶胞基矢）； 如110; 立方晶系有六个等价的001, 则以表示; 8个等价的111, 则以表示。,同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列 的特点是晶列的取向。晶列的取向称为晶向。

16、,第一章 晶体结构和X射线衍射,第一章 晶体结构和X射线衍射,3. 晶面与晶面指数,第一章 晶体结构和X射线衍射,任选三个不在同一直线上的格点构成一个平面, 平面无限延伸穿过无限个规则排列的点, 这个平面叫晶面; 也必有与它平行的无限个平面, 它们覆盖所有的格点, 没有遗漏, 也没有重复, 则称这些平行的晶面为晶面簇。 面间距同族晶面中，相邻两晶面的距离。 晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶体。,晶面簇,第一章 晶体结构和X射线衍射,以结晶学晶胞基矢 、 、 为坐标轴得到密勒指数。,确定密勒指数的步骤：,1）选任一结点为原点，作 、 、 的轴线。,2）求出晶面族中离原点最近的第一个

17、晶面在 、 、 轴上的截距 、 、 。,3）将 、 、 取倒数并化为互质整数 、 、 ，则 即为密勒指数。,晶面方向的确定,(111),例,第一章 晶体结构和X射线衍射,第一章 晶体结构和X射线衍射,注意：,1）密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数 (nh nk nl)。 截a,b,c 2）晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数 (nh1 nh2 nh3)。 截a1, a2, a3,3）对立方晶系，具有相同指数的晶向与晶面垂直，如010(010),4）面间距: 晶面簇的面间距,OR,（）内的hkl之间没有逗号； 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； 所有等价的晶面(hkl)以hkl表示；

18、晶面 不一定垂直于晶向 仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向 ；,注意：,第一章 晶体结构和X射线衍射,课堂练习,1. 在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（ ）和（ ）晶面,2. 如下图，B和C是面心立方晶胞上的两面心。 1）求ABC面的密勒指数； 2）求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。,第一章 晶体结构和X射线衍射,1.4 倒格子,1、为什么要有倒格子？,2、怎么推导？（倒格子的定义）,3、倒格子和倒空间的意义（物理本质）,4、倒格子的性质,处理方便：,1）无穷变有限；,2）微分变求和,倒格子的起源：晶格的傅里叶变换,1.4 倒格子,倒格子的起源：晶格的傅里叶

19、变换,2、倒格子的推导和定义,倒格子的起源：晶格的傅里叶变换,1.4 倒格子,倒格子的起源：晶格的傅里叶变换,2. 倒格子的推导和定义,倒格子的起源：晶格的傅里叶变换,1.4 倒格子,2. 倒格子的推导和定义,从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间。,倒易空间的格矢量：,1.4 倒格子,3、倒格子的意义,倒格子物理意义,1）倒格子的量纲是米-1，,的量纲也是米-1,波矢,倒空间即为波矢空间。,2）量子力学中，波矢常用来表示波函数的运动状态。,倒空间即为状态空间。,3）光波通过衍射光栅，其实质是把光栅从坐标空间(坐标域)变换到了状态空间(频率域)；,晶体的X射线衍射照片上的斑点分

20、布或图谱分布，一定程度上是晶体结构在状态空间的化身。,4）倒格子是晶格在状态空间的化身。,1.4 倒格子,3、倒格子的意义,倒格子物理本质,坐标空间,表象变换,动量空间,倒空间,选取合适的基失,注意1：理论上讲，按照希尔伯特空间的概念，动量空间应该是某一个力学量状态方程所得到 正交归一化本征完备组为基失张成的多维空间。,注意2：所谓合适的基失，按照量子力学第四假设，满足对易关系的力学量具有相同的本征组， 因此，我们选取倒空间的时候，需要让坐标空间以及动量空间基失满足对易关系。也就是：,毫不夸张地说，一定是先有量子力学中的表象变化创造动量空间，然后为了将就晶体学分析方便，才又特意定义了倒空间。,

21、1.4 倒格子,4、倒格子的性质,1、正倒格子基矢的关系,2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2)3 倍。,( 为倒格子晶胞体积。）,3、正格矢 与倒格矢 的关系,（m为整数）,4、倒格矢 是晶面指数为 所对应的 晶面族的法线。,5、倒格矢 于晶面间距 关系为,1.4 倒格子,4、倒格子的性质,倒格矢 垂直于晶面指数为 (h1h2h3)的晶面，亦即 为晶面(h1h2h3)的法 线方向,证明：,1.4 倒格子,4、倒格子的性质,证明：,倒格矢与晶面间距的关系,1.5 X衍射复习,X射线将晶体结构，从坐标空间变到了倒空间，体现为衍射花样。,我们需要研究衍射光的强度,散射光的振幅,电子散射长

22、度,晶胞几何结构因子,晶体结构因子,1、电子散射长度,电子经典半径：,晶胞(几何）结构因子不仅与原子散射因子有关，而且与晶胞内原子排列有关。,仅与晶系有关， 与原子散射因子无关， 而且与晶胞内原子排列无关。,X衍射复习,散射光的振幅,电子散射长度,晶胞几何结构因子,晶体结构因子,2、晶胞几何结构因子,（1）原子散射因子因子,为电子云密度（即单位体积的电子数）,散射波矢,原子位置,定义：该原子内所有电子在选定方向散射波的振幅的几何和与单一电子的 散射波振幅之比。,无量纲，是原子对于入射波散射能力的量度。,定义：晶胞内所有原子在选定方向散射波的振幅的几何和与单一电子的 散射波振幅之比。,X衍射复习

23、,2、晶胞几何结构因子,（2）F的简化与计算,2）,因为正格子和倒格子的对易关系：,3）衍射强度,rj为晶胞内原子位置,体心结构,面心结构,金刚石结构,X衍射复习,散射光的振幅,电子散射长度,晶胞几何结构因子,晶体结构因子,3、晶体结构因子,Rm为晶胞位置矢量,若要在k方向获得衍射束, 则要求S为最大,劳厄条件：,这意味着入射波矢和散射波矢之差必须是一个倒格矢：,X衍射复习,（1）劳厄条件与晶面,X衍射复习,（2）劳厄条件与布拉克反射定理,X衍射复习,（3）劳厄条件与傅里叶变换,.,2,),(,),(,2,),(,0,0,0,0,傅里叶变换关系,遵守,原因在于夫琅合费衍射,结果一致,与傅里叶变

24、换得到的,称衍射级数,是整数,令,相当于倒格矢,劳厄方程为,pm,pm,=,-,=,-,-,=,-,k,k,R,n,nK,k,k,k,k,k,k,R,l,h,l,X衍射复习,以任一倒格点为原点，当X射线的波矢未端落在布里渊区边界时，可以产生衍射。,(4) X射线衍射与布里渊区,陆栋固体物理学2.3和2.4节,1.6 晶体对称性,一、 用矩阵表示变换以及其应用,（1）绕 Z 轴转动,（2）中心反映,（3）镜像反映（对称面为 oxy 平面）,1.6 晶体对称性,四次旋转轴的晶体的介电常数的矩阵形式为：,80,七大晶系的介电常数,三斜晶系,单斜晶系,正交晶系,四方、三方和 六方晶系,立方晶系,1.6

25、 晶体对称性,二、周期性对旋转对称性的影响,1.6 晶体对称性,晶格点阵的周期性排列会对对称操作有所限制。,设AB为晶体中某一晶面上的一条晶列，由于周期性存在，有,同族晶列格点的周期性相等,（m为整数）,旋转轴：晶体绕某一轴转角能够完全复原 n次旋转轴：n =360/ 最小 , 用记号n或Cn表示,黄昆固体物理学P30,二、周期性对旋转对称性的影响,所以,（m为整数）,只能取,n=1,2, 3, 4, 6,1.6 晶体对称性,二、周期性对旋转对称性的影响,1.6 晶体对称性,因1982年发现5次对称性的准晶 ，独享2011年诺贝尔奖,Al65Co25Cu10合金,达尼埃尔谢赫特曼 （Danie

26、l Shechtman）,黄昆固体物理学1.10节,1.6 晶体对称性,三、基本的点对称操作,3、i （中心反演）,1、E （不变）,2、Cn （n度轴转动）,n： 2 3 4 6 C 2 C 3 C 4 C 6 （熊夫利符号）,4、 （n度象转轴，作n度旋转后再作中心反映）,（m）,（S4）,1.6 晶体对称性,三、基本的点对称操作,（n度象转轴，作n度旋转后再作中心反映）,（m）,（S4）,m ：垂直于旋转轴的一个对称面 （是基本的点对称操作，称镜像反映面）,：实际上是中心反演（不是基本的点对称操作）,S4 ：是一个新的对称操作（是基本的点对称操作，称4度旋转反演轴）,：是C3、m的组合（

27、不是基本的点对称操作）,陆栋固体物理学P12,1.6 晶体对称性,三、基本的点对称操作,最基本的点对称操作只有8个 E、C2、C3、C4、C6、i、m、S4,本章小结和下章展望,第一章 晶体结构和X 射线衍射,1.1 晶体和晶格基本概念,1.2 几种简单的晶体结构,1.3 晶列和晶面指数,1.4 倒格子和晶体衍射,1.5 对称操作和点群,晶体学的基本概念,1. 倒格子的性质以及应用 2. 原子散射因子，晶体散射因子（计算）,1. 对称操作的应用 2. 对称操作的种类,本章小结和下章展望, 2.1 Drude经典电子论； 2.2 Sommerfeld的自由电子论； 2.3 Sommerfeld展

28、开式及其应用； 2.4 电子发射,一、第二章结构,T = 0 K,T 0 K,系统的自由电子总数为,系统的总能量：,核心问题,蜂巢结构,第一章习题课,1. 晶体结构中的基本概念,二维蜂房端点组成的阵列是布拉菲格子吗?,第一章习题课,第一章习题课,致密度,第一章习题课,1. 晶体结构中的基本概念,如果把同样的硬球放置在这些结构原子所在的位置上，球的体积取得尽可能的大，使最近邻的球正好接触，但彼此并不重叠。我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比定义为该结构的堆积比率。,那么：,一个晶胞中刚性球的体积和晶胞体积之比,致密度,第一章习题课,1. 晶体结构中的基本概念,致密度,第一章习题课,1.

29、 晶体结构中的基本概念,a,致密度,第一章习题课,1. 晶体结构中的基本概念,因为中心在1的小球，与中心在2，3，4的小球相切，所以a=2r,同理中心在5的小球，与中心在6，7，8的小球相切,中心在o点的小球，与中心在5，7，8的小球构成正四面体,第一章习题课,2. 倒格子计算,试证：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方,第一章习题课,2. 倒格子计算,试求：晶格常数为a的面心立方的倒格子是体心立方，晶面族（h1h2h3）的面间距,倒格矢 于晶面间距 关系为,这样正确吗？,核心问题是：,第一章习题课,2. 倒格子计算,试求：晶格常数为a的面心立方的倒格子是体心立方，晶面族（h1h2h3）的面间距,第一章习题课,3. X衍射：晶胞结构因子,第一章习题课,3. X衍射：晶胞结构因子,Thank You !,