《2019数学新设计北师大选修2-1精练：第二章 空间向量与立体几何 2.4 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1精练：第二章 空间向量与立体几何 2.4 Word版含答案.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4 用向量讨论垂直 与平行 用向量讨论垂直 与平行 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知 a,b,c 分别为直线 a,b,c 的方向向量,且 a=b(0),bc=0,则 a 与 c 的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.相交D.异面 解析:由 a=b(0),知 ab. 由 bc=0,知 bc,所以 ac.故选 A. 答案:A 2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是( ) A.B. C.D. 解析: =(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1). 设平面 ABC 的一个
2、单位法向量为 u=(x,y,z), 则 u=0,u=0,可得 x,y,z 间的关系,且 x2+y2+z2=1,再求出 x,y,z 的值. 答案:D 3.若平面 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 的法向量为 v=(8,2,2),则( ) A.B. 与 相交 C.D.不确定 解析:平面 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 的法向量为 v=(8,2,2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 uv=(1,-3,-1)(8,2,2)=8-6-2=0. uv,. 答案:C 4.给出下列命题: 若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n2; 若 n1,n2分别是平面 , 的法
3、向量,则 n1n2=0; 若 n 是平面 的法向量,且向量 a 与平面 共面,则 an=0; 若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 解析:不正确. 答案:B 5.导学号 90074037如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中 点,若平行六面体的各棱长均相等,则 A1MD1P; A1MB1Q; A1M平面 DCC1D1; A1M平面 D1PQB1. 以上结论正确的是 .(填序号) 解析:, A1MD1P. 又D1P平面 D1PQB1,A1M平面 D1PQB1. 又 D1P平
4、面 DCC1D1,A1M平面 DCC1D1. D1B1与 PQ 平行不相等, B1Q 与 D1P 不平行. A1M 与 B1Q 不平行. 答案: 6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),=(x-1,y,-3).若,且 BP平面 ABC,则实数 x,y,z 的值分别 为 . 解析:=(1,5,-2),=(3,1,z), (1,5,-2)(3,1,z)=0,即 3+5-2z=0,z=4. 又=(x-1,y,-3),平面 ABC, =0,即(x-1,y,-3)(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =0,即(x-1,y,-3)(3,1,4)=0
5、, 3x-3+y-12=0. 由得 x=,y=-,z=4. 答案:,-,4 7.如图,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,F 是 AD 上一点,当 BFPE 时,AFFD 的值 为 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为 1,PA=a.则 B(1,0,0),E,P(0,0,a). 设点 F 的坐标为(0,y,0), 则=(-1,y,0),. BFPE,=0,解得 y=,则点 F 的坐标为,F 为 AD 的中点,AFFD=1. 答案:1 8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点 E 在线段 BB1上,且
6、 EB1=1,D,F,G 分别为 CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面 EGF平面 ABD. 证明如图所示,由条件知 BA,BC,BB1两两互相垂直,以 B 为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由条件知 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设 BA=a,则 A(a,0,0),G. 所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=(0,1,1). (方法一)因为=0,=0+4-4=0, 所以 B1DBA,B1DBD.因为
7、BABD=B,所以 B1D平面 ABD. 又=0+2-2=0,=0+2-2=0. 所以 B1DEG,B1DEF.又 EGEF=E, 所以 B1D平面 EFG,可知平面 EGF平面 ABD. (方法二)设平面 EGF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则 令 y1=1,则 n1=(0,1,-1). 设平面 ABD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则 即 令 y2=1,则 n2=(0,1,-1). 所以 n1=n2, 所以平面 EGF平面 ABD. 9.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都为 2,D 为 CC1的中点.求证:AB1平面 A1BD. 证明如图所示,取 B
8、C 的中点 O,连接 AO. 因为ABC 为正三角形,所以 AOBC. 因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,平面 ABC平面 BCC1B1,所以 AO平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1,以 O 为原点,以为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(- 1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0). 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 n,n, 故 令 x=1,则 y=2,z=-, 故 n=(1,2,-)为平面 A1BD 的一个
9、法向量, 而=(1,2,-), 所以=n, 所以n,故 AB1平面 A1BD. B 组 1.设平面 的一个法向量为(1,2,-2),平面 的一个法向量为(-2,-4,k),若 ,则 k=( ) A.2B.-4C.4D.-2 解析:,存在实数 ,使(1,2,-2)=(-2,-4,k),k=4. 答案:C 2. 如图,AB 是O 的直径,VA 垂直O 所在的平面,点 C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点,M,N 分别为 VA,VC 的中点, 则下列结论正确的是( ) A.MNAB B.MN 与 BC 所成的角为 45 C.OC平面 VAC D.平面 VAC平面 VBC 解析:因为 M,N 分别为
10、 VA,VC 的中点,所以 MNAC. 因为 ABAC=A,所以 A 选项不正确. 因为 ACBC,所以 MN 与 BC 所成的角为 90,B 选项不正确.又因为 OC 不垂直于 AC,所以选项 C 不正确. 因为 VA 垂直O 所在的平面,依题意可得平面 VAC平面 VBC. 答案:D 3. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图,定点 A 和 B 都在平面内,定点 P,PB,C 是 内异于 A 和 B 的动点,且 PCAC,那么 C 在平面 内的轨 迹是( ) A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.一个椭圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点 解析:
11、连接 BC(图略),根据题意 BC 为 PC 在平面 内的射影. PCAC,根据三垂线定理的逆定理知 ACBC, 点 C 在以 AB 为直径的圆上.又 C 是不同于点 A 和 B 的动点,因此应去掉端点 A 和 B. 答案:B 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点.若在棱 AA1上取一点 P,使得 DP平面 B1AE, 此时 AP 的长为 . 解析:以 A 为原点,的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示). 设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=
12、(0,1,1), =(a,0,1),.再设 P(0,0,z0),使得 DP平面 B1AE.此时=(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量为 n=(x,y,z), 则 取 x=1,得 n=. 要使 DP平面 B1AE,只要 n,有-az0=0,解得 z0=.又 DP平面 B1AE, 存在点 P,满足 DP平面 B1AE,此时 AP=. 答案: 5.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求证:(1)AF平面 BDE; (2)CF平面 BDE. 证明(1)设 AC 与 BD
13、交于点 G.因为 EFAG,且 EF=1,AG= AC=1, 所以四边形 AGEF 为平行四边形,所以 AFEG. 因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE, 所以 AF平面 BDE. (2)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,且 CEAC, 所以 CE平面 ABCD. 如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 C(0,0,0),A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),F. 所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以=0-1+1=0, =-1+0+1=0. 所以 CFBE,CFDE. 又 BEDE=E,所以 CF平面 BDE.
14、6.导学号 90074038如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,ABAC. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求证:ACPB; (2)设 O,D 分别为 AC,AP 的中点,点 G 为OAB 内一点,且满足),求证:DG平面 PBC. 证明(1)因为 PA平面 ABC,AC平面 ABC, 所以 PAAC.又因为 ABAC,且 PAAB=A, 所以 AC平面 PAB. 又因为 PB平面 PAB,所以 ACPB. (2)证法一:因为 PA平面 ABC, 所以 PAAB,PAAC.又因为 ABAC, 所以建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 设 AC=2a,AB=
15、b,PA=2c, 则 A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为), 所以 G.于是=(2a,-b,0),=(0,b,-2c). 设平面 PBC 的一个法向量 n=(x0,y0,z0),则有不妨设 z0=1,则有 y0= ,x0=,所以 n=. 因为 n+1(-c)=0,所以 n. 又因为 DG平面 PBC,所以 DG平面 PBC. 证法二:取 AB 中点 E,连接 OE,则).由已知)可得, 则点 G 在 OE 上. 连接 AG 并延长交 CB 于点 F,连接 PF. 因为 O,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 OEBC,即 G 为 AF 的中点.又因为 D 为线段 PA 的中点, 所以 DGPF. 又 DG平面 PBC,PF平面 PBC, 所以 DG平面 PBC.