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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.2 证明不等式的基本方法 证明不等式的基本方法 学习目标 1了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点 2会用综合法、分析法证明简单的不等式 一、自学释疑来源:Z.xx.k.Com 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究 1 如何理解分析法寻找的是充分条件？ 探究 2 综合法与分析法有何异同点？ 1.综合法证明不等式 (1)用综合法证明不等式需要把“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步 的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程写出来，其特点可描述为“由因导果”可 图示为.图中 P 表示已知
2、或已有的定义、定理、性质等，Q 为要PQ1Q1Q2QnQ 证的结论 (2)综合法证明时常用的不等式：a2b22ab(当且仅当 ab 时，取等号)，(a， ab 2 ab 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 bR，当且仅当 ab 时，取等号)，a20，|a|0，(ab)20， 2(ab0) b a a b 2分析法证明不等式 (1)当证明题不知从何入手时，可以用分析法而获得解决它从待证的结论入手，步步 寻求结论成立的充分条件，直至这个充分条件是显然成立的 (2)用分析法证“若 A则 B”这个命题的模式是： 欲证 B 成立， 只需证 B1成立， 只需证 B2成立， 只需证 A 成立，而 A
3、 已知成立，从而知“若 A 则 B”为真 (3)用分析法证明不等式的逻辑关系是：BB1B2BnA. 3分析综合法证明不等式 一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易下手，因而常用分析法寻 求解题途径，然后用综合法进行证明还有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为 分析综合法(或两头凑法)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提，相互渗透，相互 转化的辩证统一关系分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点. 【例 1】 已知 a，b，c 均为正数，且 abc1，求证：8. ( 1 a1)( 1 b1)( 1 c1) 来源:Z&xx&k.Com 【变式训练 1】 已知
4、 a0，b0，c0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求证： . 1 a 1 b 1 c 1 ab 1 bc 1 ac 来源:Zxxk.Com 【例 2】 已知 ab0， 求证：ab， 求证：(1)c2ab； (2)c0，b0，且 ab1. 求证： 2.a1 2 b1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 参考答案参考答案 探究 1 【提示】 用分析法证明，其叙述格式是：要证明 A，只需证明 B.即说明只要 有B 成立，就一定有 A 成立因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条 件分析法体现了数学中“正难则反”的原则，也是思维中的逆向思维，逆求(不是逆推)结论
5、 成立的充分条件 探究 2 【提示】 综合法与分析法的异同点 方法证明的起始步骤证法过程前后逻辑关系证题方向 综合法 已知条件或已学过的定 义、定理、性质等 格式：AB1B2BnB 由已知条件开始推导其成立的必要条件(结论) 由因导果 分析法要证明的结论 格式：BB1B2BnA 由结论开始探索其成立的充分条件(已知) 执果索因 【例 1】用综合法证明如下 【证明】 a，b，c 均为正数，abc1， 1 2. 1 a 1a a bc a b a c a bc a 同理 12， 1 b ac b 12. 1 c ab c 由于上面三个不等式两边均为正，分别相乘，得 8 ( 1 a1)( 1 b1)
6、( 1 c1) 2 bc a 2 ac b 2 ab c 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当且仅当 abc 时，取等号 1 3 【变式训练 1】证明 a0，b0，c0， 2 . 1 a 1 b 1 a 1 b 2 ab 同理 ， . 1 b 1 c 2 bc 1 c 1 a 2 ac 以上三个不等式相加，得 2. ( 1 a 1 b 1 c) 2 ab 2 bc 2 ac . 1 a 1 b 1 c 1 ab 1 bc 1 ac 当且仅当 abc 时，取等号 【例 2】 【证明】 ab0，要证b0， 1,01, ab，a0，b0， 4c2(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab.来源:学科网 ZXXK c2ab. (2)要证 c0，只需证 ab0，b0，ab1， ab 2 . ( ab 2) 1 4 原不等式成立