《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．2 基本不等式 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．2 基本不等式 Word版含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12基本不等式 对应学生用书P7 读教材填要点 1定理 1 设 a，bR，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 2定理 2(基本不等式或平均值不等式) 如果 a，b 为正数，则，当且仅当 ab 时，等号成立即：两个正数的算术 ab 2 ab 平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均 3定理 3(三个正数的算术几何平均值不等式) 如果 a，b，c 为正数，则，当且仅当 abc 时，等号成立 abc 3 3 abc 4定理 4(一般形式的算术几何平均值不等式) 如果 a1，a2，an为 n 个正数，则 a1a2an n n a1an 并且当且
2、仅当 a1a2an时，等号成立 小问题大思维 1在基本不等式中，为什么要求 a，b(0，)? ab 2 ab 提示：对于不等式，如果 a，b 中有两个或一个为 0，虽然不等式仍成立，但 ab 2 ab 是研究的意义不大，而且 a，b 至少有一个为 0 时，不能称为几何平均(或等比中项)，因ab 此规定 a，b(0，) 2满足不等式成立的 a，b，c 的范围是什么？ abc 3 3 abc 提示：a，b，c 的范围为 a0，b0，c0. 对应学生用书P8 利用基本不等式证明不等式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 1 已知 a，b，c 为正实数，且 abc1 求证：(ab)(bc)
3、(ca)8. 思路点拨 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的 特点，先对 ab，bc，ca 分别使用基本不等式，再把它们相乘 精解详析 a，b，c 为正实数， ab20，ab bc20，bc ca20，ca 由上面三式相乘可得 (ab)(bc)(ca) 88abc.abbcca 即(ab)(bc)(ca)8. (1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形， 使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明 (2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不 等式 1已知 a，b
4、(0，)，求证：(ab)4. ( 1 a 1 b) 证明：a0，b0，ab20，ab 当且仅当 ab 时取等号 20， 1 a 1 b 1 ab 当且仅当 ，即 ab 时取等号 1 a 1 b ，得(ab)224， ( 1 a 1 b) ab 1 ab 当且仅当 ab 时取等号 (ab)4. ( 1 a 1 b) 利用算术几何平均值不等式证明不等式 例 2 (1)已知 a，b，cR， 求证：a2b2c2 26 . ( 1 a 1 b 1 c) 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设 a1，a2，a3均为正数，且 a1a2a3m，求证： . 1 a1 1 a2 1 a3 9 m
5、 思路点拨 本题考查平均不等式的应用 解答(1)题时可重复使用均值不等式， (2)题需 要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明 精解详析 (1)a2b2c2 2 ( 1 a 1 b 1 c) 39 3 a2b2c2 3 1 a2 1 b2 1 c2 26，3 3 a2b2c293 1 a2 1 b2 1 c2 3 当且仅当 abc时等号成立 4 3 (2)m ( 1 a1 1 a2 1 a3) (a1a2a3)( 1 a1 1 a2 1 a3) 33 3 a1a2a3 3 1 a1 1 a2 1 a3 99. 3 a1a2a3 1 a1 1 a2 1 a3 当且仅当 a1a
6、2a3 时等号成立 m 3 又m0， . 1 a1 1 a2 1 a3 9 m 三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的， 因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条 件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适 当的恒等变形后再使用定理证明 连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致 2已知 a，b，cR，证明(abc)227. ( 1 a2 1 b2 1 c2) 证明：a，b，cR， abc30. 3 abc (abc)29 3 a2b2c2 又 30， 1 a2
7、 1 b2 1 c2 3 1 a2b2c2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (abc)239 ( 1 a2 1 b2 1 c2) 3 1 a2b2c2 3 a2b2c2 27. 当且仅当 abc 时，等号成立 (abc)227. ( 1 a2 1 b2 1 c2) 对应学生用书 P9 一、选择题 1设 x、y 为正实数，且 xy(xy)1，则( ) Axy2(1) Bxy2(1)22 Cxy(1)2 Dxy(1)222 解析 ： x0， y0， xy(xy)1xy1(xy)1(xy) 2xy2( 1) ( xy 2) 2 答案：A 2已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列关
8、系式总成立的是( ) AV BV CV DV 1 8 1 8 解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h， 则由题意得：4r2h6，即 2rh3， 于是有 Vr2h 33， ( rrh 3 )( 3 3) 当且仅当 rh 时取等号 答案：B 3设 x，y，zR且 xyz6，则 lg xlg ylg z 的取值范围是( ) A(，lg 6 B(，3lg 2 Clg 6，) D3lg 2，) 解析：lg xlg ylg zlg(xyz)， 而 xyz 3，lg(xyz)lg 83lg 2 ( xyz 3 ) (当且仅当 xyz2 时，等号成立) 答案：B 4设 a，b，c(0，)且 abc1，令 x，
9、则 x 的取值范围 ( 1 a1)( 1 b1)( 1 c1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 为( ) A. B. 0， 1 8) 1 8，1) C1,8) D8，) 解析：x(1 a1)( 1 b1)( 1 c1) 1a a 1b b 1c c (bc)(ca)(ab) abc 8， 2 bc2 ca2 ab abc 当且仅当 abc 时取等号，x8. 答案：D 二、填空题 5已知 x，yR，且满足 1，则 xy 的最大值为_ x 3 y 4 解析：因为 x0，y0， 所以 2 ，即 1，解得 xy3，所以其最大值为 3. x 3 y 4 x 3 y 4 xy 3 xy 3 答
10、案：3 6设 a1，t0，则 logat 与 loga的大小关系为 logat_loga(填“0 1 2 t 又 . t1 2 t 而 a1，logaloga，故填“” t1 2 t 答案： 7函数 y(x0)有最大值_，此时 x_. x2 x49 解析：x0，x20. y ， x2 x49 1 x2 9 x2 1 2 x2 9 x2 1 6 当且仅当 x2 ，即 x49，x时取等号， 9 x2 3 即当 x时，ymax .3 1 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案： 1 6 3 8已知 a0，b0，c0，且 abc1，则 abc 的最大值是_ 解析：a，b，c(0，)，1a
11、bc3. 3 abc 0abc 3 ， ( 1 3) 1 27 当且仅当 abc 时取等号 1 3 答案： 1 27 三、解答题 9求函数 y2x2 (x0)的最小值 3 x 解：由 x0 知 2x20，0，则 3 2x y2x2 2x2 3 x 3 2x 3 2x 33. 3 2x2 3 2x 3 2x 39 2 当且仅当 2x2，即 x时， 3 2x 33 4 ymin3. 39 2 3 2 3 36 10已知 a，b 为正实数，ab1. 求证： 22 . (a 1 a) (b 1 b) 25 2 证明：a0，b0，ab1. 1ab2， .4.abab 1 2 1 ab ， 2. ab 2
12、 a2b2 2 a2b2 2 ( ab 2) 2222 . (a 1 a) (b 1 b) a1 ab 1 b 2 (1 1 a 1 b) 2 2 (12 1 ab) 2 2 25 2 22 . (a 1 a) (b 1 b) 25 2 当且仅当 ab 时等号成立 1 2 11设 a，b，c 为正实数， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求证： abc2. 1 a3 1 b3 1 c3 3 证明：因为 a，b，c 为正实数，由算术几何平均不等式可得 3， 1 a3 1 b3 1 c3 3 1 a3 1 b3 1 c3 即 (当且仅当 abc 时，等号成立) 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc 所以 abcabc. 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc 而abc22(当且仅当 a2b2c23 时，等号成立)， 3 abc 3 abcabc 3 所以 abc2(当且仅当 abc时，等号成立) 1 a3 1 b3 1 c3 3 6 3