《2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.1二维形式的柯西不等式导学案 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.1二维形式的柯西不等式导学案 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.3 二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式 学习目标 1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义 2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题 来源:学科网 ZXXK 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究来源:Zxxk.Com 探究 1在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成 吗？ a b c d 探究 2用柯西不等式求最值时的关键是什么？ 名师点拨名师点拨： 1.二维形式的柯西不等式 (1)定理 1： 不等式中等号成立的条件是 adbc.这时我们称(a， b)， (c， d)
2、成比例 如果 c0， d0，那么 adbc ，若 cd0，我们分情况说明：cd0，原不等式两边都为 0， a c b d 显然成立 ； 当 c0， d0 时， 原不等式化为(a2b2)d2b2d2， 是显然成立的 ； 当 c0， d0 时，道理和一样，也是成立的所以当 cd0 时，不等式也成立 (2)由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对于任何实数 a，b，c，d，以下不等式成立： |acbd|；a2b2c2d2 |ac|bd|.a2b2c2d2 2对二维柯西不等式的认识 二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，
3、熟悉这些联系能 更本质的把握不等式，并更自觉地应用它 (1)由代数恒等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2，把非负数(adbc)2舍去，易得 不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2. (2)如图，平面内点 B(c，d)到直线 axby0 的距离 BH 不大于线段 OB 的长，因此有 .即(a2b2)(c2d2)(acbd)2. |acbd| a2b2 c2d2 (3)如图所示，构造AOB，点 A(a，b)，B(c，d)，在AOB 中应用余弦定理可得， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 cosAOBOA 2OB2AB2 2OAOB 222222 2222 ()(
4、)()() 2 abcdacbd abcd . acbd a2b2c2d2 |cosAOB|1， (acbd)2(a2b2)(c2d2) 3巧用柯西不等式求最值 应用柯西不等式可以简便解答某些含有约束条件的多元变量的最值问题 解答此类题的 关键是构造两组数或两个向量，使之符合柯西不等式的形式 【例 1】 求证： .x2 1x2 2y2 1y2 2 22 1122 ()()xyxy 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【变式训练 1】 已知 a1，a2，b1，b2为正实数， 求证：(a1b1a2b2)(a1a2)2. ( a1 b1 a2 b2) 来源:学科网 ZXXK 【例 2】 设
5、x0，y0，且 xy2，求的最小值 x2 2x y2 2y 【变式训练 2】 求函数 y3的最大值x1102x 【例 3】 已知 x0，y0，且 ab1， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求证：(axby)2ax2by2. 【变式训练 3】 设 a0，b0，且 ab1，求证：.2a1b1 3 22 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 参考答案参考答案 探究 1提示 不可以当 bd0 时，柯西不等式成立，但 不成立 a b c d 探究 2 提示 利用柯西不等式求最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并 寻求不等式等号成立的条件. 【例 1】 【证明】 ()2x2
6、1x2 2y2 1y2 2 (x x )(y y )2， 2 12 22 12 2 2222 1212 ()()xxyy 由柯西不等式， 得(x x )(y y )(x1y2x2y1)2， 其中当且仅当 x1y2x2y1时， 等号成立 2 12 22 12 2 x1y1x2y2. 2222 1212 ()()xxyy ()2(x x )(y y )2(x1y1x2y2)(x1y1)2(x2y2)2.来源:Z#xx#k.Comx2 1x2 2y2 1y2 2 2 12 22 12 2 .来源:学科网x2 1x2 2y2 1y2 2 2222 1122 ()()xyxy 其中等号当且仅当 x1y2
7、x2y1时成立 【变式训练 1】证明 (a1b1a2b2)(a 1 b1 a2 b2) 22 22 12 1 122 12 aa aba b bb 2 ( a1b1 a1 b1 a 2b2 a2 b2) (a1a2)2. 【例 2】 【解】 xy2，根据柯西不等式，有 (2x)(2y)( x2 2x y2 2y) ()2()2Error!Error!2x2y 2 ( 2x x 2x 2y y 2y) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (xy)24， x2 2x y2 2y 4 (2)(2)xy 2. 4 4()xy 4 42 当且仅当，2x y 2y 2y x 2x 即 xy1 时，
8、等号成立 当 xy1 时，有最小值 2. x2 2x y2 2y 【变式训练 2】解 由题可知函数的定义域满足Error!即 x1,5，令 (3，)，(2 ，)x15x 而 y3x1102x 3x125x | 2222 3( 2)(1) ( 5)xx 2.11x15x11 当且仅当 3，5x2x1 即 x时，取等号 47 11 所以 y 的最大值为 2.11 【例 3】证明 设 m(x，y)，n(，)，abab 则|axby|mn|m|n| 2222 () ()() ()axbyab ，ax2by2abax2by2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (axby)2ax2by2. 【变式训练 3】证明 令 ，(，1)，则 ( a1 2， b 1 3) 2 |.2a1b1 3 而| ，a1 2b 1 3 11 6 又|，3 |. 22 2 由|，得 .2a1b1 3 22 2