《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 .3.1.3 空间向量基本定理 对应学生用书P53 空间向量基本定理 某次反恐演习中，一特别行动小组获悉 ： “恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往 南 1 000 m，再往东 600 m 处的某大厦 5 楼(每层楼高 3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完 成解救“人质”的任务 “人质”的隐藏地由华联超市“南 1 000 m” 、 “东 600 m” 、 “5 楼” 这三个量确定，设 e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量 问题：请把“人质”的位置用向量 p 表示出来 提示：p1 000e1600e214e3. 1空间
2、向量基本定理 如果三个向量 e1， e2， e3不共面， 那么对空间任一向量 p， 存在惟一的有序实数组(x， y， z)， 使 pxe1ye2ze3. 2推论 设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点， 则对空间任意一点 P， 都存在惟一的有序实数组(x， y， z)， 使得xOA yOB zOC OP . 基底 空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？ 提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量 e1，e2，e3不共面时，空间任何 一向量才可以用 e1，e2，e3惟一表示，否则不可能表示 1基底和基向量 如果三个向量 e1、 e2、 e3不共面， 那么空间的每一个向量都
3、可由向量 e1、 e2、 e3线性表示， 我们把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量 2正交基底和单位正交基底 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用i，j，k表示 1空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组a，b，c可以线性表示出空间的 任意一个向量，而且表示的结果是惟一的 2空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底 对应学生用书P54 基底的概念 例 1 若a，b，c是空间
4、的一个基底试判断ab，bc，ca能否作为该空间的 一个基底 思路点拨 判断 ab，bc，ca 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则， 不能作为一个基底 精解详析 假设 ab， bc， ca 共面， 则存在实数 、 使得 ab(bc)(ca)， abba()c. a，b，c为基底，a，b，c 不共面 Error!此方程组无解，ab，bc，ca 不共面 ab，bc，ca可以作为空间的一个基底 一点通 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基 底有无穷多个但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即 在基底a，b，c下，存在惟一的有序实数组(x，
5、y，z)，使得 pxaybzc. 证明三个向量能否构成空间的一个基底， 就是证明三个向量是否不共面， 证明三个向量 不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明 1设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组 ： a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc 其中可以作为空间的基底的向量组有_个 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：如图所设 aAB ，b 1 AA ，cAD ，则 x 1 AB ，y 1 AD ，zAC ，abc 1 AC . 由 A， B1， D， C 四点不共面可知向量 x， y， z 也不共面 同理可知 b， c， z 和 x，
6、y， abc 也 不共面，可以作为空间的基底因为 xab，故 a，b，x 共面，故不能作为基底 答案：3 2已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3， OC e1e2e3，试判断OA ，OB ，OC 能否作为空间的一个基底？若能，试以此基 底表示向量OD 2e1e23e3；若不能，请说明理由 解 ： 假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数 x、 y 使OA x OB yOC 成立 e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3) (3xy)e1(xy)e2(2xy)e3. e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，
7、e3不共面， Error!此方程组无解， 即不存在实数 x、y 使OA xOB yOC ， OA ，OB ，OC 不共面 故OA ，OB ，OC 能作为空间的一个基底， 设OD pOA qOB zOC ，则有 2e1e23e3 p(e12e2e3)q(3e1e22e3)z(e1e2e3) (p3qz)e1(2pqz)e2(p2qz)e3. e1，e2，e3为空间的一个基底， Error!解得Error! OD 17OA 5OB 30OC . 用基底表示向量 例2 如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设 OA a，OB b，OC c，试用向量 a、b、c 表示向量G
8、H . 思路点拨 GH OH OG 用OD 表示OH 用OB 、 OC 表示OD ，用OA 、AG 表示OG 用AD 表示AG 用OD 、OA 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 表示AD 用OB 、OC 表示OD 精解详析 GH OH OG ，OH OD ， 2 3 OH (OB OC ) (bc)， 2 3 1 2 1 3 OG OA AG OA AD 2 3 OA (OD OA )OA (OB OC ) 2 3 1 3 2 3 1 2 a (bc)， 1 3 1 3 GH (bc) a (bc) a， 1 3 1 3 1 3 1 3 即GH a. 1 3 一点通 用基底表示向量的
9、方法及注意的问题： (1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量 (2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有 向量都符合目标要求为止 (3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则 3. 如图，已知正方体 ABCDABCD，点 E 是上底面 ABCD的中心， 求下列各式中 x、y、z 的值 (1)BD xAD yAB zAA ； (2)AE xAD yAB zAA . 解：(1)BD BD DD BA BC DD AB AD AA ， 又BD xAD yAB zAA ， x1，y1，z1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
10、打印 (2)AE AA A E AA A C 1 2 AA (A B A D ) 1 2 AA A B A D 1 2 1 2 AD AB AA 1 2 1 2 又AE xAD yAB zAA x ，y ，z1. 1 2 1 2 4如图，四棱锥 POABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC，设 OA a，OC b，OP c， E， F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a， b， c 表示 ：BF ，BE ，AE ， EF . 解：连接 BO，则BF BP (BO OP ) (cba) a b c. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 BE BC CE aCP a (CO
11、OP )a b c. 1 2 1 2 1 2 1 2 AE AP PE AO OP (PO OC )ac (cb)a b c. 1 2 1 2 1 2 1 2 EF CB OA a 1 2 1 2 1 2 . 空间向量基本定理的应用 例 3 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分 思路点拨 利用空间向量基本定理， 只要证明四条对角线的中点与 A 点所构成的向量 的线性表示是同一种形式即可 精解详析 如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1， 设点 O 是 AC1的中点， 则AO 1 AC 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (AB BC 1 CC ) 1 2
12、 (AB AD 1 AA )， 1 2 设 P，M，N 分别是 BD1，CA1，DB1的中点， 则AP AB BP AB 1 BD 1 2 AB (BA AD 1 DD ) 1 2 AB (AB AD 1 AA ) (AB AD AA 1)， 1 2 1 2 同理可证：AM (AB AD 1 AA )，AN (AB AD 1 AA ) 1 2 1 2 由此可知，O，P，M，N 四点重合故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处 互相平分 一点通 用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤： (1)作出空间几何体的图形； (2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底； (3)
13、用基向量将其它向量表示出来； (4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论 5求证：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AC 1 AB 1 AD 2 1 AC . 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC AB AD ， 1 AB AB 1 AA ， 1 AD AD 1 AA ， AC 1 AB 1 AD (AB AD )(AB 1 AA )( 1 AD 1 AA ) 2(AB AD 1 AA )， 又 1 AA 1 CC ，AD BC ， AB AD 1 AA AB BC 1 CC 1 AC ， AC 1 AB 1 AD 2 1 AC . 6如图，M、N 分别是四面
14、体 OABC 的边 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等分点， 用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解：OP OM MP OA MN 1 2 2 3 OA (ON OM )OA (ON OA ) 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 OA (OB OC )OA OB OC . 1 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 3 OQ OM MQ OA MN 1 2 1 3 OA (ON OM )OA (ON OA ) 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 OA (OB OC )OA OB OC . 1 3 1 3 1 2 1 3
15、 1 6 1 6 1空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出 空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的 2空间任意三个不共面的向量 a、b、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有 无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底 3由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基 向量中，就隐含着它们都不是 0. 对应课时跟踪训练(二十) 1空间中的四个向量 a，b，c，d 最多能构成基底的个数是_ 解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有 4 组 答案：4 2.如图所示，设O为ABCD
16、所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE OD xOB yOA ，则 x_，y_. 1 2 解析：AE OE OA OC OA 1 2 (OD DC )OA 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 OD AB OA 1 2 1 2 OD (OB OA )OA 1 2 1 2 OD OB OA ， 1 2 1 2 3 2 x ，y . 1 2 3 2 答案： 1 2 3 2 3已知空间四边形 OABC，其对角线为 AC、OB，M、N 分别是 OA、BC 的中点，点 G 是 MN 的中点，取OA ，OB ，OC 为基底，则OG _. 解析： 如图，OG (OM ON ) 1 2 OM
17、 (OB OC ) 1 2 1 2 1 2 OA OB OC 1 4 1 4 1 4 (OA OB OC ) 1 4 答案： (OA OB OC ) 1 4 4 平行六面体 ABCDABCD中， 若AC xAB 2yBC 3zCC ， 则 xy z_. 解析：AC AB BC CC xAB 2yBC 3zCC ， x1,2y1，3z1， 即 x1，y ，z . 1 2 1 3 xyz1 . 1 2 1 3 7 6 答案：7 6 5设 a、b、c 是三个不共面向量，现从ab，ab，ac，bc，abc 中选出一个使其与 a、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为_(填写序号) 解析：根据基
18、底的定义，a，b，c 不共面， ac，bc，abc 都能与 a，b 构成基底 答案： 6若 ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，da bc， 求 、 的值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解：由题意 a、b、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有 序实数对，使 da bc， d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3) ()e1()e2()e3. 又de12e23e3， Error! 解得Error! 7.如图所示， 平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 AC 和 A1D 的一个三等分点， 且 ，2
19、，设AB a，AD b， 1 AA c，试用 a，b，c 表示MN . AM MC 1 2 A1N ND 解：如图所示，连接 AN， 则MN MA AN 由 ABCD 是平行四边形， 可知AC AB AD ab， MA AC (ab) 1 3 1 3 ND 1 A D (bc)， 1 3 1 3 AN AD DN AD ND b (bc) (c2b)， 1 3 1 3 所以MN MA AN (ab) (c2b) 1 3 1 3 (abc) 1 3 8如图所示，平行六面体 OABCOABC，且OA a，OC b，OO c， 用 a，b，c 表示如下向量： (1) OB 、O B 、AC ； (2)GH (G、H 分别是 BC 和 OB的中点) 解：(1)OB OB BB OA OC OO abc， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 O B O O OB O O OA OC cababc，AC AC CC AB AO AA OC AA OA bca. (2)GH GO OH OG OH (OB OC ) (OB OO ) 1 2 1 2 (abcb) (abcc) 1 2 1 2 (cb) 1 2