《2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：4.1数学归纳法导学案 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：4.1数学归纳法导学案 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.1 数学归纳法 数学归纳法 学习目标 1了解数学归纳法的原理 2了解数学归纳法的使用范围 3会用数学归纳法证明一些简单问题 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 思考探究 探究 1数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1? 探究 2在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？ 名师点拨：名师点拨： 1.归纳法 由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法它是人们发现规律，产 生猜想的一种方法 归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法 (1)不完全归纳法 不完
2、全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法用不完全归纳法得出 的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的 (2)完全归纳法 如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法完全归纳法 是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一一验证的 对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳 法就是解决这类问题的证明方法 2数学归纳法 数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，
3、所得结论 是正确的 (1)数学归纳法的原理 从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证 nn0时，命题成 立，称为奠基第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可第一步，证明了 nn0时， 命题成立， nn0成为后面递推的出发点 第二步的归纳假设 nk(kN， kn0)就有了依据， 在 nn0 成立时，n01 成立，n02 成立这样就可以无限推理下去，而证 nk1 就是替代了无限的验 证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃 (2)应用数学归纳法的一般步骤 验证 nn0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立； 假设当 nk
4、(kn0，kN时)，命题成立，利用假设证明 nk1 时命题也成立 由和知，对一切 nn0的正整数命题成立 3如何正确运用数学归纳法 (1)适用范围，与正整数有关的数学命题 (2)验证 nn0是基础，找准 n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从 1 开始 (3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从 nk 到 nk1 的推理过程，必须用上假设， 否则不是数学归纳法 (4)正确寻求递推关系，在验证 nn0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；在解 决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出 f(k)到 f(k1)的图形的变化情况；对于整除性问 题，往往添加项凑出假设 【例 1】 看下
5、面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正 用数学归纳法证明： 1248(1)n12n1(1)n1 . 2n 3 1 3 【证明】 (1)当 n1 时，左边1，右边 1，等式成立 2 3 1 3 (2)假设 nk 时，等式成立，即 1248(1)k12k1(1)k1 . 2k 3 1 3 则当 nk1 时，有 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1248(1)k12k1(1)k2k (1)k1 (1)k . 12k1 12 1 3 2k1 3 1 3 2k1 3 2k1 3 1 3 这就是说，当 nk1 时，等式也成立 由(1)与(2)知，对任意 nN等式成立 【变式训练
6、 1】 用数学归纳法证明：nN时， . 1 1 3 1 3 5 1 2n12n1 n 2n1 【例 2】 设 xN，nN，求证：xn2(x1)2n1能被 x2x1 整除 【变式训练 2】 求证：二项式 x2ny2n(nN)能被 xy 整除 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例 3】 平面上有 n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这 n 条直线把平面分割成 f(n)块区域 n2n2 2 【变式训练 3】 已知 n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明 这 n 个圆把平面分成 n2n2 部分 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
7、参考答案参考答案 1.归纳法 由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法它是人们发现规律，产 生猜想的一种方法 归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法 (1)不完全归纳法 不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法用不完全归纳法得出 的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的 (2)完全归纳法 如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法完全归纳法 是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到 一一验证的 对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论
8、，并设法予以证明，数学归纳 法就是解决这类问题的证明方法 2数学归纳法 数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论 是正确的 (1)数学归纳法的原理 从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证 nn0时，命题成 立，称为奠基第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可第一步，证明了 nn0时， 命题成立， nn0成为后面递推的出发点 第二步的归纳假设 nk(kN， kn0)就有了依据， 在 nn0 成立时，n01 成立，n02 成立这样就可以无限推理下去，而证 nk1 就是替代了无限的验 证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实
9、可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃 (2)应用数学归纳法的一般步骤 验证 nn0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立； 假设当 nk(kn0，kN时)，命题成立，利用假设证明 nk1 时命题也成立 由和知，对一切 nn0的正整数命题成立 3如何正确运用数学归纳法 (1)适用范围，与正整数有关的数学命题 (2)验证 nn0是基础，找准 n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从 1 开始 (3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从 nk 到 nk1 的推理过程，必须用上假设， 否则不是数学归纳法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (4)正确寻求递推关系，在验证 n
10、n0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；在解 决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出 f(k)到 f(k1)的图形的变化情况；对于整除性问 题，往往添加项凑出假设 探究 1提示 不一定 探究 2提示 不可以这两个步骤缺一不可，只完成步骤而缺少步骤，就作出判断可能 得出不正确的结论因为单靠步骤，无法递推下去，即 n 取 n0以后的数时命题是否正确，我们 无法判定同样，只有步骤而缺少步骤时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤这个基础， 假设就失去了成立的前提，步骤也就没有意义了. 【例 1】 【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立在第二步中， 证 nk1 时没有用上假
11、设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的第二步正确证法应 为： 当 nk1 时，1248(1)k12k1(1)k2k (1)k1 (1)k2k 2k 3 1 3 (1)k (1)k2k 2k 3 1 3 (1)k2k ( 1 31) 1 3 (1)k . 2k1 3 1 3 即当 nk1 时，等式也成立 【变式训练 1】证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ， 1 1 3 1 3 1 2 11 1 3 左边右边，等式成立 (2)假设 nk 时，等式成立，即 . 1 1 3 1 3 5 1 2k12k1 k 2k1 则当 nk1 时， 1 1 3 1 3 5 1 2k12k1 1 2k1
12、2k3 k 2k1 1 2k12k3 2k23k1 2k12k3 2k1k1 2k12k3 . k1 2k3 k1 2k11 即当 nk1 时，等式也成立 由(1)，(2)可知对一切 nN等式成立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例 2】 【证明】 (1)当 n1 时，x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2 (2x1)(x2x1)，结论成立 (2)假设 nk 时，结论成立，即 xk2(x1)2k1能被 x2x1 整除， 那么当 nk1 时， x(k1)2(x1)2(k1)1xxk2(x1)2(x1)2k1 xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1
13、xxk2(x1)2k1(x2x1)(x1)2k1. 由假设知， xk2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除， 故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2 x1 整除，即 nk1 时，结论也成立 由(1)(2)知，原结论成立 【变式训练 2】证明 (1)当 n1 时，x2y2(xy)(xy)， 命题成立 (2)假设 nk 时，x2ky2k能被 xy 整除， 那么 nk1 时，x2(k1)y2(k1)x2x2ky2y2k x2(x2ky2k)x2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2) x2ky2k与 x2y2都能被 xy 整除， x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被
14、xy 整除 即 nk1 时，命题也成立 由(1)(2)知，对任意的正整数 n 命题成立 【例 3】 【证明】 (1)当 n1 时，一条直线把平面分割成 2 块 而 f(1)2，命题成立 1212 2 (2)假设 nk 时，k 条直线把平面分成 f(k)块区域，那么当 nk1 时，设 k1 条直 k2k2 2 线为 l1，l2，l3lk，lk1，不妨取出 l1，余下的 k 条直线 l2，l3，lk，lk1将平面分割成 f(k)k 2k2 2 块区域， 直线 l1被这 k 条直线分割成 k1 条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二， 故增加了 k1 块 区域，所以 f(k1)f(k)k1k
15、1，这就 k2k2 2 k23k4 2 k12k12 2 是说，当 nk1 时，命题也成立 由(1)(2)知，命题对一切 nN成立 【变式训练 3】证明 (1)当 n1 时，1 个圆把平面分成两部分，而 21212. 所以当 n1 时，命题成立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)假设 nk 时命题成立，即 k 个圆把平面分成 k2k2 部分 当 nk1 时，平面上增加第 k1 个圆，它与原来的 k 个圆中的每个圆都相交于两个不同点， 共 2k 个交点， 而这 2k 个交点把第 k1 个圆分成 2k 段弧， 每段弧把原来的区域隔成了两块区域， 区域的块数增加了 2k 块 k1 个圆把平面划分成的块数为 (k2k2)2kk2k2 (k1)2(k1)2， 当 nk1 时命题也成立 根据(1)(2)知，命题对 nN都成立