《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.5 椭圆 第1课时 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.5 椭圆 第1课时 Word版含解析.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.5 椭 圆 椭 圆 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经 历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 1椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ab0) 1 y2 a2 x2 b
2、2 (ab0) 图形 性质范围 axa byb bxb aya 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率e (0,1) c a a，b，c 的关系a2b2c2 概念方法微思考 1在椭圆的定义中，若 2a|F1F2|或 2a1. x2 0 a2 y2 0 b2 4直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 直线与椭圆的位置关系有三种
3、：相离、相切、相交 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 判断方法为联立直线与椭圆方程，求联立后所得方程的判别式 . (1)直线与椭圆相离0. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)( ) (2)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆( ) (3)1(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) y2 a2 x2 b2 (4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等( ) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 题组
4、二 教材改编 2椭圆1 的焦距为 4，则 m 等于( ) x2 10m y2 m2 A4 B8 C4 或 8 D12 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8. m4 或 8. 3过点 A(3，2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的方程为( ) x2 9 y2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.1 B.1 x2 15 y2 10 x2 25 y2 20 C.1 D.1 x2 10 y2 15 x2 20 y2 15 答案 A 解析 由题意知c25， 可设椭圆方程为1(0)， 则 1
5、， 解得10或 x2 5 y2 9 5 4 2(舍去)， 所求椭圆的方程为1. x2 15 y2 10 4已知点 P 是椭圆 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶点的三角形的 x2 5 y2 4 面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案 或 ( 15 2 ，1) ( 15 2 ，1) 解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1 代入 1，得 x，又 x0，所以 x， x2 5 y2 4 15 2 15 2 所以 P 点坐标为或. ( 15 2 ，1)
6、 ( 15 2 ，1) 题组三 易错自纠 5若方程1 表示椭圆，则 m 的取值范围是( ) x2 5m y2 m3 A(3,5) B(5,3) C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3) 答案 C 解析 由方程表示椭圆知Error! 解得3b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，过 F2的直线 l x2 a2 y2 b2 3 3 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为( )3 A. 1 B. y21 x2 3 y2 2 x2 3 C. 1 D. 1 x2 12 y2 8 x2 12 y2 4 答案 A 解析 AF1B 的周长为 4，4a4，33 a，离
7、心率为，c1，3 3 3 b，椭圆 C 的方程为 1.a2c22 x2 3 y2 2 故选 A. 第第 1 课时 椭圆及其性质课时 椭圆及其性质 题型一 椭圆的定义及应用 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.如图所示， 一圆形纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点， 把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案 A 解析 由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆 2已知ABC 的顶点
8、 B，C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外 x2 3 一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是( ) A2 B6 C4 D1233 答案 C 解析 由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F， 则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|3 |CF|2a， 所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF| |CA|)2a2a4a4 . 3 3椭圆 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个 x2 4 交点为 P，则|PF2|等于( ) A. B. 7 2 3 2 C. D43 答案 A
9、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 F1(，0)，PF1x 轴，3 P，|PF1| ， ( 3， 1 2) 1 2 |PF2|4 . 1 2 7 2 4(2018河北衡水中学调研)设 F1，F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为椭圆上任意 x2 25 y2 16 一点，点 M 的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_ 答案 5 解析 由椭圆的方程可知 F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM| (2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a， 当且仅当 M，P，F2三点共线时取得等号， 又|MF2|5,2a10，632402
10、|PM|PF1|5105， 即|PM|PF1|的最小值为5. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和 离心率等 (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题 题型二 椭圆的标准方程 命题点 1 定义法 例 1 (1)已知 A(1,0)，B 是圆 F：x22xy2110(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平 分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为( ) A.1 B.1 x2 12 y2 11 x2 36 y2 35 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C. 1 D. 1 x2
11、 3 y2 2 x2 3 y2 2 答案 D 解析 由题意得|PA|PB|， |PA|PF|PB|PF|r2|AF|2， 点 P 的轨迹是以 A，3 F 为焦点的椭圆，且 a，c1，b，动点 P 的轨迹方程为 1，故选 D.32 x2 3 y2 2 (2)在ABC 中，A(4,0)，B(4,0)，ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是( ) A. 1(y0) B. 1(y0) x2 25 y2 9 y2 25 x2 9 C. 1(y0) D. 1(y0) x2 16 y2 9 y2 16 x2 9 答案 A 解析 由|AC|BC|188108 知，顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点
12、的椭圆(A，B，C 不 共线)设其方程为1(ab0)，则 a5，c4，从而 b3.由 A，B，C 不共线知 y0. x2 a2 y2 b2 故顶点 C 的轨迹方程是 1(y0) x2 25 y2 9 命题点 2 待定系数法 例 2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆 ( 3 2， 5 2) 35 方程为_ 答案 1 y2 10 x2 6 解析 设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由Error! 解得 m ，n. 1 6 1 10 椭圆方程为 1. y2 10 x2 6 (2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，P
13、(2，)是椭圆上一点，3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_ 答案 1 x2 8 y2 6 解析 椭圆的中心在原点， 焦点F1， F2在x轴上， 可设椭圆方程为1(ab0)， P(2， x2 a2 y2 b2 )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，3 Error!又 a2b2c2， a2，b，c，262 椭圆方程为 1. x2 8 y2 6 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再
14、 定量，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 跟踪训练 1 (1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且椭圆 G 上一 3 2 点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为( ) A. 1 B. 1 x2 36 y2 9 x2 9 y2 36 C. 1 D. 1 x2 4 y2 9 x2 9 y2 4 答案 A 解析 依题意设椭圆 G 的方程为1(ab0)， 椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12， x2 a2 y2 b2 2a12， a6， 椭圆的离心率为， e ， 即 ， 解得 b29， 3 2 c a 1b 2 a2 3 2 1b 2
15、 36 3 2 椭圆 G 的方程为 1，故选 A. x2 36 y2 9 (2)过点(，)，且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为_35 y2 25 x2 9 答案 1 y2 20 x2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同， y2 25 x2 9 其焦点在 y 轴上，且 c225916. 设它的标准方程为1(ab0) y2 a2 x2 b2 c216，且 c2a2b2，故 a2b216. 又点(，)在所求椭圆上，35 1， 5 2 a2 32 b2 即1. 5 a2 3 b2 由得 b24，a220， 所求椭圆的标准方程为 1. y2 20
16、 x2 4 题型三 椭圆的几何性质 命题点 1 求离心率的值(或范围) 例 3 (1)(2018深圳模拟)设椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上 x2 a2 y2 b2 的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 3 6 1 3 1 2 3 3 答案 D 解析 方法一 如图， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在 RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c， |PF1|， 2c cos 30 4 3c 3 |PF2|2ctan 30. 2 3c 3 |PF1|PF2|2a， 即2a，可得ca. 4 3
17、c 3 2 3c 3 3 e . c a 3 3 方法二 (特殊值法)： 在 RtPF2F1中，令|PF2|1， PF1F230，|PF1|2，|F1F2| . 3 e. 2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3 3 (2)椭圆1(ab0)， F1， F2为椭圆的左、 右焦点， O为坐标原点， 点P为椭圆上一点， |OP| x2 a2 y2 b2 a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( ) 2 4 A. B. C. D. 2 4 2 3 6 3 6 4 答案 D 解析 设 P(x，y)，则|OP|2x2y2， a2 8 由椭圆定义得，|PF1|PF2|
18、2a， |PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2， 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， |PF1|PF2|F1F2|24c2， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则|PF1|2|PF2|28c24a2， (xc)2y2(xc)2y28c24a2， 整理得 x2y25c22a2， 即5c22a2，整理得 ， a2 8 c2 a2 3 8 椭圆的离心率 e . c a 6 4 (3)已知椭圆1(abc0， a2b2c2)的左、 右焦点分别为 F1， F2， 若以 F2为圆心， bc x2 a2 y2 b2 为半径作圆 F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且
19、|PT|的最小值不小于(ac)，则椭 3 2 圆的离心率e的取值范围是_ 答案 3 5， 2 2) 解析 因为|PT|(bc)，|PF2|2bc2 而|PF2|的最小值为 ac， 所以|PT|的最小值为.ac2bc2 依题意，有(ac)，ac2bc2 3 2 所以(ac)24(bc)2，所以 ac2(bc)， 所以 ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30. 又 bc，所以 b2c2，所以 a2c2c2， 所以 2e23 时，焦点在 y 轴上， 要使 C 上存在点 M 满足AMB120， 则 tan 60，即，解得 m9. a b 3 m 3
20、3 故 m 的取值范围为(0,19，) 故选 A. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常 用方法如下： (1)直接求出 a，c，利用离心率公式 e 求解 c a (2)由 a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e 求解1b 2 a2 (3)构造 a， c 的齐次式 离心率 e 的求解中可以不求出 a， c 的具体值， 而是得出 a 与 c 的关系， 从而求得 e. 跟踪训练 2 (1)已知椭圆 1(0b0)的右焦点， 直线 y 与椭圆交于 B， C x2 a2 y2 b2 b 2 两点，且BFC9
21、0，则该椭圆的离心率是_ 答案 6 3 解析 由已知条件易得 B，C，F(c，0)， ( 3 2 a，b 2) ( 3 2 a，b 2) 所以，BF (c 3 2 a，b 2) CF (c 3 2 a，b 2) 由BFC90，可得0，BF CF 所以 20， (c 3 2 a) (c 3 2 a) ( b 2) c2 a2 b20， 3 4 1 4 即 4c23a2(a2c2)0，亦即 3c22a2， 所以 ，则 e . c2 a2 2 3 c a 6 3 (3)(2018阜阳模拟)已知 F1， F2是椭圆1(ab0)的左、 右两个焦点， 若椭圆上存在点 P x2 a2 y2 b2 使得 PF
22、1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 5 5 ，1) 2 2 ，1) (0， 5 5 (0， 2 2 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，离心率 0a1c2. c1 a1 c2 a2 其中正确式子的序号是( ) A B C D 答案 D 解析 观察图形可知a1c1a2c2， 即式不正确 ； a1c1a2c2|PF|， 即式正确 ； 由a1c1 a2c20，c1c20 知，a1c2，即式正确，式 a1c1 c1 a2c2 c2 a1 c1 a2 c2 c1 a1 c2 a2 不正确故选 D. 7
23、焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 1 或 1 x2 25 y2 9 y2 25 x2 9 解析 由题意知Error!解得Error! 又 b2a2c2，b29， 当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 1， x2 25 y2 9 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 1. y2 25 x2 9 8设 F1，F2为椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，经过 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两 x2 a2 y2 b2 点，若F2AB 是面积为 4的等边三角形，则椭圆 C 的方程为_3 答案 1 x2 9 y2 6 解析 F2AB 是面积为
24、 4的等边三角形，ABx 轴，A，B 两点的横坐标为c，代3 入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|. b2 a 又|F1F2|2c，F1F2A30， 2c. b2 a 3 3 又 2c4， 2 F AB S 1 2 2b2 a 3 a2b2c2， 由解得 a29，b26，c23， 椭圆 C 的方程为 1. x2 9 y2 6 9已知椭圆 C1：1(ab0)与椭圆 C2：1(ab0)相交于 A，B，C，D 四点， x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 若椭圆 C1的一个焦点 F(，0)，且四边形 ABCD 的面积为，则椭圆 C1的离心率 e 为2 16 3 _ 高清试卷 下载可打印 高
25、清试卷 下载可打印 答案 2 2 解析 联立Error! 两式相减得，又 ab， x2y2 a2 x2y2 b2 所以 x2y2， a2b2 a2b2 故四边形 ABCD 为正方形，(*) 4a2b2 a2b2 16 3 又由题意知 a2b22，将其代入(*)式整理得 3b42b280，所以 b22，则 a24， 所以椭圆 C 的离心率 e. 2 2 10已知 A，B，F 分别是椭圆 x21(00，则椭圆的离心率的取值范围为_ 答案 (0， 2 2) 解析 如图所示，线段 FA 的垂直平分线为 x，线段 AB 的中点为. 1 1b2 2 ( 1 2， b 2) 因为 kABb，所以线段 AB
26、的垂直平分线的斜率 k ， 1 b 所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y . b 2 1 b(x 1 2) 把 xp 代入上述方程可得 1 1b2 2 yq. b2 1b2 2b 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 pq0，所以0， 1 1b2 2 b2 1b2 2b 化为 b.1b2 又 0|F1F2|， 所以点 M 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆， 其中长轴长为 4，焦距为 2，则短半轴长为，3 所以点 M 的轨迹方程为 1. x2 4 y2 3 12已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 3 2 焦点坐标、顶点坐标 解
27、椭圆方程可化为 1，m0. x2 m y2 m m3 m0，m， m m3 mm2 m3 m m3 a2m，b2，c . m m3 a2b2 mm2 m3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由 e，得 ，m1. 3 2 m2 m3 3 2 椭圆的标准方程为 x2 1，a1，b ，c. y2 1 4 1 2 3 2 椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和 2b1，焦点坐标为 F1，F2，四个 ( 3 2 ，0) ( 3 2 ，0) 顶点的坐标分别为 A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2. (0， 1 2) (0， 1 2) 13已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为
28、圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且 交椭圆于点 M，N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.1 B233 C. D. 2 2 3 2 答案 A 解析 过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线， F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c， |MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率 e1.33 2 1 3 3 14 (2018济南模拟)设椭圆 C：1(a0， b0)的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 E(0， x2 a2 y2 b2 t)(0b0， x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 ，直线 l：xy30 与椭圆 C1
29、相切，则椭圆 C1的方程为( ) e1 e2 3 3 A. y21 B. 1 x2 2 x2 4 y2 2 C. 1 D. 1 x2 6 y2 3 x2 16 y2 8 答案 C 解析 椭圆 C1：1 的离心率 e1 ， 双曲线 C2：1 的离心率 e2 x2 a2 y2 b2 c1 a 1b 2 a2 x2 a2 y2 b2 c2 a ，1b 2 a2 由 ，得， e1 e2 3 3 1b 2 a2 1b 2 a2 3 3 则 ab，由Error!2 得 3x212x182b20， 由 12243(182b2)0，解得 b23， 则 a26，椭圆 C1的方程为 1，故选 C. x2 6 y2
30、 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 16已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点 P 使 x2 a2 y2 b2 ，求该椭圆的离心率的取值范围 1cos 2PF1F2 1cos 2PF2F1 a2 c2 解 由得 . 1cos 2PF1F2 1cos 2PF2F1 a2 c2 c a sinPF2F1 sinPF1F2 又由正弦定理得，所以 ，即|PF1| |PF2|. sinPF2F1 sinPF1F2 |PF1| |PF2| |PF1| |PF2| c a c a 又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a， 所以|PF2|，|PF1|， 2a2 ac 2ac ac 因为 PF2是PF1F2的一边， 所以有 2c0，所以 e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为(1,1)2