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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 85 课综合法与分析法 了解三种证明方法 ： 分析法、综合法和反证法的思考过程和特点，会用分析法、综合法和反 证法证明一些简单的数学命题. 1. 阅读：文科：选修 12 第 4651 页；理科：选修 22 第 8287 页. 2. 解悟：分析法、综合法的思考过程和特点分别是什么？这两种证明方法有什么不同之 处？反证法证明的一般步骤是什么？试举例说明. 3. 践习：文科完成教材选修 12 第 48 页练习第 1、4 题；理科完成教材选修 22 第 84 页练 习第 1、4 题. 基础诊断 1. 用反证法证明命题“a，bR，ab 可以被 5 整除，那
2、么 a，b 中至少有一个能被 5 整 除” ，那么假设的内容是 a，b 都不能被 5 整除 . 2. 求证：lg alg blg c. ab 2 bc 2 ca 2 解析：方法一：要证 lglglglgalgblgc， ab 2 bc 2 ca 2 只需证 lglg. ( ab 2 bc 2 ca 2) (abc) 因为 a，b，c0， 所以只需证abc，由基本不等式得， ab 2 bc 2 ca 2 ab 2 ab bc 2 bc ca 2 ac 把三个式子左边、右边分别相乘，得 abc. ab 2 bc 2 ca 2 又 a，b，c 不全相等， 所以abc 成立， ab 2 bc 2 ca
3、 2 所以原不等式 lglglglgalgblgc 成立. ab 2 bc 2 ca 2 方法二 ： 因为 a， b， c 是不全相等的正数， 由基本不等式得， ab 2 ab bc 2 bc ca 2 ，ac 把三个式子左边、右边分别相乘，得 abc. ab 2 bc 2 ca 2 又 a，b，c 不全相等， 所以abc0， ab 2 bc 2 ca 2 两边同时取对数，得 lglg， ( ab 2 bc 2 ca 2) (abc) 所以 lglglglgalgblgc. ab 2 bc 2 ca 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知 a0，求证：a 2.a2 1 a2 2
4、1 a 解析：要证a 2，只需要证2a .a2 1 a2 2 1 a a2 1 a2 1 a 2 因为 a0，故只需要证， ( a2 1 a22) 2 (a 1 a 2) 2 即 a2 44a22 22， 1 a2 a2 1 a2 1 a2 2(a1 a) 从而只需要证 2，a2 1 a2 2(a1 a) 只需要证 42， (a 21 a2) (a 221 a2) 即 a2 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 1 a2 考向 用反证法证明命题 例 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2. (1) 求数列an的通项公式； (2) 求证：数列an中不存在三项按原来顺序成
5、等差数列. 解析：(1) 当 n1 时，a1S12a12， 则 a11. 又 anSn2，所以 an1Sn12， 两式相减得 an1 an，所以an是首项为 1，公比为 的等比数列，所以 an. 1 2 1 2 1 2n1 (2) 反证法 ： 假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为 ap1， aq1， ar1(pqr， 且 p， q， rN*)，则 2 ， 1 2q 1 2p 1 2r 所以 22rq2rp1. 因为 pqr，所以 rq，rpN*， 所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以假设不成立，原命题得证. 设数列an是公比为 q 的
6、等比数列. (1) 推导an的前 n 项和公式； (2) 设 q1，求证：数列an1不是等比数列. 解析：(1) 设an的前 n 项和为 Sn，则 Sna1a2an. 因为数列an是公比为 q 的等比数列，所以当 q1 时，Sna1a1a1na1. 当 q1 时， Sna1a1qa1q2a1qn1， qSna1qa1q2a1qn， 得(1q)Sna1a1qn， 所以 Sn. a1（1qn） 1q 综上所述，Sn na1， q1， a1（1qn） 1q ， q 1.) (2) 假设数列an1是等比数列，则对任意的 kN*， (ak11)2(ak1)(ak21)，即 a2ak11akak2akak
7、21， 2k1 a q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1. 2 1 因为 a10，所以 2qkqk1qk1. 因为 q0，所以 q22q10， 所以 q1，这与已知矛盾， 所以假设不成立，故数列an1不是等比数列. 自测反馈 1. 已知 a，b，c 成等差数列，且公差 d0，求证： ， 不可能成等差数列. 1 a 1 b 1 c 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac.假设 ， 成等差数列，则 ， 1 a 1 b 1 c 2 b 1 a 1 c 所以 b(ac)2ac， 所以(ac)24ac， 所以(ac)20， 所以
8、 ac， 所以 d0， 这与题设 d0 矛盾， 所以 ， 不可能成等差数列. 1 a 1 b 1 c 2. 求证：. cosx 1sinx 1sinx cosx 解析：方法一：由题意知，x 的终边不在 y 轴上. 要证， cosx 1sinx 1sinx cosx 只需证 cos2x(1sinx)(1sinx)1sin2x， 只需证 sin2xcos2x1，这个式子显然成立，故原式成立. 方法二：由题意知，x 的终边不在 y 轴上. 因为 sin2xcos2x1， 所以 cos2x1sin2x(1sinx)(1sinx). 因为 x 的终边不在 y 轴上， 所以 cosx0，1sinx0， 将
9、式左、右两端同时除以 cosx(1sinx)， 得. cosx 1sinx 1sinx cosx 3. ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，求证：(ab)1(bc)13(abc)1. 解析：要证(ab)1(bc)13(abc)1， 即证， 1 ab 1 bc 3 abc 即证3， abc ab abc bc 即证1，需证 c2a2acb2. c ab a bc 因为ABC 的内角 A，B，C 成等差数列， 所以 2BAC. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 ABC，所以 B .由余弦定理，得 3 b2a2c22accos a2c2ac， 3 所以 c2a2acb2成立， 所以(ab)1(bc)13(abc)1成立. 1. 综合法一般从条件出发，“由因导果” ； 分析法一般紧抓证题目标，“执果索因”. 2. 反证法就是一种常用的间接证明方法.反证法的实质在于：若肯定命题的假设而否定 其结论，则会导致矛盾，从而命题成立. 3. 你还有哪些体悟，写下来：