《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 2．1 柯西不等式 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 2．1 柯西不等式 Word版含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 21柯西不等式 对应学生用书P28 读教材填要点 1平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (1)定理 1(柯西不等式的代数形式) 设 a1，a2，b1，b2均为实数，则 (a a )(b b )(a1b1a2b2)2. 2 12 22 12 2 上式等号成立a1b2a2b1. (2)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 ， 为平面上的两个向量，则 | 上式中等号成立向量 和 共线(平行)存在实数 0，使得 . (3)定理 3：设 a1，a2，b1，b2为实数，则 a2 1a2 2b2 1b2 2(a1b1)2(a2b2)2 等号成立存在非负实数 及 ，
2、使得 a1b1，a2b2. (4)定理 4(平面三角不等式) 设 a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则 .(a1b1)2(a2b2)2(b1c1)2(b2c2)2(a1c1)2(a2c2)2 等号成立存在非负实数 及 使得： (a1b1)(b1c1)，(a2b2)(b2c2) (5)定理 5：设 ， 为平面向量，则 | 当， 为非零向量时， 上面不等式中等号成立存在正常数， 使得() 向量 与 同向，即夹角为零 2柯西不等式的一般形式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 定理 设 a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(a a a ) (b b b 2 12 22 n 1
3、 22 12 2 ) 1 2|a1b1a2b2anbn|，2 n 其中等号成立(当某 bj0 时，认为 aj0，j1,2，n) a1 b1 a2 b2 an bn 小问题大思维 1在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？ a1 a2 b1 b2 提示：不可以当 a2b20 时，柯西不等式成立， 但不成立 a1 a2 b1 b2 2在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成 aibi(i1,2,3，n)，可以吗？ 提示：不可以，aibi的顺序要与左侧 ai，bi的顺序一致 3 在一般形式的柯西不等式中， 等号成立的条件记为 aikbi(i1,2,3， n)， 可以吗？ 提示：不
4、可以若 bi0 而 ai0，则 k 不存在 对应学生用书P29 利用平面上的柯西不等式证明有关不等式 例 1 已知 a，b，c 为正数，且满足 acos2bsin2 . 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc 思路点拨 本题考查三维形式的柯西不等式的应用解答本题需要构造两组数据 ，；，然后利用柯西不等式解决abbcca 1 ab 1 bc 1 ca 精解详析 构造两组数，；，则由柯西不等式得abbcca 1 ab 1 bc 1 ca (abbcca)(111)2， ( 1 ab 1 bc 1 ca) 即 2(abc)9， ( 1 ab 1 bc 1 ca) 于是. 2 ab 2 bc 2 c
5、a 9 abc 由柯西不等式知，中有等号成立abbccaab ab 1 ab bc 1 bc ca 1 ca c. 因题设，a，b，c 不全相等，故中等号不成立， 于是. 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc 柯西不等式的结构特征可以记为(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2 )2，其中 ai，bi均为正实数(i1,2，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把anbn 握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2设 a，b，c 为正数，求证： abc. a2 b b2 c c2 a 证明：(abc) (
6、 a2 b b 2 c c 2 a) ()2()2()2 ( a b) 2( b c) 2( c a) 2 bca 2(abc)2， ( a b b b c c c a a ) 即(abc)(abc)2， ( a2 b b 2 c c 2 a) 又 a，b，c 为正实数，abc0. abc. a2 b b2 c c2 a 利用柯西不等式求最值 例 3 设 2x3y5z29，求函数 u 的最大值2x13y45z6 思路点拨 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去 掉根号 精解详析 根据柯西不等式 1203(2x1)(3y4)(5z6) (111)2，2x13y45z6
7、故2.2x13y45z630 当且仅当 2x13y45z6， 即 x，y，z时等号成立， 37 6 28 9 22 15 此时 umax2.30 利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑， 以保证出现常数结果 同时， 要注意等号成立的条件 3设 x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则 xyz_.14 解析：根据柯西不等式可得，(x2y2z2)(122232)(x2y3z)214，所以要取到 等号，必须满足 ，结合 x2y3z，可得 xyz. x 1 y 2 z 3 14 3 14 7 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案：3 14 7 对 应 学 生 用
8、书 P30 一、选择题 1若 a，bR，且 a2b210，则 ab 的取值范围是( ) A2，2 B2，2551010 C， D(，101055 解析：a2b210， (a2b2)(1212)(ab)2， 即 20(ab)2， 2ab2.55 答案：A 2已知 x，yR，且 xy1，则的最小值为( ) (1 1 x)(1 1 y) A4 B2 C1 D1 4 解析： 24，故选 A. (1 1 x)(1 1 y)(1 1 xy) 答案：A 3已知 4x25y21，则 2xy 的最大值是( )5 A. B12 C3 D9 解析：2xy2x1y1.554x25y21212122 2xy 的最大值为
9、.52 答案：A 4设 a1，a2，an为实数，P，Q，则 P 与 Q 的 a2 1a2 2a2 n n a1a2an n 大小关系为( ) APQ BPQ CPQ D不确定 解析：由柯西不等式知 (a a a ) 1 2 111 n 个 1 22 12 22 n 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 a1a2an， a1a2an.a2 1a2 2a2 nn 即得 ，PQ. a2 1a2 2a2 n n a1a2an n 答案：B 二、填空题 5设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P，Q，则 P 与 Qabcdmanc b m d n 的大小_ 解析：由柯西不等式，得 P Q.am
10、b m nc d n (r(am)2(r(nc)2 ( b m) 2( d n) 2 amnc b m d n 答案：PQ 6(陕西高考)设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，则 的最小值为m2n2 _ 解析 ： 由柯西不等式得(manb)2(m2n2)(a2b2)，即 m2n25，当且仅当 时等 m a n b 号成立，所求最小值为.m2n255 答案： 5 7函数 y2cos x3的最大值为_1cos 2x 解析：y2cos x32cos x3.1cos 2x2sin2x(cos2xsin2x)22(3r(2)222 当且仅当，即 tan x时，函数有最大值. cos x si
11、n2x 2 3 2 3 2 2 22 答案： 22 8已知 x，y，z 均为正实数，且 xyz1，则 的最小值为_ 1 x 4 y 9 z 解析：利用柯西不等式 由于(xyz) ( 1 x 4 y 9 z) Error!Error!236， 所以 36. 1 x 4 y 9 z 当且仅当 x2 y2 z2，即 x ，y ，z 时，等号成立 的最小值为 36. 1 4 1 9 1 6 1 3 1 2 1 x 4 y 9 z 答案：36 三、解答题 9已知实数 a、b、c 满足 a2bc1，a2b2c21. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求证： c1. 2 3 证明：因为 a2bc1
12、，a2b2c21， 所以 a2b1c，a2b21c2. 由柯西不等式得： (1222)(a2b2)(a2b)2， 5(1c2)(1c)2， 整理得，3c2c20， 解得 c1. c1. 2 3 2 3 10已知 x，y，zR，且 x2y3z4，求 x2y2z2的最小值 解：由柯西不等式，得 x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)， 即(x2y3z)214(x2y2z2)， 即 1614(x2y2z2) 所以 x2y2z2 ，当且仅当 x，即当 x ，y ，z 时，x2y2z2 8 7 y 2 z 3 2 7 4 7 6 7 的最小值为 . 8 7 11已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，求 a 的最值 解：由柯西不等式，有 (2b23c26d2)(bcd)2， ( 1 2 1 3 1 6) 即 2b23c26d2(bcd)2， 由条件可得，5a2(3a)2， 解得 1a2，当且仅当时等号成立， 2b 1 2 3c 1 3 6d 1 6 代入 b ，c ，d 时，amax2， 1 2 1 3 1 6 代入 b1，c ，d 时，amin1. 2 3 1 3