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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 8 讲 二项分布与正态分布讲 二项分布与正态分布 一、选择题 1.(2014全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概 率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随 后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解析 记事件 A 表示“一天的空气质量为优良” ，事件 B 表示“随后一天的空 气质量为优良” ， P(A)0.75， P(AB)0.6.由条件概率， 得 P(B|A) P（AB） P（A） 0.6 0.75 0.8. 答案 A 2.(201
2、7衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) A. B. C. D. 1 8 3 8 5 8 7 8 解析 三次均反面朝上的概率是 ，所以至少一次正面朝上的概率是 1 ( 1 2) 3 1 8 . 1 8 7 8 答案 D 3.(2016青岛一模)设随机变量X服从正态分布N(1，2)， 则函数f(x)x22xX 不存在零点的概率为( ) A. B. C. D. 1 4 1 3 1 2 2 3 解析 函数 f(x)x22xX 不存在零点， 44X1， XN(1， 2)，P(X1) ，故选 C. 1 2 答案 C 4.(2017武昌区模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A
3、和B， 系统A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p，若在任意时刻恰有一个系 1 8 统不发生故障的概率为，则 p( ) 9 40 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. C. D. 1 10 2 15 1 6 1 5 解析 由题意得 (1p)p，p，故选 B. 1 8(1 1 8) 9 40 2 15 答案 B 5.(2016天津南开调研)一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每 次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12)等于( ) A.C B.C 1012(3 8) 10 ( 5 8) 2
4、9 12(3 8) 9 ( 5 8) 2 3 8 C.C D.C 9 11(5 8) 2 ( 3 8) 2 9 11(3 8) 10 ( 5 8) 2 解析 由题意知第 12 次取到红球，前 11 次中恰有 9 次红球 2 次白球，由于每 次取到红球的概率为 ， 3 8 所以 P(X12)C . 9 11(3 8) 9 ( 5 8) 2 3 8 答案 D 二、填空题 6.有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随 机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_. 解析 设种子发芽为事件 A，种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗). 依题意 P(B|A)0.
5、8，P(A)0.9. 根据条件概率公式 P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为 幼苗的概率为 0.72. 答案 0.72 7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800， 502)的随机变量， 记一天中从甲地去乙地的旅客人数800X900的概率为p0， 则p0_. 解析 由 XN(800，502)，知 800，50， 又 P(700X900)0.954 4， 则 P(800X900) 0.954 40.477 2. 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 0.477 2 8.设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB(3，p)，若
6、 P(X1) ，则 P(Y1) 5 9 _. 解析 XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C (1p)2 ，解得 p . 0 2 5 9 1 3 又 YB(3，p)，P(Y1)1P(Y0)1C (1p)3. 0 3 19 27 答案 19 27 三、解答题 9.(2015湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽 奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白 球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一 等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (
7、2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X， 求 X 的分布列. 解 (1)记事件 A1为“从甲箱中摸出的 1 个球是红球” ， A2为“从乙箱中摸出的 1 个球是红球” ， B 为“顾客抽奖 1 次能获奖” ， 则表示“顾客抽奖 1 次没有获奖”. B 由题意 A1与 A2相互独立，则 1与2相互独立，且 12， AABAA 因为 P(A1) ，P(A2) ， 4 10 2 5 5 10 1 2 所以 P()P( 12) ，BAA (1 2 5) (1 1 2) 3 10 故所求事件的概率 P(B)1P()1.B 3 10 7 10 (2)设“顾客抽奖一次获
8、得一等奖”为事件 C， 由 P(C)P(A1A2) P(A1)P(A2) ， 1 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，则 XB， (3， 1 5) 于是 P(X0)C， 0 3(1 5) 0 ( 4 5) 3 64 125 P(X1)C， 1 3(1 5) 1 ( 4 5) 2 48 125 P(X2)C， 2 3(1 5) 2 ( 4 5) 1 12 125 P(X3)C. 3 3(1 5) 3 ( 4 5) 0 1 125 故 X 的分布列为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 10.挑选空军飞行员可
9、以说是“万里挑一” ，要想通过需要五关：目测、初检、 复检、 文考(文化考试)、 政审.若某校甲、 乙、 丙三位同学都顺利通过了前两关， 根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是 0.5，0.6，0.75，能通 过文考关的概率分别是 0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政 审关，若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的分布列. 解 (1)设 A，B，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检” ，则所求概率 PP(A ) P(B) P( C) 0.5(1 0.6) (1 0
10、.75) (1BCACAB 0.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275. (2)甲被录取的概率为 P甲0.50.60.3，同理 P乙0.60.50.3，P丙 0.750.40.3. 甲、 乙、 丙每位同学被录取的概率均为 0.3， 故可看成是独立重复试验， 即 X B(3，0.3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，其中 P(Xk)C (0.3)k(10.3)3k. k3 故 P(X0)C 0.30(10.3)30.343， 0 3 P(X1)C 0.3(10.3)20.441， 1 3 P(X2)C 0.32(10.3)0.189， 2 3 P(X3)C 0.33
11、0.027， 3 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 X 的分布列为 X0123 P0.3430.4410.1890.027 11.(2016郑州二模)先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别 为 x， y， 设事件 A 为 “xy 为偶数” ， 事件 B 为 “xy” ， 则概率 P(B|A)( ) A. B. C. D. 1 2 1 4 1 3 2 3 解析 若 xy 为偶数， 则 x， y 两数均为奇数或均为偶数.故 P(A)2 3 3 6 6 ， 又A， B同时发生， 基本事件一共有233612个， P(AB) 1 2 12 6 6 ，P(B|A) . 1
12、3 P（AB） P（A） 1 3 1 2 2 3 答案 D 12.(2017长沙模拟)排球比赛的规则是 5 局 3 胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜 的概率都为 ，前 2 局中乙队以 20 领先，则最后乙队获胜的概率是( ) 2 3 A. B. C. D. 4 9 8 27 19 27 40 81 解析 乙队 30 获胜的概率为 ， 乙队 31 获胜的概率为 ， 乙队 32 1 3 2 3 1 3 2 9 获胜的概率为 .最后乙队获胜的概率为 P ， 故选 C. ( 2 3) 2 1 3 4 27 1 3 2 9 4 27 19 27 答案 C 13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而
13、成， 元件 1 或元件 2 正常工 作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位： 小时)均服从正态分布 N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那 么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为_. 解析 设元件 1，2，3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A，B，C， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 显然P(A)P(B)P(C) ， 该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB 1 2 ABAB)C， 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P . ( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2) 1
14、 2 3 8 答案 3 8 14.(2016山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、 乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星对”得 3 分；如 果只有一人猜对，则“星对”得 1 分 ； 如果两人都没猜对，则“星对”得 0 分. 已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对 3 4 2 3 与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列. 解 (1)记事件 A：“甲第一轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜对” ， 记事件 C：“甲第
15、二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ， 记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”. 由题意，EABCDBCDACDABDABC.ABCD 由事件的独立性与互斥性，得 P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)ABCD P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)A P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)BC P(A)P(B)P(C)P()2D 3 4 2 3 3 4 2 3 . ( 1 4 2 3 3 4 2 3 3 4 1 3 3 4 2 3) 2 3 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 . 2 3 (2)由题
16、意，随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 P(X0) ， 1 4 1 3 1 4 1 3 1 144 P(X1)2， ( 3 4 1 3 1 4 1 3 1 4 2 3 1 4 1 3) 10 144 5 72 P(X2) ， 3 4 1 3 3 4 1 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 25 144 P(X3) ， 3 4 2 3 1 4 1 3 1 4 1 3 3 4 2 3 12 144 1 12 P(X4)2， ( 3 4 2 3 3 4 1 3 3 4 2 3 1 4 2 3) 60 144 5 12 P(X6) . 3 4 2 3 3 4 2 3 36 144 1 4 可得随机变量 X 的分布列为 X012346 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4