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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 随堂巩固训练(73) 1. 如果过球的球心的截面圆的面积扩大为原来的4倍， 那么球的体积扩大为原来的 8 倍. 解析：根据球的体积公式可知，球的体积扩大为原来的 8 倍 2. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是 . 3 3 解析 ： 由题意可知，圆锥的底面周长为 2，则底面半径为 1，圆锥的高为，所以圆锥3 的体积为 12. 1 3 3 3 3 3. 已知正四棱锥的侧棱长为 2， 侧棱与底面所成的角为 60， 则该棱锥的体积为 6 .3 解析：由题意得正四棱锥的高 h2sin603，底面正方形的对角线长为 2，所以33 底面积
2、 S2 26，所以体积 V 636. 1 2 33 1 3 4. 已知圆锥的高为 4，母线长为 5，则该圆锥侧面展开图的中心角为 ，侧面积 6 5 为 15 . 解析：因为圆锥的高为 4，母线长为 5，所以圆锥的底面半径为 3，则底面周长为 6， 所以中心角为，侧面积为 6515 6 5 1 2 5. 底面边长为 2m，高为 1m 的正三棱锥的表面积为 3 m2.3 解析：如图，在正三棱锥 SABC 中，D 为顶点 S 在底面 BCA 内的射影，则 D 为正三角 形 ABC 的垂心， 过点 C作 CHAB于点 H， 连结 SH， 则 SDHC且 HD CH.在 1 3 3 3 RtSHD中，S
3、H，则 SSAB ABSH，SABCSD2HD2 2 3 3 1 2 2 3 3 3 4 AB2， 所以 S表面积SABC3SSAB3(m2).33 6. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积 相等，且 ，则的值是 . S1 S2 9 4 V1 V2 3 2 解析 ： 设甲、乙两圆柱的底面半径和高分别为 r1，r2和 h1，h2，则 .因为侧面积相等， r1 r2 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 ，所以 . h1 h2 2 3 V1 V2 rh1 rh2 3 2 7. 如图， 正方形 ABCD 的边长为 a， E， F 分
4、别是边 AB， BC 的中点， 沿 DE， EF， FD 将DAE，EBF，FCD 折起来，使 A，B，C 三点重合于点 S，则 三棱锥 SDEF 的外接球的体积为 . 6a 3 8 解析 ： 由题意图形折叠为三棱锥，且由点 S 出发的三条棱两两垂直，SDa，SESF ， 以 SD， SE， SF 为边补成长方体， 则长方体的对角线即为球的直径， 2ra， r a 2 a2a 2 4 a 2 4 6 2 a，外接球的体积为 V r3. 6 4 4 3 6a 3 8 8. 圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半
5、径是 4 cm. 解析：设球的半径为 r，则 V水8r2，V球3 r34r3.放入球后，水面高为 6r， 4 3 则 r26r8r24r3，解得 r4. 9. 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ADB 的 面积分别为， ， ，则该三棱锥的体积为 . 2 2 3 2 6 2 6 6 解析 ： 由题意得 ABAC， ADAC， ABAD，所以 AB 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 6 2 ， AC1， AD，所以 V ADSABC.23 1 3 6 6 10. 如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 a， A1AB A1AC60，则其全面积为
6、 a2 . ( 3 3 2 1) 解析：因为在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，A1ABA1AC60， 所以 A1A 在平面 ABC 内的射影是BAC 的平分线. 作 A1H平面 ABC，延长 AH 交 BC 于点 D， 因为ABC 是边长为 a 的等边三角形， 所以 ADBC. 因为 A1HBC，ADA1HH， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 BC平面 AA1H. 因为 AA1平面 AA1H，所以 AA1BC. 因为 AA1BB1，所以 BB1BC， 因此四边形 BB1C1C 是矩形， 所以 S 矩形 BB1C1Ca2. 连结 A1B，则AA1B 是正三角形， 所以 S 四边
7、形 ABB1A1a22a2. 3 4 3 2 同理 S 四边形 AA1C1Ca2. 3 2 又 S底a2，所以 S全a2a22a22a2. 3 4 3 2 3 4( 3 3 2 1) 11. 一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3cm 和 6cm， 高是 cm. 3 2 (1) 求三棱台的斜高； (2) 求三棱台的侧面积和表面积. 解析：(1) 设 O1，O 分别为正三棱台 ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的重心，如图 所示，则 O1O .过点 O1，O，分别作 O1D1B1C1，ODBC，垂足分别为 D1，D，则 D1D 3 2 为三棱台的斜高.过点 D1作 D1EAD，垂足为 E，则
8、 D1EO1O . 3 2 因为 O1D1 ，OD 3， 1 3 3 3 2 3 2 1 3 33 则 DEODO1D1.3 3 2 3 2 在 RtD1ED 中， D1D.D1E2ED2 ( 3 2) 2 ( 3 2) 3 故三棱台的斜高为cm.3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2) 设 c，c分别为上、下底面的周长，h为斜高， S侧 (cc)h (3336)(cm2)， 1 2 1 2 3 27 3 2 S表S侧S上S下3262(cm2). 27 3 2 3 4 3 4 99 3 4 故三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2. 27 3 2 99 3 4 12. 在直角梯形
9、 ABCD 中，ABCD，AB2BC4，CD3，E 为 AB 的中点，过点 E 作 EFCD，垂足为 F(如图 1)，将此梯形沿 EF 折成一个直二面角 AEFC(如图 2). (1) 求证：BF平面 ACD； (2) 求多面体 ADFCBE 的体积. 图 1 图 2 解析：(1) 连结 EC，交 BF 于点 O，取 AC 的中点 P， 连结 PO，PD，可得 POAE，且 PO AE. 1 2 因为 DFAE，且 DF AE， 1 2 所以 DFPO，且 DFPO， 所以四边形 DPOF 为平行四边形， 所以 FOPD，即 BFPD. 又 PD平面 ACD，BF平面 ACD， 所以 BF平面
10、 ACD. (2) 因为二面角 AEFC 是直二面角，且 AEEF， 所以 AE平面 BCFE. 又 BC平面 BCFE，所以 AEBC. 又 BCBE，BEAEE，BE，AE平面 AEB， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 BC平面 AEB， 所以 BC 是三棱锥 CABE 的高. 同理可证 CF 是四棱锥 CAEFD 的高， 所 以 多 面 体 ADFCBE 的 体 积 V VCABE VCAEFD 222 (1 1 3 1 2 1 3 1 2 2)22. 10 3 13. 如图，A1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周 上异于 A，B 两点的任意一点
11、，A1AAB2. (1) 求证：BC平面 A1AC； (2) 求三棱锥 A1ABC 体积的最大值. 解析：(1) 因为 C 是底面圆周上异于 A，B 两点的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径， 所以 BCAC. 因为 AA1平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 AA1BC. 因为 AA1ACA，AA1，AC平面 AA1C， 所以 BC平面 AA1C. (2) 设 ACx(0x2)，则在 RtACB 中， BC，4x2 故 VA1ABC SABCAA1 ACBCAA1 x 1 3 1 3 1 2 1 3 4x2 (0x2). 1 3 （x22）24 因为 0x2，所以 0x24， 所以当 x22，即 x时，三棱锥 A1ABC 的体积最大，其最大值为 .2 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印