《2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 Word版含答案.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.2 抛物线的简单性质 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知抛物线 y2=ax(a0)的准线是 x=-1,则它的焦点坐标是( ) A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0) 解析:准线为 x=- =-1,a=4,即 y2=4x. 焦点坐标为(1,0). 答案:A 2.如图,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若=0,则|+|+|等于( ) A.6B.4C.3D.2 解析:由=0,知 F 为ABC 的重心,由抛物线方程知,F(1,0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x1
2、+x2+x3=3. 又|+|+|=x1+x2+x3+p=3+3=6. 答案:A 3.已知直线 l 过抛物线 y2=8x 的焦点且与它交于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3,则|AB|等于( ) A.7B.5C.8D.10 解析:焦点为 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=23=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10. 答案:D 4.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为-,那么|PF| 等于( ) A.4B.8C.8D.16 解析
3、:直线 AF 的方程为 y=-(x-2),联立得 y=4,所以点 P 的坐标为(6,4).由抛物线的性质, 得|PF|=|PA|=6+2=8. 答案:B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若点 A,B 在抛物线的准线上的射影分别为 A1,B1,则 A1FB1为( ) A.45B.60C.90D.120 解析:设抛物线的方程为 y2=2px(p0). 如图,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, AA1F=AFA1, BFB1=FB1B. 又 AA1OxB1B, A1FO=FA1A,B1FO=FB1B. A1FB1=AF
4、B=90. 答案:C 6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: 焦点在 y 轴上; 焦点在 x 轴上; 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; 抛物线的通径的长为 5; 由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这条抛物线的方程为 y2=10x 的条件是 (要求填写适合条件的序号). 解析:由抛物线的方程为 y2=10x,知它的焦点在 x 轴上, 适合. 又抛物线的焦点坐标为 F,原点 O(0,0), 设点 P(2,1),可得 kPOkPF=-1,也适合. 而显然不适合,通过计算可知不合题意. 应填序号为. 答案: 7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2x
5、 上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是 . 解析:有两个顶点关于 x 轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是. 可设三角形的边长为 a,x 轴上方的顶点为,代入抛物线方程,得 x0=6. 由a=6,得边长 a=12. 答案:12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.已知点(x,y)在抛物线 y2=4x 上,则 z=x2+ y2+3 的最小值是 . 解析:点(x,y)在抛物线 y2=4x 上,x0. z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2, 当 x=0 时,z 最小,其最小值为 3. 答案:3 9.已知直线 l:y=kx+1,抛物线 C:y2=4x,求当 k 为何
6、值时,l 与 C 有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点? 解将 l 和 C 的方程联立,得 消去 y,得 k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) (1)当 k=0 时,方程(*)只有一个解 x=,y=1. 直线 l 与 C 只有一个公共点,此时直线 l 平行于 x 轴. (2)当 k0 时,方程(*)是一个一元二次方程. 当 0,即 k1 时,l 与 C 没有公共点,此时直线 l 与 C 相离. 综上所述,当 k=1 或 k=0 时,直线 l 与 C 有一个公共点;当 k1 时, 直线 l 与 C 没有公共点. 10.导学号 90074069已知抛物线 C:y2=4x 的
7、焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)求证:点 F 在直线 BD 上; (2)设,求直线 l 的方程. 解设直线 l 与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则点 D 的坐标为(x1,-y1). 由题意,得 l 的方程为 x=my-1(m0). (1)证明:将 x=my-1 代入 y2=4x, 并整理,得 y2-4my+4=0. 从而 y1+y2=4m,y1y2=4. 直线 BD 的方程为 y-y2=(x-x2), 即 y-y2=. 令 y=0,得 x=1. 所以点 F(1,0)在直线 BD 上. (
8、2)由知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1. 因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2, 故 8-4m2=,解得 m=. 所以 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0. B 组 1.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则为( ) A.4B.-4C.p2D.-p2 解析:(方法一)特例法:当直线垂直于 x 轴时,A,B=
9、-4. (方法二)当直线斜率不存在时,直线方程为 x=.由得交点坐标. x1x2=,y1y2=-p2,=-4. 当直线斜率存在时,直线方程为 y=k. 由得 y2-y-p2=0. y1y2=-p2,x1x2=, 则=-4. 答案:B 2.导学号 90074070如图, 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l,交抛物线于 A,B 两点,且|FA|=3,则抛物线的方程 是 . 解析:过点 A,B 向准线 x=- 作垂线,垂足分别为 C,D,过 B 点向 AC 作垂线,垂足为 E. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A,B 两点在抛物线 y2=2px 上, |
10、AC|=|AF|,|BD|=|BF|. BEAC,|AE|=|AF|-|BF|. 直线 AB 的倾斜角为 60, 在 RtABE 中,2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|, 即 2(|AF|-|BF|)=|AF|+|BF|, |AF|=3|BF|. |AF|=3,|BF|=1,|AB|=|AF|+|BF|=4. 设直线 AB 方程为 y=,代入 y2=2px,得 3x2-5px+=0, x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=4. p=,抛物线方程为 y2=3x. 答案:y2=3x 3.已知抛物线 y=x2上存在两个不同的点 M,N 关于直线 y=-kx+ 对称,求 k 的取值范围. 解(
11、方法一)由题意,知 k0,设 M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点, 则 MN 的方程可设为 y=x+b,代入 y=x2,得 x2-x-b=0,且 =+4b0. 又 x1+x2=,中点 x0=,y0=+b,(x0,y0)在直线 l:y=-kx+上, +b=-k,b=4-. 代入,得+16-0. , k或 k,k2,即 k或 k0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证: (1)x1x2为定值; (2)为定值. 证明(1)抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,当直线的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(k0). 由消去 y,整理,得 k2x2-p(k2+2)x+=0.由根与系数的关系,得 x1x2=为定值. 当直线的斜率不存在,即 ABx 轴时,x1=x2=,x1x2=也成立.x1x2为定值. (2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x2+. 为定值. 当直线的斜率不存在,即 ABx 轴时,|FA|=|FB|=p,上式也成立. 为定值.