《2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.2一般形式的柯西不等式导学案 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.2一般形式的柯西不等式导学案 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.2 一般形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 学习目标 1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式 2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究 1如何理解柯西不等式的结构特征？ 探究 2在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 aikbi(i1,2,3，n)，可 以吗？来源:Zxxk.Com 来源:学|科|网 名师点拨：名师点拨： 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯 西不等式又可以参照
2、三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特 征，对不等式等号成立的条件加深理解 2一般形式的柯西不等式 定理称为柯西不等式的一般形式，它主要用来证明不等式和解决一些实际应用的最值 问题在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如 ： 巧拆常数，重新安排某些项的次序， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式证 明的目的 对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只 有掌握了它的结构特征，才能灵活应用. 【例 1】 已知 a，b，cR， 求证：9. ( a b b c
3、c a)( b a c b a c) 【变式训练 1】 已知 x，y，zR，且 xyz1. 求证： 36. 1 x 4 y 9 z 【例 2】 设 a，b，c 为正实数，且 abc3，求证：3.2a12b12c13 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【变式训练 2】 已知 a，b，cR，且 abc1，求的4a14b14c1 最大值 【例 3】 已知 x1，x2，x3，x4为实数，且 x1x2x3x46，x x x x 12.来源:学&科&网 Z&X&X&K 2 12 22 32 4 求证：0xi3，i1,2,3,4. 【变式训练 3】 设实数 a， b， c， d， e 满足 abc
4、de8， a2b2c2d2e216， 求 e 的最大值 来源:学科网 【例 4】 已知 a1， a2， an都是正实数， 且a1a2an1， 求证 ： a2 1 a1a2 a2 2 a2a3 . a 2n1 an1an a2 n ana1 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【变式训练 4】 设 a1a2anan1， 求证 ： 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 an1a1 0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 参考答案参考答案 探究 1 【提示】 归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不等式的结构特征， 可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积
5、，右边是积的和的平方 探究 2 【提示】 不可以若 bi0 而 ai0，则 k 不存在 【例 1】 【分析】 利用柯西不等式证明其他不等式时，关键是构造两组数，向着柯西 不等式的形式转化本例中对应三维柯西不等式，记 a1，a2，a3，b1， a b b c c a b a b2，b3，而 a1b1a2b2a3b31，因而得证 c b a c 【证明】 由柯西不等式知 左边 ( a b) 2( b c) 2( c a) 2 ( b a) 2( c b) 2( a c) 2 2 ( b a a b b c c b c a a c) (111)29. 原不等式成立 【变式训练 1】证明 证法一：(利
6、用基本不等式) (xyz) (xyz) (xyz) 1 x 4 y 9 z 1 x 4 y 9 z 1414461236. ( y x 4x y) ( z x 9x z) ( 4z y 9y z) 当且仅当 y2x，z3x，且 xyz1， x ，y ，z 时等号成立 1 6 1 3 1 2 证法二：(利用柯西不等式) (xyz)(1 x 4 y 9 z) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2 ( x 1 x y 4 y z 9 z) (123)236， 当且仅当 x2 y2 z2， 1 4 1 9 即 x ，y ，z 时等号成立 1 6 1 3 1 2 【例 2】 【分析】 利用柯西不等式的向量形式，目标式的左边应是两个向量的数量 积 由于变量 a， b， c 的系数都相等， 由整体性可构造向量 m(，)， n2a12b12c1 (1,1,1)利用|mn|1. ( 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1) 即(a1an1)1， ( 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1) 所 以 ， 故 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 a1an1 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 0. 1 an1a1