《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析.pdf（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 22.2 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质 读教材读教材填要点填要点 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 标准方程标准方程1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 图形图形 焦点焦点(c,0)(0，c) 焦距焦距2c2c 范围范围xa 或或 xa，yRya 或或 ya，xR 对称性对称性对称轴：对称轴：x 轴和轴和 y 轴，中心：轴，中心：(0,0) 顶点顶点(a,0)(0，a) 轴长轴长实轴长实轴长2a，虚轴长，虚轴长2b 离心率
2、离心率e (1，) c a 性 质 性 质 渐近线渐近线y x b a y x a b 小问题小问题大思维大思维 1你能求出双曲线 你能求出双曲线 1 的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？ x2 4 y2 3 提示：由题意得提示：由题意得 a24，b23， 解得解得 a2，b，则，则 c.3a2b27 因此，实轴长因此，实轴长 2a4，虚轴长，虚轴长 2b2 . 3 离心率离心率 e . c a 7 2 渐近线方程为渐近线方程为 yx. 3 2 2如何用如何用 a，b 表示双曲线的离心率？表示双曲线的离心率？ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
3、印 提示：提示： e . c a a2b2 a2 1b 2 a2 3双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？ 提示：提示：e ，当，当 e 越大时，双曲线开口越大，当越大时，双曲线开口越大，当 e 越小接近于越小接近于 1 时，双曲线时，双曲线 c a 1b 2 a2 开口越小开口越小 4双曲线双曲线1 与与1 的渐近线有什么关系？的渐近线有什么关系？ x2 a2 y2 b2 y2 b2 x2 a2 提示：双曲线提示：双曲线1 与与1 的渐近线相同的渐近线相同 x2 a2 y2 b2 y2 b2 x2 a2 由双曲线的标准方程研究
4、其几何性质由双曲线的标准方程研究其几何性质 求双曲线求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程 自主解答自主解答 将 将 9y24x236 变形为 变形为 1， x2 9 y2 4 即即1，a3，b2，c. x2 32 y2 22 13 因此顶点为因此顶点为 A1(3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标焦点坐标 F1(，0)，F2(，0)，1313 实轴长是实轴长是 2a6，虚轴长是，虚轴长是 2b4， 离心率离心率 e ， ， c a 13 3 渐近线方程渐近线方程 y x x. b a 2
5、 3 若将“若将“36”改换为”改换为“36”呢？呢？ 解：把方程解：把方程 9y24x236 化为标准形式为 化为标准形式为 1， y2 4 x2 9 a2，b3，c.13 顶点为顶点为(0，2)，(0,2)， 焦点坐标为焦点坐标为(0，)，(0，)，1313 实轴长是实轴长是 2a4， 虚轴长是虚轴长是 2b6， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 离心率离心率 e . c a 13 2 渐近线方程为渐近线方程为 y x. 2 3 已知双曲线的方程求其几何性质时， 若不是标准形式的先化为标准方程， 确定方程中已知双曲线的方程求其几何性质时， 若不是标准形式的先化为标准方程， 确定方
6、程中 a， b 的对应值，利用的对应值，利用 c2a2b2得到得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何 性质 ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何 性质 1已知双曲线已知双曲线1 与与1，下列说法正确的是，下列说法正确的是( ) x2 9 y2 16 y2 16 x2 9 A两个双曲线有公共顶点两个双曲线有公共顶点 B两个双曲线有公共焦点两个双曲线有公共焦点 C两个双曲线有公共渐近线两个双曲线有公共渐近线 D两个双曲线的离心率相等两个双曲线的离心率相等 解析：双曲线解析：双曲线1 的焦点和顶点都在的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线轴上，而双曲线1 的焦点和顶点的焦
7、点和顶点 x2 9 y2 16 y2 16 x2 9 都在都在 y 轴上，因此可排除选项轴上，因此可排除选项 A、B； 双曲线； 双曲线1 的离心率的离心率 e1 ，而双曲线 ，而双曲线 x2 9 y2 16 9 16 9 5 3 1 的离心率的离心率 e2 ，因此可排除选项 ，因此可排除选项 D；易得；易得 C 正确正确 y2 16 x2 9 16 9 16 5 4 答案：答案：C 2(2017北京高考北京高考)若双曲线若双曲线 x2 1 的离心率为，则实数的离心率为，则实数 m_. y2 m 3 解析：由双曲线的标准方程可知解析：由双曲线的标准方程可知 a21，b2m， 所以所以 e，解得
8、，解得 m2.1b 2 a2 1 m3 答案：答案：2 由双曲线的几何性质求标准方程由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)一个焦点为一个焦点为(0,13)，且离心率为；，且离心率为； 13 5 (2)与双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点有公共渐近线，且过点 M(2，2) 自主解答自主解答 (1)依题意可知，双曲线的焦点在依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且轴上，且 c13，又 ，又 ， c a 13 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以所以 a5，b12，c2a2 故其标准方程为故其标准方程为1
9、. y2 25 x2 144 (2)所求双曲线与双曲线所求双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线，有公共渐近线， 设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为 x22y2. 又双曲线过点又双曲线过点 M(2，2)，则，则 222(2)2，即，即 4. 所求双曲线方程为 所求双曲线方程为 1. y2 2 x2 4 (1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是： 根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程； 由已知条件求出待定系数由已知条件求出待定系数 a，b； 将求得的系数将求得的系数 a，b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准
10、方程代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程 (2)如果已知双曲线的渐近线方程为如果已知双曲线的渐近线方程为 y x，那么此双曲线方程可设为，那么此双曲线方程可设为(0) b a x2 a2 y2 b2 3根据下列条件，求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为 y x，焦距为，焦距为 10； 1 2 (2)已知双曲线与曲线已知双曲线与曲线1 共焦点，与曲线共焦点，与曲线1 共渐近线共渐近线 x2 24 y2 49 x2 36 y2 64 解：解：(1)当焦点在当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程为轴上时，设所求双曲线方程为1(a
11、0，b0) x2 a2 y2 b2 由渐近线方程为由渐近线方程为 y x，得，得 1 2 ， ，2c10. b a 1 2 又又 c2a2b2，得，得 a220，b25， 双曲线的标准方程为 双曲线的标准方程为 1； x2 20 y2 5 当焦点在当焦点在 y 轴上时，可得双曲线的方程为 轴上时，可得双曲线的方程为 1， y2 5 x2 20 所求双曲线的方程为所求双曲线的方程为 1 或 或 1. x2 20 y2 5 y2 5 x2 20 (2)由由1 得双曲线的焦点为得双曲线的焦点为(0，5) x2 24 y2 49 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又双曲线又双曲线1 的渐近线
12、为的渐近线为 y x， x2 36 y2 64 4 3 设所求双曲线的标准方程为设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)， y2 a2 x2 b2 则：则：Error!解得解得 b29，a216. 所求双曲线方程为所求双曲线方程为1. y2 16 x2 9 求双曲线的离心率求双曲线的离心率 过双曲线过双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，的右焦点作一条与其渐近线平行的直线， x2 a2 y2 b2 交交 C 于点于点 P.若点若点 P 的横坐标为的横坐标为 2a，则，则 C 的离心率为的离心率为_ 自主解答自主解答 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 如图所示，不妨设
13、与渐近线平行的直线 l 的斜率为的斜率为b a ，又直线，又直线 l 过右焦点过右焦点 F(c,0)， 则直线， 则直线l的方程为的方程为y (xc) 因为点 因为点P的的 b a 横坐标为横坐标为2a， 代入双曲线方程得， 代入双曲线方程得1， 化简得， 化简得 yb 或或 y 4a2 a2 y2 b2 33 b(点点 P 在在 x 轴下方， 故舍去轴下方， 故舍去)， 故点， 故点 P 的坐标为的坐标为(2a， ， b)， 代入直线方程得， 代入直线方程得b (2ac)，33 b a 化简可得离心率化简可得离心率 e 2. c a 3 答案答案 2 3 求双曲线离心率的两种方法求双曲线离心
14、率的两种方法 (1)直接法 ： 若已知直接法 ： 若已知 a，c 可直接利用可直接利用 e 求解，若已知 求解，若已知 a，b，可利用，可利用 e 求解求解 c a 1(b a) 2 (2)方程法：若无法求出方程法：若无法求出 a，b，c 的具体值，但根据条件可确定的具体值，但根据条件可确定 a，b，c 之间的关系， 可通过 之间的关系， 可通过 b2c2a2， 将关系式转化为关于， 将关系式转化为关于 a， c 的齐次方程， 借助于的齐次方程， 借助于 e ， 转化为关于 ， 转化为关于 e 的的 n c a 次方程求解次方程求解 注意注意 求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于 求离心率
15、的范围时，常结合已知条件构建关于 a，b，c 的不等关系的不等关系 4(1)已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)若 若 2，求双曲线的离心率；，求双曲线的离心率； x2 a2 y2 b2 b a (2)设点设点 P 在双曲线在双曲线1(a0， b0)的右支上， 双曲线两焦点的右支上， 双曲线两焦点 F1， F2， |PF1|4|PF2|， x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求双曲线离心率的取值范围求双曲线离心率的取值范围 解：解：(1)c，a2b2 e . c a a2b2 a2 1(b a) 2 1 225 (2)由双曲线定义得：由双曲线定义得：|PF1|P
16、F2|2a， 与已知与已知|PF1|4|PF2|联立解得：联立解得： |PF1| a，|PF2| a. 8 3 2 3 由由|PF1|PF2|F1F2 |得：得： a a2c，解得，解得 10，b0)，依题意，得，依题意，得 x2 a2 y2 b2 Error!解得解得Error! 所求双曲线方程为所求双曲线方程为1. x2 35 9 y2 35 法二：由渐近线方程法二：由渐近线方程 3xy0， 可设所求双曲线方程为可设所求双曲线方程为y2(0)(*) x2 1 9 将点将点 P(2，1)的坐标代入的坐标代入(*)，得，得 35， 所求的双曲线方程为所求的双曲线方程为1. x2 35 9 y2
17、 35 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1双曲线 双曲线 1 的渐近线方程是的渐近线方程是( ) x2 25 y2 4 Ay x By x 2 5 5 2 CyxDyx 4 25 25 4 解析：由 解析：由 0，得，得 y2x2，即，即 y x. x2 25 y2 4 4 25 2 5 答案：答案：A 2双曲线双曲线1 的离心率是的离心率是( ) x2 25 y2 16 A.B. 3 5 5 3 C.D. 41 5 5 41 解析：解析：a225，b216，c2a2b241， e . c a 41 5 答案：答案：C 3已知双曲线已知双曲线 C：1 的离心率的离心率 e ，且其右
18、焦点为 ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线，则双曲线 C 的方的方 x2 a2 y2 b2 5 4 程为程为( ) A. 1B.1 x2 4 y2 3 x2 9 y2 16 C. 1D. 1 x2 16 y2 9 x2 3 y2 4 解析：解析：e ， ，F2(5,0)， c a 5 4 c5，a4，b2c2a29， 双曲线双曲线 C 的标准方程为 的标准方程为 1. x2 16 y2 9 答案：答案：C 4已知双曲线已知双曲线 x21(b0)的一条渐近线的方程为的一条渐近线的方程为 y2x，则，则 b_. y2 b2 解析：双曲线解析：双曲线 x21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为
19、 ybx，比较系数得，比较系数得 b2. y2 b2 答案：答案：2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5已知双曲线的顶点到渐近线的距离为已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的 离心率为 ，则该双曲线的 离心率为_ 解析：画图可得相似直角三角形，因此有解析：画图可得相似直角三角形，因此有OAAOFF， ， 3， c a 6 2 即即 e3. 答案：答案：3 6求中心在原点，两顶点间距离为求中心在原点，两顶点间距离为 6，渐近线为，渐近线为 y3x 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程 解：因为两顶点间的距离为解：因为两顶点间
20、的距离为 6， 即即 2a6，a3. 当焦点在当焦点在 x 轴上时，则有 轴上时，则有 3，b9. b a 双曲线方程为双曲线方程为1. x2 9 y2 81 当焦点在当焦点在 y 轴上时，轴上时， 则有 则有 3，b1. a b 双曲线方程为 双曲线方程为 x21. y2 9 一、选择题一、选择题 1若双曲线 若双曲线 1(a0)的离心率为的离心率为 2，则，则 a 等于等于( ) x2 a2 y2 3 A2 B. 3 C.D1 3 2 解析：很明显，双曲线的焦点在解析：很明显，双曲线的焦点在 x 轴上，轴上， 则离心率则离心率 e2，解得，解得 a1. a23 a 答案：答案：D 2(20
21、17全国卷全国卷)若若 a1，则双曲线，则双曲线y21 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) x2 a2 A(，)B(，2)22 C(1，)D(1,2)2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：由题意得双曲线的离心率解析：由题意得双曲线的离心率 e. a21 a 即即 e21. a21 a2 1 a2 a1，01， 1 a2 112，1e. 1 a2 2 答案：答案：C 3 已知双曲线 已知双曲线1(a0， b0)的一个焦点为的一个焦点为 F(2,0)， 且双曲线的渐近线与圆， 且双曲线的渐近线与圆(x2)2 x2 a2 y2 b2 y23 相切，则双曲线的方程为相切，则
22、双曲线的方程为( ) A.1B. 1 x2 9 y2 13 x2 13 y2 9 C.y21Dx2 1 x2 3 y2 3 解析：由双曲线的渐近线解析：由双曲线的渐近线 y x 与圆与圆(x2)2y23 相切可知，相切可知， b a |( b a) 2| 1(b a) 2 3 又又Error!解得解得Error! 故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为 x2 1. y2 3 答案：答案：D 4设双曲线的一个焦点为设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为，虚轴的一个端点为 B，如果直线，如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此
23、双曲线的离心率为( ) A.B.23 C.D. 31 2 51 2 解析 ： 设双曲线方程为解析 ： 设双曲线方程为1(a，b0)，不妨设一个焦点为，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为，虚轴端点为 B(0， x2 a2 y2 b2 b)，则，则 kFB .又渐近线的斜率为又渐近线的斜率为 ，所以由直线垂直关系得，所以由直线垂直关系得 1， b c b a b c b a ( b a显 显然然不不符符合合) 即即 b2ac， 又又 c2a2b2，故，故 c2a2ac，两边同除以，两边同除以 a2，得方程，得方程 e2e10，解得，解得 e(舍舍 51 2 负值负值) 答案：答案：D 二、
24、填空题二、填空题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5已知双曲线已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为的一条渐近线为xy0，则，则 a_. x2 a2 3 解析 ： 双曲线解析 ： 双曲线y21 的渐近线为的渐近线为 y ， 已知一条渐近线为， 已知一条渐近线为xy0， 即， 即 yx， x2 a2 x a 33 因为因为 a0，所以 ，所以，所以 ，所以 a. 1 a 3 3 3 答案：答案： 3 3 6已知双曲线过点已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为，则该双曲线的标准方程为3 1 2 _ 解析：法一：双曲线的渐近线方程为解析：法
25、一：双曲线的渐近线方程为 y x， 1 2 可设双曲线的方程为可设双曲线的方程为 x24y2(0) 双曲线过点双曲线过点(4，)，3 164()24，3 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为y21. x2 4 法二：渐近线法二：渐近线 y x 过点过点(4,2)，而，而0，b0) x2 a2 y2 b2 由已知条件可得由已知条件可得 Error!解得解得Error! 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为y21. x2 4 答案：答案：y21 x2 4 7已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)和椭圆 和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线的离心有相同的焦点，且双曲线的离心 x2 a2 y2 b2 x2
26、 16 y2 9 率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_ 解析 ： 由题意知， 椭圆的焦点坐标是解析 ： 由题意知， 椭圆的焦点坐标是(， 0)， 离心率是， 离心率是.故在双曲线中故在双曲线中 c， e7 7 4 7 7 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ，故，故 a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是 ，故所求双曲线的方程是 1. c a x2 4 y2 3 答案： 答案： 1. x2 4 y2 3 8已知双曲线 已知双曲线 1 的离心率的离心率 e(，2)，则，则 m 的取值范围是的取值范围是_ x2 m y2 4 2 解析：由双
27、曲线方程知解析：由双曲线方程知 a2，b，m0)， c a 5 4 则则 a4k，由，由 b2c2a29k24 得得 k2 ， ， 4 9 a216k2.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 1 64 9 x2 64 9 y2 4 或或1. y2 64 9 x2 4 (3)由两顶点间的距离是由两顶点间的距离是6得得2a6， 即， 即a3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c 4a12，即，即 c6，于是有，于是有 b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求由于焦点所在
28、的坐标轴不确定，故所求 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为1 或 或 1. x2 9 y2 27 y2 9 x2 27 10.如图所示， 已知如图所示， 已知 F1， F2是双曲线是双曲线1(a0， b0)的两焦点，的两焦点， x2 a2 y2 b2 以线段以线段F1F2为边作正三角形为边作正三角形MF1F2，若边，若边MF1与双曲线的交点与双曲线的交点P满足满足MP 3，试求双曲线的离心率 ，试求双曲线的离心率 PF1 解：连接解：连接 PF2，设，设|F1F2|2c， 由由3知知MP PF1 |PF1| |MF1|. 1 4 又又MF1F2为正
29、三角形，为正三角形， |PF1| 2c c， 1 4 1 2 PF1F260， 由余弦定理可得：由余弦定理可得： |PF2| 2c 2(1 2c) 2 22c1 2ccos 60 c.4c21 4c 2 c2 13 2 根据双曲线定义有根据双曲线定义有 2a|PF2|PF1|c， 131 2 离心率离心率 e . c a 4 131 131 3 第二课时 直线与双曲线的位置关系第二课时 直线与双曲线的位置关系 读教材读教材填要点填要点 1直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线一般地，设直线 l：ykxm(m0) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 双曲线双曲线 C
30、：1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 把代入得把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20. (1)当当 b2a2k20，即，即 k 时，直线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交相交 b a 于一点于一点 (2)当当 b2a2k20，即，即 k 时，时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2) b a 0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
31、 0 且且 x20，点，点 A，B 都在双曲线的右支上都在双曲线的右支上 对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关 系解决另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法 解决另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决 对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关 系解决另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法 解决另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决 2 直线 直线 l 在双曲线 在双曲线 1 上截得的弦长为上截
32、得的弦长为 4， 其斜率为， 其斜率为 2， 求直线， 求直线 l 在在 y 轴上的截距轴上的截距 m. x2 3 y2 2 解：设直线解：设直线 l 的方程为的方程为 y2xm， 由由Error!得得 10x212mx3(m22)0.(*) 设直线设直线 l 与双曲线交于与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点， 由根与系数的关系，由根与系数的关系， 得得 x1x2 m，x1x2(m22) 6 5 3 10 |AB|x1x2|122 5 x1x2 24x1x2 4.5( 6 5m) 2 4 3 10 m 2 2 解得解得 m. 210 3 由由(*)式得式得 24m2240
33、， 把把 m代入上式，得代入上式，得 0，符合题意，符合题意 210 3 故故 m 的值为的值为. 210 3 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 已知直线已知直线 yax1 与双曲线与双曲线 3x2y21 交于交于 A，B 两点若以两点若以 AB 为直径的圆过坐标 原点，求实数 为直径的圆过坐标 原点，求实数 a 的值的值 巧思巧思 以 以 AB 为直径的圆过坐标原点，即为直径的圆过坐标原点，即 OAOB.因此可联立直线与双曲线方程， 设 因此可联立直线与双曲线方程， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则问题
34、可转化为，则问题可转化为 x1x2y1y20 求解求解 妙解妙解 由 由Error!消去消去 y，得，得 (3a2)x22ax20. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 依题意依题意Error!即即0，b0)，由题意知，由题意知 c3，a2b29.设设 A(x1， x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 y1)，B(x2，y2)，则，则Error!，两式作差得，两式作差得.又直线又直线 AB 的斜率是的斜率是 y1y2 x1x2 b2 x 1 x2 a2 y 1 y2 12b2 15a2 4b2 5a2 1，所以，所以 4b25a2. 150 123 代入代
35、入 a2b29 得得 a24，b25，所以双曲线的标准方程是 ，所以双曲线的标准方程是 1. x2 4 y2 5 答案：答案：B 4过双曲线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，与，与 x2 a2 y2 b2 另一条渐近线交于点另一条渐近线交于点 B，若，若2， 则此双曲线的渐近线的斜率是则此双曲线的渐近线的斜率是( )FB FA AB23 C2D 5 解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是 y x，不妨设过右焦点，不妨设过右焦点 F(c,0)(c0)的直的直 b a 线线 l 与渐
36、近线与渐近线 y x 垂直，垂直，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为 y (xc)，两直线，两直线 b a a b 方程联立解得方程联立解得 y1； 把方程； 把方程 y (xc)与方程与方程 y x 联立， 解得联立， 解得 y2， 因为， 因为 ab c a b b a abc b2a2 FB 2， 所以， 所以(x2c， y2)2(x1c， y1)， 由此得， 由此得 y22y1， 故， 即， 故， 即 2(b2a2)c2a2FA abc b2a2 2ab c b2，即，即 ba，故此双曲线的渐近线斜率是，故此双曲线的渐近线斜率是.33 答案：答案：
37、B 二、填空题二、填空题 5过双曲线过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于轴的直线与双曲线相交于 M，N x2 a2 y2 b2 两点，以两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_ 解析：由题意知，解析：由题意知，ac，即，即 a2acc2a2， b2 a c2ac2a20，e2e20， 解得解得 e2 或或 e1(舍去舍去) 答案：答案：2 6已知双曲线中心在原点，且一个焦点为已知双曲线中心在原点，且一个焦点为 F(，0)，直线，直线 yx1 与其相交于与其相交于 M，N
38、7 两点，两点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是_ 2 3 解析：设双曲线方程为解析：设双曲线方程为1(a0，b0)， x2 a2 y2 b2 依题意依题意 c.方程可化为方程可化为1.7 x2 a2 y2 7 a2 由由Error!得得(72a2)x22a2x8a2a40. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，则 x1x2. 2a2 7 2a2 ， ， x1x2 2 2 3 ，解得 ，解得 a22. a2 7 2a2 2 3 双曲线的方程为 双曲线的方程为 1. x2 2 y2 5 答案： 答
39、案： 1 x2 2 y2 5 7 设一个圆的圆心在双曲线 设一个圆的圆心在双曲线 1的上支上， 且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，的上支上， 且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点， y2 9 x2 16 则原点则原点 O 到该圆圆心的距离是到该圆圆心的距离是_ 解析 ： 由已知得双曲线的上顶点为解析 ： 由已知得双曲线的上顶点为 A(0,3)， 上焦点为， 上焦点为 F(0， 5)， 设圆心为， 设圆心为 P(x0， y0)， 则， 则 y0 4.代 入 双 曲 线 方 程 得代 入 双 曲 线 方 程 得 1， 所 以， 所 以 x ， 故， 故 |PO| 3 5 2 16 9 x2 0 16
40、2 0 7 16 9 x2 0y2 0 . 7 16 9 16 16 3 答案：答案：16 3 8设设 F1，F2分别为双曲线分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在的左、右焦点若在双曲线右支上存在 x2 a2 y2 b2 点点 P，满足，满足|PF2|F1F2|，且，且 F2到直线到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近 线方程为 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近 线方程为_ 解析：设解析：设 PF1的中点为的中点为 M，由，由|PF2|F1F2|， 故故 F2MPF1， 即， 即|F2M|2a， 在， 在 RtF1F2M 中，中， |F1M|2
41、b， 故， 故|PF1|4b， 2c 2 2a 2 根据双曲线定义得根据双曲线定义得 4b2c2a， 即即 2bac，即，即(2ba)2a2b2， 即即 3b24ab0，即，即 3b4a， 又双曲线的渐近线方程是又双曲线的渐近线方程是 y x， b a 所以所以 y x，即，即 4x3y0. 4 3 答案：答案：4x3y0 三、解答题三、解答题 9 设双曲线 设双曲线 C：y21(a0)与直线与直线 l： xy1 交于两个不同的点交于两个不同的点 A， B， 求双曲线， 求双曲线 C x2 a2 的离心率的离心率 e 的取值范围的取值范围 解 ： 由双曲线解 ： 由双曲线 C 与直线与直线 l
42、 相交于两个不同的点， 可知方程相交于两个不同的点， 可知方程Error!有两组不同的解， 消去有两组不同的解， 消去 y， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 并整理得并整理得 (1a2)x22a2x2a20， Error!解得解得 0，且，且 e， 6 2 2 故双曲线故双曲线 C 的离心率的离心率 e 的取值范围为的取值范围为 (，) ( 6 2 ， ， 2)2 10已知双曲线已知双曲线 C：1(a0，b0)的离心率为，且过点的离心率为，且过点 P(，1) x2 a2 y2 b2 2 3 3 6 (1)求双曲线求双曲线 C 的方程；的方程； (2)若直线若直线 l： ykx与双曲线交于两个不同点与双曲线交于两个不同点 A，B，且，且2(O 为坐标原点为坐标原点)，2OA OB 求求 k 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由已知由已知 e ， ，ca， c a 2 3 3 2 3 3 b2c2a2 a2a2 a2，即，即 a23b2.