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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 空间几何体的表面积与体积讲 空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的 数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八 尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为 ： “在屋内墙角 处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的 弧长为 8 尺， 米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知1 斛米的体积约为1.62立方尺， 圆周率约为3， 估算出堆放的米约有( ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 解析 设米堆的底面半径为 r 尺，则
2、r8，所以 r. 2 16 所以米堆的体积为 V r255(立方尺). 1 4 1 3 12( 16 ) 2 320 9 故堆放的米约有1.6222(斛). 320 9 答案 B 2.某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是 ( ) A.2 B. C. D.3 9 2 3 2 解析 由三视图知， 该几何体是四棱锥， 底面是直角梯形， 且 S底 (12)2 1 2 3.V x33，解得 x3. 1 3 答案 D 3.(2017合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示， 则该四面体的表面积是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.1 B.2 C.1
3、2 D.23322 解析 四面体的直观图如图所示. 侧面SAC底面ABC， 且SAC与ABC均为腰长是的等腰2 直角三角形， SASCABBC，AC2.2 设 AC 的中点为 O， 连接 SO， BO， 则 SOAC， 又 SO平面 SAC， 平面 SAC平面 ABCAC， SO平面 ABC，又 BO平面 ABC，SOBO. 又 OSOB1，SB，2 故SAB 与SBC 均是边长为的正三角形， 故该四面体的表面积为 2 2 1 2 2 2()22.2 3 4 23 答案 B 4.(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球 面上的动点.若三棱锥 OABC 体积
4、的最大值为 36， 则球 O 的表面积为( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 因为AOB 的面积为定值， 所以当 OC 垂直于平面 AOB 时， 三棱锥 O ABC 的体积取得最大值.由 R2R36， 得 R6.从而球 O 的表面积 S4 1 3 1 2 R2144. 答案 C 5.(2017青岛模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为平 行四边形，NB2PN，则三棱锥 NPAC 与三棱锥 DPAC 的 体积比为( ) A.12 B.18 C.16 D.13 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P，N，则PP
5、平面ABCD，NN 平面 ABCD，所以 PPNN， 则在BPP中，由 BN2PN 得 . NN PP 2 3 V三棱锥 NPACV三棱锥 PABCV三棱锥 NABC SABCPP SABCNN 1 3 1 3 SABC(PPNN) SABC PP 1 3 1 3 1 3 SABCPP，V三棱锥 DPACV三棱锥 PACD SACDPP， 1 9 1 3 又四边形 ABCD 是平行四边形，SABCSACD， .故选 D. V三棱锥NPAC V三棱锥DPAC 1 3 答案 D 二、填空题 6.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆 柱各一个.若将它们重新
6、制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新 的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_. 解析 设新的底面半径为 r， 由题意得 r24r28 52422 1 3 1 3 8，解得 r . 7 答案 7 7.已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则2 该球的体积为_. 解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R， 则 2R2，1212（ 2）2 解得 R1，所以 VR3. 4 3 4 3 答案 4 3 8.(2017郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由三视图可知， 该
7、几何体是一个底面半径为1， 高为2 的圆柱和底面半径为 1，高为 1 的半圆锥拼成的组合体. 体积 V122 121. 1 2 1 3 13 6 答案 13 6 三、解答题 9.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积； (2)如果点 P，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几 何体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长. 解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体， 其表面积 是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. S圆锥侧 (2a)(a)a2， 1 2 22 S圆柱侧(2a)(2a)4a2， S圆柱底a2， 所
8、以 S表a24a2a2(5)a2.22 (2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 PQa，AP2AQ2a2（a）212 所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 a.12 10.(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC 10， AA18， 点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4. 过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正 方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形
9、EHGF 如图所示. (2)如图，作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10. 于是 MH6，AH10，HB6.EH2EM2 故 S 四边形 A1EHA (410)856， 1 2 S 四边形 EB1BH (126)872. 1 2 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为. 9 7( 7 9也正确) 11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形，且其体积为 ，则 1 2 该几何体的俯视图可以是( ) 解析 若俯视图为 A，则该几何体为正方体，其体积为 1，不满足条件.
10、若俯视 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 图为 B，则该几何体为圆柱，其体积为1，不满足条件.若俯视图 ( 1 2) 2 4 为 C， 则该几何体为三棱柱， 其体积为 111 ， 满足条件.若俯视图为 D， 1 2 1 2 则该几何体为圆柱的 ，体积为 1，不满足条件. 1 4 1 4 4 答案 C 12.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1620，则 r( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析 该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球 的半径为 r，圆柱的底面半径为
11、 r，高为 2r，如图. 则表面积 S 4r2r2(2r)2r2r(54)r2， 1 2 又 S1620，(54)r21620，解得 r2. 答案 B 13.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半 球(半径为 r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示， 若 r1，则该几何体的体积为_. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 根据三视图中的正视图和俯视图知，该几何体是由一个半径 r1 的半 球，一个底面半径 r1、高 2r2 的 圆锥组成的，则其体积为 V r3 1 4 4 3 1 2 r22r . 1 3 1 4 5 6 答案 5
12、6 14.四面体 ABCD 及其三视图如图所示， 平行于棱 AD， BC 的平面分别交四面体 的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H. (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形. (1)解 由该四面体的三视图可知， BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1， 又 BDDCD，AD平面 BDC， 四面体 ABCD 的体积 V 221 . 1 3 1 2 2 3 (2)证明 BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDCFG， 平面 EFGH平面 ABCEH，BCFG，BCEH， FGEH. 同理，EFAD，HGAD，EFHG， 四边形 EFGH 是平行四边形. 又AD平面 BDC， BC平面 BDC， ADBC， EFFG， 四边形 EFGH 是矩形. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印