《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第12课 特征值与特征向量 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第12课 特征值与特征向量 Word版含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 12 课_特征值与特征向量_ 1. 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义 2. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形) 3. 会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题. 1. 阅读：选修 42 第 6673 页. 2. 解悟 ： 从几何观点分析， 特征向量的方向经过变换矩阵 A 的作用后， 保持在同一直线上， 当 0 时，方向不变；当 0 时，方向相反；当 0 时，特征向量就被变换成零向量 对于一个二阶矩阵 A， 不是对任意的一个非零向量 a 都存在一个实数 使 A.若向量 是属于 的特征向量，则 k(k0)也是属于
2、 的特征向量，即特征向量不唯一，但均为共线 向量若特征多项式 f()0 无解，则矩阵无特征值 3. 践习：在教材空白处，完成第 73 页习题第 1、3 题. 基础诊断 1. 求矩阵 M的特征值和特征向量 1 2 5 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2. 已知二阶矩阵 A 有特征值 11 及对应的一个特征向量 e1和特征值 22 及对 1 1 应的一个特征向量 e2，试求矩阵 A. 1 0 范例导航 考向 运用特征值与特征向量的定义 例 1 已知 x，yR，向量 a是矩阵 A的属于特征值2 的一个特征 1 1 x 1 y 0 向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值 高清试卷
3、下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知矩阵 M有特征值 14 及其对应的一个特征向量 1. 1 b c 2 2 3 (1) 求矩阵 M； (2) 求曲线 5x28xy4y21 在矩阵 M 对应的变换作用下的新曲线方程 考向 多次变换求法 例 2 给定矩阵 M及向量 . 2 5 6 1 2 9 (1) 求 M 的特征值及对应的特征向量； (2) 确定实数 a，b 使向量 可表示为 ae1be2； (3) 利用(2)中表达式间接计算 M3，Mn. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知向量 e1是二阶矩阵 M的属于特征值 12 的一个特征向量 1 1 a 1 0 b (1) 求矩阵 M；
4、 (2) 求 ，求 M10. 2 1 自测反馈 1. 已知二阶矩阵 M 的特征值 1 及对应的一个特征向量 e，且 M，求 1 1 1 1 3 1 矩阵 M. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2. 已知 M，试计算 M20. 12 21 3 1 1. 运用定义求特征值与特征向量时，不同的特征值对应的特征向量不相等；矩阵的特 征向量是在矩阵变换下的不变量 2. 变换的几何意义：只改变特征向量的长度不改变方向 3. 你还有哪些体悟，写下来： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 12 课 特征值与特征向量 基础诊断 1. 解析：矩阵 M 的特征值 满足方程 f()(1)(3)
5、(2)0，即 2280， | 1 2 5 2 3|( 5 2) 解得矩阵 M 的两个特征值为 14，22. 将 14 代入二元一次方程组得矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特 （1）x2y0， 5 2x（3）y0，) 征向量为. 2 5 将 22 代入二元一次方程组得矩阵 M 的属于特征值2 的一 （1）x2y0， 5 2x（3）y0，) 个特征向量为. 2 1 综上所述， 14， 22， 属于特征值 14 的一个特征向量为， 属于特征值 22 2 5 的一个特征向量为. 2 1 2. 解析：设矩阵 A，a，b，c，dR. a b c d 因为 e1是矩阵 A 的属于 11 的特征向量， 1
6、1 则. 1a b c 1d 1 1 0 0 因为 e2是矩阵 A 的属于 22 的特征向量，则. 1 0 2a b c 2d 1 0 0 0 根据，则有解得 1ab0， c1d0， 2a0， c0， ) a2， b1， c0， d1，) 所以 A. 2 1 01 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 范例导航 例 1 解析：由已知得 A2， 即， x 1 y 0 1 1 x1 y 2 2 则即 x12， y2，) x1， y2，) 所以矩阵 A， 1 1 20 所以矩阵 A 的特征多项式 f()(2)(1)， 令 f()0，解得 A 的特征值为 12，21， 所以矩阵 A，它的另一个特
7、征值为 1. 1 1 20 解析：(1) 由已知得4， 1 b c 2 2 3 2 3 则，即解得 23b 2c6 8 12 23b8， 2c612，) b2， c3，) 所以 M. 1 2 3 2 (2) 设曲线 5x28xy4y21 上的任意一点 P(x，y)，点 P 在矩阵 M 对应的变换作用下 得到点 P(x，y)，则， x y 1 2 3 2 x y 即解得 xx2y， y3x2y，) xyx 2 ， y3xy 4 .) 代入 5x28xy4y21，得 x2y22， 即曲线 5x28xy4y21 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的新曲线的方程是 x2y22. 例 2 解析：(1) 矩
8、阵 M 的特征多项式为 f()(4)(7)， | 2 5 6 1| 令 f()0，解得矩阵 A 的特征值为 14，27. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当14时，设对应的特征向量为，则它满足方程组则可取e1 x y （2）x5y0， 6x（1）y0，) 为 14 的一个特征向量 5 6 同理可得 27 的一个特征向量为 e2. 1 1 综上所述，M 的特征值为 14，27. 14 对应的一个特征向量为 e1， 5 6 27 对应的一个特征向量为 e2. 1 1 (2) 由 aae1be2得5ab2， 6ab9，) 解得a1， b3，) 故当 a1，b3 时，向量 可表示为 e13
9、e2. (3) M3 e13 e2641 029. 3 13 2 5 6 1 1 1 349 645 Mn e13 e2(4)n37n n 1n 2 5 6 1 1 5 （4）n 6 （4）n 3 7n 3 7n . 5 （4）n3 7n 6 （4）n3 7n 解析：(1) 由题意得2，即 a 1 0 b 1 1 1 1 a12， b2，) 解得故矩阵 M. a1， b2，) 1 1 0 2 (2) 由(1)可知 M， 则求出其另一个特征值为 1， 其对应的一个特征向量为 e2. 1 1 0 2 1 0 又， 令me1ne2， 可解得m1， n1， 即e1e2， 故M10M10e1M10e2210 2 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 110. 1 1 1 0 2101 2100 1 025 1 024 自测反馈 1. 解析：设 M，则由，再由， a b c d a b c d 1 1 1 1 a b c d 1 1 3 1 易得 a2，b1，c0，d1，故 M. 2 1 0 1 2. 解析 ： 令矩阵 M 的特征多项式 f()(1)240，得 13，21，对应的一个 特征向量分别为和，而 2， 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 M203202(1)20. 1 1 1 1 3202 3202