《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.7 抛物线 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.7 抛物线 Word版含解析.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.7 抛物线 抛物线 最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质 1抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程与几何性质 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0)标准方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点坐标O(0,0) 对称轴x 轴y 轴 焦点坐
2、标F(p 2，0) F(p 2，0) F(0，p 2) F(0，p 2) 离心率e1 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 开口方向向右向左向上向下 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 概念方法微思考 1若抛物线定义中定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点 F 且与 l 垂直的直线 2直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？ 提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有 一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件
3、 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程 ( a 4，0) 是 x .( ) a 4 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F的弦， 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x2， y1y2 ( p 2，0) p2 4 p2，弦长|AB|x1x2p.( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得
4、的线段叫做抛物线的通径，那么 抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 题组二 教材改编 2过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26， 则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 答案 B 解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)， 准线方程为x1.根据题意可得， |PQ|PF|QF|x1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1x21x1x228. 3已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标 准方程为_ 答案 y28x 或 x2y 解析 设抛物线方程为 y2mx(m0)
5、或 x2my(m0) 将 P(2，4)代入，分别得方程为 y28x 或 x2y. 4 若抛物线y24x的准线为l， P是抛物线上任意一点， 则P到准线l的距离与P到直线3x4y 70 的距离之和的最小值是( ) A2 B. C. D3 13 5 14 5 答案 A 解析 由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 由抛物线 y24x 及 直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离 点P到准线l的距离与点P到直线3x4y 70 的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线 3x4y70 的距离，即2.故选 A. |37| 3242 题组三 易错自纠 5设抛物线 y28
6、x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A4 B6 C8 D12 答案 B 解析 如图所示， 抛物线的准线 l 的方程为 x2， F 是抛物线的焦点， 过点 P 作 PAy 轴， 垂足是 A， 延长 PA 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 交直线 l 于点 B， 则|AB|2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4， 则点 P 到准线 l 的距离|PB|426， 所以点 P 到焦点的距离|PF|PB|6.故选 B. 6 已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点， 且顶点在原点， 则抛物线C的方程是( ) Ay22x By22x2 Cy24x Dy
7、24x2 答案 D 解析 由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)22 设抛物线方程为 y22px(p0)，则 ， p 2 2 所以 p2，所以抛物线方程为 y24x.故选 D.22 7设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_ 答案 1,1 解析 Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 yk(x2)， 代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20， 由 (4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1. 题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点 1
8、 定义及应用 例 1 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 4 解析 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1， 则|P1Q|P1F|. 则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4， 即|PB|PF|的最小值为 4. 引申探究 1若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值 解 由题意可知点 B(3,4)在抛物线的外部 |PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，F(1,0)， |PB|PF|BF|2，42225 即|PB|PF|的最小值为 2
9、 . 5 2若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 xy50，在抛物 线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1d2的最小值 解 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0) 点 P 到 y 轴的距离 d1|PF|1， 所以 d1d2d2|PF|1. 易知 d2|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d2|PF|的最小值为3， |15| 1212 2 所以 d1d2的最小值为 31.2 命题点 2 求标准方程 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 2 设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C
10、 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆 过点(0,2)，则 C 的标准方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 答案 C 解析 由题意知，F，抛物线的准线方程为 x ，则由抛物线的定义知，xM5 ， ( p 2，0) p 2 p 2 设以 MF 为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为 22 ，又因为圆过 ( 5 2， yM 2) (x 5 2) (y yM 2) 25 4 点(0,2)，所以 yM4，又因为点 M 在 C 上，所以 162p，解得 p2 或 p8，所以抛 (5 p 2) 物线 C 的标准方程为 y24
11、x 或 y216x， 故选 C. 思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关“看到准线想 焦点，看到焦点想准线” ，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径 (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程 的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 跟踪训练 1 (1)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到直 线 x1 的距离之和的最小值为_ 答案 5 解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x1 的距
12、离等于点 P 到 F 的距离 于是，问题转化为在抛物线上求一点 P， 使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为.1120125 (2)如图所示， 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交其准线 l 于点 C， 若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的标准方程为( ) Ay2 x By29x 3 2 Cy2 x Dy23x 9 2 答案 D 解析 分别过点 A，B 作 AA1l，BB1l，且垂足分别为 A1，
13、B1，由已知条件|BC|2|BF|， 得|BC|2|BB1|， 所以BCB130. 又|AA1|AF|3， 所以|AC|2|AA1|6， 所以|CF|AC|AF|633， 所以 F 为线段 AC 的中点 故点 F 到准线的距离为 p |AA1| ， 1 2 3 2 故抛物线的标准方程为 y23x. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型二 抛物线的几何性质 例 3 (1)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点， 点 O 是坐标原点， 若|AF|3， 则AOB 的面积为( ) A. B. C. D2 2 2 2 3 2 2 2 答案 C 解析 设 A(x1，y
14、1)，B(x2，y2)(y10，y20)， 则焦点坐标为， 将x 代入y22px可得y2p2， |AB|12， ( p 2，0) p 2 即 2p12，所以 p6.因为点 P 在准线上，所以点 P 到 AB 的距离为 p6，所以PAB 的面 积为 61236. 1 2 (2)抛物线 C1：yx2(p0)的焦点与双曲线 C2： y21 的右焦点的连线交 C1于第一象限 1 2p x2 3 的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p 等于( ) A. B. C. D. 3 16 3 8 23 3 43 3 答案 D 解析 经过第一象限的双曲线 C2的渐近线方程为 yx.抛
15、物线 C1的焦点为 F，双曲 3 3 (0， p 2) 线 C2的右焦点为 F2(2,0)因为 yx2，所以 y x.所以抛物线 C1在点 M处的切 1 2p 1 p (x 0，x 2 0 2p) 线斜率为，即 x0，所以 x0p.因为 F，F2(2,0)，M三点共线，所 3 3 1 p 3 3 3 3 (0， p 2) ( 3 3 p，p 6) 以，解得 p，故选 D. p 20 02 p 6 p 2 3 3 p0 43 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型三 直线与抛物线 例 4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点 F 在 y 轴正半轴上，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两
16、点，线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 x 轴的距离是 3. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P，Q 两点连接 QF 并延长交抛物线的 准线于点 R，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程 解 (1)设抛物线的方程是 x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知 y1y2p8， 又 AB 的中点到 x 轴的距离为 3， y1y26，p2， 抛物线的标准方程是 x24y. (2)由题意知，直线 m 的斜率存在，设直线 m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由Error!Err
17、or!消去 y 得 x24kx240， Error!Error! (*) 易知抛物线在点 P处的切线方程为 (x 3，x 2 3 4) y (xx3)， x2 3 4 x3 2 令 y1，得 x，R， x2 34 2x3 ( x2 34 2x3 ，1) 又 Q，F，R 三点共线，kQFkFR，又 F(0,1)， ， x2 4 4 1 x4 11 x2 34 2x3 即(x 4)(x 4)16x3x40， 2 32 4 整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将(*)式代入上式得 k2 ，k ， 1 4 1 2 直线 m 的
18、方程为 y x6. 1 2 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到 根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题， 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点(设焦 点在 x 轴的正半轴上)， 可直接使用公式|AB|x1x2p， 若不过焦点， 则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、 中点、 距离等相关问题时， 一般利用根与系数的关系采用 “设而不求” 、 “整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解 (4)设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1
19、x2，y1y2p2. p2 4 弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角) 2p sin2 以弦 AB 为直径的圆与准线相切 通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦 跟踪训练 3 (2018武汉调研)已知抛物线 C： x22py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M 的动直线 交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程 解 (1)可设 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入抛物线
20、 C，得 x22pkx2p0，4p2k28p0，显然方程有两不等实根， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 x1x22pk，x1x22p. 由 x22py 得 y ， x p 则 A，B 处的切线斜率乘积为 1， x1x2 p2 2 p 则有 p2. (2)设切线 AN 为 y xb， x1 p 又切点 A 在抛物线 y上， x2 2p y1，b ， x2 1 2p x2 1 2p x2 1 p x2 1 2p yAN x. x1 p x2 1 2p 同理 yBN x. x2 p x2 2 2p 又N 在 yAN和 yBN上， Error!解得 N. ( x1x2 2 ，x 1x2
21、 2p) N(pk，1) |AB|x2x1|1k2 ，1k24p2k28p 点 N 到直线 AB 的距离 d， |kxN1yN| 1k2 |pk22| 1k2 SABN |AB|d2， 1 2 ppk2 2 3 2p 24，p2，2p 故抛物线 C 的方程为 x24y. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 直线与圆锥曲线问题的求解策略 例 (12 分)已知抛物线 C： ymx2(m0)，焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两 点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标； (2)若抛物线 C 上有一点
22、 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值； (3)是否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由 规范解答 解 (1)抛物线 C：x2 y， 1 m 它的焦点为 F. 2 分 (0， 1 4m) (2)|RF|yR， 1 4m 23，得 m . 4 分 1 4m 1 4 (3)存在，联立方程Error!Error! 消去 y 得 mx22x20(m0)， 依题意，有 (2)24m(2)8m40 恒成立， 方程必有两个不等实根 6 分 设 A(x1，mx )，B(x2，mx )，则Error!Error! (*) 2
23、 12 2 P 是线段 AB 的中点， P， ( x1x2 2 ，mx 2 1mx2 2 2 ) 即 P，Q， 8 分 ( 1 m，y P) ( 1 m， 1 m) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得，QA (x 11 m，mx 2 11 m) .QB (x 21 m，mx 2 21 m) 若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则0，QA QB 即0， 10 分 (x 11 m) (x 21 m) (mx 2 11 m)(mx 2 21 m) 结合(*)式化简得 40， 4 m2 6 m 即 2m23m20，m2 或 m ， 1 2 m0，m2. 存在实数 m
24、2，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形12 分 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程； 第二步：写 出根与系数的关系，并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于 x1x2，x1x2(或 y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况 1抛物线 yax2的准线方程是 y1，则 a 的值为( ) A. B C4 D4 1 4 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 由 yax2， 变形得 x2 y2y， p.又抛物线的准线方程是 y1，
25、 1， 1 a 1 2a 1 2a 1 4a 解得 a . 1 4 2(2018泰安诊断)设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为ABC 的重心，则|的值为( )FA FB FC A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33 ， ( 1 2，0) 1 2 3 2 则|(x1x2x3) 3.FA FB FC (x 11 2) (x 21 2) (x 31 2) 3 2 3 2 3 2 3 (2018辽宁五校联考)抛物线 x24y 的焦点为 F， 过点 F 作斜率为的直线 l
26、 与抛物线在 y 3 3 轴右侧的部分相交于点 A， 过点 A 作抛物线准线的垂线， 垂足为 H， 则AHF 的面积是( ) A4 B3 C4 D833 答案 C 解析 由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF 的斜率为，AF 的倾斜角为 30，AH 垂 3 3 直于准线， FAH60， 故AHF为等边三角形 设A， m0， 过F作FMAH于M， 则在FAM (m， m2 4) 中，|AM| |AF|，1，解得 m2，故等边三角形 AHF 的边长|AH|4， 1 2 m2 4 1 2( m2 4 1) 3 AHF 的面积是 44sin 604.故选 C. 1 2 3 4(2018江西上高二中、丰
27、城中学联考)抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的点，若OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36，则 p 等于( ) A2 B4 C6 D8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 D 解析 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切， OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 圆的面积为 36，圆的半径为 6. 又圆心在 OF 的垂直平分线上，|OF| ， p 2 6，p8.故选 D. p 2 p 4 5已知直线 l：ykxk(kR)与抛物线 C：y24x 及其准线分别交于 M，N 两点，F 为抛物 线的焦点，若 2，则实数 k
28、 等于( )FM MN A B1 C D2 3 3 3 答案 C 解析 抛物线 C：y24x 的焦点 F(1,0)，直线 l：ykxk 过抛物线的焦点当 k0 时，如图 所示， 过点 M 作 MM垂直于准线 x1，垂足为 M，由抛物线的定义，得|MM|MF|，易知 MMN 与直线 l 的倾斜角相等，由 2，得 cosMMN ，则FM MN |MM| |MN| 1 2 tanMMN，直线 l 的斜率 k；当 k0)，直线方程为 xmy ，联立Error!Error! p 2 消去 x 得 y22pmyp20，显然方程有两个不等实根 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1
29、y2p2， 得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2 p2OA OB (my 1p 2)(my 2p 2) pm 2 p2 4 3 4 12，得 p4(舍负)，即抛物线 C 的方程为 y28x. 7(2018新余市第一中学模拟)动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l：y4 的距离小 2， 则动点 P 的轨迹方程为_ 答案 x28y 解析 动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l： y4 的距离小 2，动点 P 到点 A(0,2)的 距离与它到直线 y2 的距离相等根据抛物线的定义可得点 P 的轨迹为以 A(0,2)为焦点， 以直线 y2 为准线的抛物线，其标
30、准方程为 x28y. 8(2018武汉质检)已知 F 是抛物线 y24x 的焦点，A，B 是抛物线上两点，若AFB 是等边 三角形，则AFB 的边长为_ 答案 84或 8433 解析 由题意可知点 A，B 一定关于 x 轴对称，且 AF，BF 与 x 轴夹角均为 30，由于 y24x 的焦点为(1,0)，由Error!Error!化简得 y24y40，解得 y124，y224，333 所以AFB 的边长为 84或 84.33 9 已知直线l： ykxt与圆 ： x2(y1)21相切， 且与抛物线C： x24y交于不同的两点M， N， 则实数 t 的取值范围是_ 答案 t0 或 t0，得 t0
31、|t1| 1k2 或 t0，得 t0 或 t0 或 t0)的焦点F作直线交抛物线于A， B两点， 若|AF| 2|BF|6，则 p_. 答案 4 解析 设 AB 的方程为 xmy ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2，将直线 AB 的方程代入抛 p 2 物线方程得 y22pmyp20， 所以 y1y2p2， 4x1x2p2.设抛物线的准线为 l， 过 A 作 ACl， 垂足为C， 过B作BDl， 垂足为D， 因为|AF|2|BF|6， 根据抛物线的定义知， |AF|AC|x1 6， |BF|BD|x2 3， 所以 x1x23， x1x29p， 所以(x1x2)2(x1x2)24x
32、1x2 p 2 p 2 p2，即 18p720，解得 p4. 11 (2018郑州模拟)已知过抛物线 y22px(p0)的焦点， 斜率为 2的直线交抛物线于 A(x1， y1)，2 B(x2，y2)(x10，方程必有两个不等实根所以 x1x2，由抛物线定义得 5p 4 |AB|x1x2pp9， 5p 4 所以 p4，从而抛物线方程为 y28x. (2)由于 p4，则 4x25pxp20， 即 x25x40，从而 x11，x24， 于是 y12，y24，22 从而 A(1，2)，B(4,4)设 C(x3，y3)，22 则(x3，y3)(1，2)(4,4)OC 22 高清试卷 下载可打印 高清试卷
33、 下载可打印 (41,42)22 又 y 8x3，即2(21)28(41)， 2 3 2 整理得(21)241，解得 0 或 2. 12(2018贵阳模拟)过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标 解 (1)易知点 F 的坐标为(1,0)， 则直线 l 的方程为 yk(x1)， 代入抛物线方程 y24x 得 k2x2 (2k24)xk20， 由题意知 k0，且 (2k24)24k2k216(k21)0， 设 A(x1，
34、y1)，B(x2，y2)， x1x2，x1x21， 2k24 k2 由抛物线定义知|AB|x1x228， 6，k21，即 k1， 2k24 k2 直线 l 的方程为 y(x1) (2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x1，y1)， 直线 BD 的斜率 kBD， y2y1 x2x1 y2y1 y2 2 4 y 2 1 4 4 y2y1 直线 BD 的方程为 yy1(xx1)， 4 y2y1 即(y2y1)yy2y1y 4x4x1， 2 1 y 4x1，y 4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216， 2 12 2 即 y1y24(y1，y2异号)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下
35、载可打印 直线 BD 的方程为 4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0) 13.(2018益阳、 湘潭质检)如图所示， 过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A， B， 交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为( ) A5 B6 C. D. 16 3 20 3 答案 C 解析 方法一 如图所示， 设l与x轴交于点M， 过点A作ADl并交l于点D， 由抛物线的定义知， |AD|AF| 4， 由 F 是 AC 的中点， 知|AF|2|MF|2p， 所以 2p4， 解得 p2， 所以抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x
36、2，y2)，则|AF|x1 x114，所以 x13，解得 y12，所以 A(3,2)， p 2 33 又 F(1,0)，所以直线 AF 的斜率 k，所以直线 AF 的方程为 y(x1)，代入抛物 2 3 31 33 线方程 y24x 得，3x210x30，所以 x1x2，|AB|x1x2p.故选 C. 10 3 16 3 方法二 如图所示， 设 l 与 x 轴交于点 M， 过点 A 作 ADl 并交 l 于点 D， 由抛物线的定义知， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AF|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2，所以抛物 线的方程为
37、 y24x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1 x114，所以 x13，又 x1x2 p 2 1，所以 x2 ，所以|AB|x1x2p.故选 C. p2 4 1 3 16 3 方法三 如图所示， 设 l 与 x 轴交于点 M， 过点 A 作 ADl 并交 l 于点 D， 由抛物线的定义知， |AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AF|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2，所以抛物 线的方程为 y24x.因为 ，|AF|4，所以|BF| ，所以|AB|AF|BF|4 1 |AF| 1 |BF| 2 p 4 3 4 3 .故选 C. 16 3 14.(2018广东
38、七校联考)如图所示，抛物线 y x2，AB 为过焦点 F 的弦，过 A，B 分别作抛 1 4 物线的切线，两切线交于点 M，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：若 AB 的斜率 为 1，则|AB|4；|AB|min2；yM1；若 AB 的斜率为 1，则 xM1；xAxB4. 以上结论正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 由题意得，焦点 F(0,1)，对于，lAB的方程为 yx1，与抛物线的方程联立， 得Error!Error!消去 x，得 y26y10， 所以 yAyB6，则|AB|yAyBp8，则错误； 对于，|AB|min2p4，则错误； 因
39、为 y ，则 lAM：yyA(xxA)， x 2 xA 2 即 y xAx，lBM：yyB(xxB)， 1 2 x2 A 4 xB 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 y xBx， 1 2 x2 B 4 联立 lAM与 lBM的方程得Error!Error! 解得 M. ( xAxB 2 ，x AxB 4 ) 设 lAB的方程为 ykx1，与抛物线的方程联立， 得Error!Error!消去 y，得 x24kx40， 所以 xAxB4k，xAxB4， 所以 yM1，和均正确； 对于，当 AB 的斜率为 1 时，xM2，则错误，故选 B. 15已知曲线 G：y及点 A，若曲线 G
40、 上存在相异两点 B，C，其到x216x15 ( 1 2，0) 直线 l：2x10 的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|AC|_. 答案 15 解析 曲线 G：y，即为半圆 M：(x8)2y249(y0)，由题意得 B，Cx216x15 为半圆 M 与抛物线 y22x 的两个交点， 由 y22x 与(x8)2y249(y0)联立方程组得 x2 14x150，方程必有两不等实根，设 B(x1，y1)，C(x2，y2) 所以|AB|AC|x1 x2 14115. 1 2 1 2 16设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线
41、段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，求 r 的取值范围 解 如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则Error!两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2) 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条 当 k 存在时，x1x2，则有2， y1y2 2 y1y2 x1x2 又 y1y22y0，所以 y0k2. 由 CMAB，得 k1， y00 x05 即 y0k5x0，因此 25x0，x03， 即 M 必在直线 x3 上将 x3 代入 y24x， 得 y212，则有24(为保证有 4 条，在 k 存在时，y00)， 2 0 所以 4r216，即 2r4.