《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第31课__三角形中的有关问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第31课__三角形中的有关问题 Word版含解析.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _第 31 课_三角形中的有关问题_ 会利用三角恒等变换及正、余弦定理并结合三角函数解决三角形中的有关问题. 1. 阅读：必修 5 第 517 页；必修 4 第 1638 页；必修 4 第 103122 页 2. 解悟：正余弦定理的内容是什么？你会证明吗？你能用几种方法证明？正弦定理的变 形式有哪些？利用正、余弦定理分别可以解决哪些类型的斜三角形问题 ； 常用的三角形面 积公式有哪些？三角函数中的同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、 正切公式、 二倍角、 辅助角公式等还记得吗？能熟练运用吗？重解必修 4 第 116 页例 4 和 例
2、5，重解必修 5 第 9 页例 4，体会方法和规范 3. 践习：在教材空白处，完成必修 4 第 112113 页习题第 12、15 题；第 117118 页习题 第 4、6 题；必修 5 第 11 页习题第 7、8 题；第 17 页习题第 5、13 题；第 21 页习题第 6 题； 第 24 页习题第 6、7 题. 基础诊断 1. 在ABC 中，cosB，cosC ，则 sinA_ 5 13 4 5 33 65 解析：由题意得 sinB，sinC ，则 sinAsin(BC). 12 13 3 5 33 65 2. 在ABC 中，已知点 D 在边 BC 上，ADAC，sinBAC，AB3，AD
3、3， 2 2 3 2 则 BD 的长为_. 3 解析 ： 因为 ADAC，sinBAC，所以 cosBADsin，BD2 2 2 3 (BAD 2) 2 2 3 AB2AD22ABADcosBAD3，所以 BD . 3 3. 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则ABC cosA cosB b a 4 3 的形状是_直角三角形_ 解析：由 ，得，所以 sinAcosAsinBcosB，所以 sin2Asin2B，所 cosA cosB b a cosA cosB sinB sinA 以 2A2B 或 2A2B.因为 cosAcosB，所以 AB ，所以ABC 是直
4、角三角形 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4. 在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A2B，则 的 a b 取值范围是_(，)_23 解析 ： 因为 A2B，由正弦定理 得 2cosB.因为 ABC a sinA b sinB a b sinA sinB sin2B sinB ，所以 C3B.因为ABC 是锐角三角形，所以 A，B，C，所以 B，所 (0， 2) ( 6， 4) 以 (，) a b 23 范例导航 考向 辅角公式在三角形中的应用 例 1 在ABC 中，a2c2b2ac.2 (1) 求角 B 的大小； (2) 求cosAco
5、sC 的最大值2 解析：(1) 由余弦定理及题设得 cosB. a2c2b2 2ac 2 2 因为 0B，所以 B . 4 (2) 由(1)知 AC， 3 4 所以cosAcosCcosAcos22 ( 3 4 A) cosAcosAsinA，2 2 2 2 2 cosAsinAcos. 2 2 2 2 (A 4) 因为 0A，所以 A . 3 4 4 4 2 当 A 0，即 A 时， cosAcosC 取得最大值 1. 4 4 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在ABC 中，已知(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC. (1) 求角 A 的大
6、小； (2) 求sinBcosC 的最大值3 解析：(1) 因为(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC， 由正弦定理得(abc)(bca)3bc， 所以 b2c2a2bc，cosA . 1 2 因为 0A，所以 A . 3 (2) 由 A 得 BC， 3 2 3 所以sinBcosCsinBcos33 ( 2 3 B) sinB3 ( 1 2cosB 3 2 sinB) sin. (B 6) 因为 0B， 2 3 所以 B ， 6 6 5 6 当 B ，即 B 时，sinBcosC 取得最大值为 1. 6 2 3 3 【注】 本例突出训练运用公式 acosb
7、sinsin()，注意三角形中角的范a2b2 围 考向 三角恒等变形与解三角形 例 2 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsinAacos. (B 6) (1) 求角 B 的大小； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2) 设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值 解析 ： (1) 在ABC 中，由正弦定理，可得 bsinAasinB，又由 bsinAacos a sinA b sinB 得 asinBacos， (B 6) (B 6) 即 sinBcos(B )，可得 tanB. 6 3 又因为 B(0，)，可得 B . 3 (2) 在AB
8、C 中，由余弦定理及 a2，c3，B ， 3 得 b2a2c22accosB7，故 b . 7 由 bsinAacos，可得 sinA. (B 6) 3 7 因为 ac，故 cosA， 2 7 所以 sin2A2sinAcosA， 4 3 7 cos2A2cos2A1 ， 1 7 所以 sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB . 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin(AC)8sin2. B 2 (1) 求 cosB； (2) 若 ac6，ABC 面积为 2，求 b 值 解析：(1) 方法一：由题设及
9、ABC， sinB8sin2，故 sinB4(1cosB)， B 2 上式两边平方，整理得 17cos2B32cosB150，解得 cosB1(舍去)，cosB. 15 17 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 方法二：由题设及 ABC，sinB8sin2，所以 2sin cos 8sin2. B 2 B 2 B 2 B 2 又 sin 0，所以 tan ， B 2 B 2 1 4 cosB. 1tan2B 2 1tan2B 2 15 17 (2) 由 cosB得 sinB， 15 17 8 17 故 SABC acsinBac. 1 2 4 17 又 SABC2，则 ac， 17 2
10、 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)362 17 2 4，所以 b2. (1 15 17) 【注】 本例突出两角和与差及二倍角公式在解三角形中的应用. 考向 三角形中的最值问题 例 3 已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosCasinCbc0.3 (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a2，ABC 的面积为，求 b，c 的值；3 (3) 若 a2，求ABC 的面积的最大值 解析：(1) 根据正弦定理2R，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC. a sinA b sinB c sinC 因为 acos
11、CasinCbc0，3 所以(2RsinA)cosC(2RsinA)sinC2RsinB2RsinC0，3 即 sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.3 由三角形内角和定理得 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 代入式得 sinAcosCsinAsinCsinAcosCcosAsinCsinC0，3 化简得sinAsinCcosAsinCsinC.3 因为 sinC0，所以sinAcosA1，3 即 sin ， (A 6) 1 2 而 0A， A ， 6 6 5 6 从而 A ，解得 A . 6 6 3 (2) 若
12、 a2，ABC 的面积为 . 3 又由(1)得 A ， 3 则 1 2bcsin 3 3， b2c22bccos 3a 24，) 化简得 bc4， b2c28，) 解得 b2，c2. (3) 方法一：因为 a2b2c22bccosA， 所以 4b2c2bc2bcbcbc， 所以 S bcsinAbc(当且仅当 bc 时取等号) 1 2 3 4 3 方法二：由正弦定理得， a sinA b sinB c sinC b sinB c sinC 2 sin 3 4 3 所以 bsinB，csinC， 4 3 4 3 所以 S bcsinA bcsin bc 1 2 1 2 3 3 4 sinBsin
13、C 3 4 4 3 4 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 sinBsinCsinBsin 4 3 4 3 (B 3) ( sin2BsinBcosB) 4 3 1 2 3 2 sin. 2 3 (2B 6) 1 3 因为 B，所以 2B . (0， 2 3) 6 ( 6， 7 6) 当 2B ，即 B 时，Smax. 6 2 3 3 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(b2c2a2)tanAbc.3 (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a2，求ABC 面积 S 的最大值 解析：(1) 由已知得(b2c2a2)bc. sinA cosA 3
14、 又由余弦定理 cosA， b2c2a2 2bc 所以 sinA. 3 2 又ABC 是锐角三角形，所以 A . 3 (2) 将 A ，a2 代入(b2c2a2)bc 得 b2c2bc4. 3 sinA cosA 3 因为 b2c22bc，所以 bc42bc 即 bc4，当且仅当 bc2 时取等号 所以 SABC bcsinAbc， 1 2 3 4 3 所以ABC 面积的最大值为 . 3 【注】 本例重点学习三角形面积最值的两种处理方法：(1) 由余弦定理及基本不等式 求最值； (2) 由正弦定理化归成同名同角三角函数求最值，注意角的范围 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【变式题】
15、 在例 3(3)中求ABC 周长的取值范围 解析：由(3)的方法二知 bcabc2sinBsinC2 4 3 4 3 (sinBsinC)2 4 3 2 4 3sinBsin(B 3) 4sin2. (B 6) 因为 B， (0， 2 3) 所以 B ， 6 ( 6， 5 6) 所以 4sin2(4，6， (B 6) 所以ABC 的周长的取值范围为(4，6 自测反馈 1. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos2，则ABC 的 B 2 ac 2c 形状为_直角三角形_ 解析 ： 因为 cos2， 所以， 解得 cosB ， 由余弦定理得 B 2 ac 2c 1co
16、sB 2 ac 2c a c a2c2b2 2ac ，所以 a2c2b22a2，即 a2b2c2，所以ABC 为直角三角形 a c 2. 已知a， b， c分别为ABC的三个内角A， B， C的对边， a2且(2b)(sinAsinB)(c b)sinC，则ABC 面积的最大值为_3 解析：由 a2 且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，即(ab)(sinAsinB)(cb)sinC， 由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c， 所以 b2c2a2bc， 故 cosA ，所以 A60， b2c2a2 2bc 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 b2c24bc，4b2
17、c2bcbc，当且仅当 bc2 时取等号， 所以 SABC bcsinA. 1 2 3 3. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，则角 B 的 cosB cosC b 2ac 大小为_ 2 3 解析：由题意及正弦定理可知，整理得 2sinAcosB b 2ac sinB 2sinAsinC cosB cosC sin(BC)sinA.因为 sinA0，所以 cosB .又因为 B(0，)，所以 B. 1 2 2 3 4. 如图， 在ABC 中， ABC90， AB， BC1， P 为ABC 内一点， BPC90.3 (1) 若 PB ，则 PA_； 1 2 7 2 (
18、2) 若APB150，则 tanPBA_. 3 4 解析 ： (1) 由已知得PBC60， 所以PBA30.在PBA 中， 由余弦定理得 PA23 2 cos30 ，故 PA. 1 4 3 1 2 7 4 7 2 (2) 设PBA， 由已知得 PBsin， 在PBA 中， 由正弦定理得 3 sin150 ， 化简得cos4sin，所以 tan，即 tanPBA. sin sin（30） 3 3 4 3 4 1. 解综合题要观察每个已知条件的特点，找到它们的联系，这是解题的关键 2. 恒等变形是基本功，变形的方向是关键，能在三角形这一特定背景下研究三角恒等 变形，会借助于正余弦定理统一的化成边或角 3. 一般地， 能用正弦定理解的三角形问题， 也可用余弦定理去解 在具体的解题过程中， 可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式 4. 三角形中范围或最值问题有两种处理方法：用正弦定理转化成函数求范围，注意 三角形中角的范围 ； 用余弦定理建立等量关系，再用基本不等式求最值注意使用基本不 等式的条件想一想具体题目如何选择？ 5. 你还有哪些体悟，写下来： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印