《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第八章 8.5 空间向量及其运算 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第八章 8.5 空间向量及其运算 Word版含解析.pdf（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.5 空间向量及其运算 空间向量及其运算 最新考纲 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空 间向量的基本定理及其意义， 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性 运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积判断向量的 共线与垂直 1空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为 0 的向量0 单位向量长度(模)为 1 的向量 相等向量方向相同且模相等的向量ab 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重
2、合的向量 ab 共面向量平行于同一个平面的向量 2空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)空间向量基本定理 如果三个向量a， b， c不共面， 那么对空间任一向量p， 存在有序实数组x， y， z， 使得pxayb zc，a，b，c叫做空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作a，b，则A
3、OB 叫做向量 a，bOA OB 的夹角，记作a，b ，其范围是 0a，b，若a，b ，则称 a 与 b 互相垂直， 2 记作 ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a， b， 则|a|b|cosa， b 叫做向量 a， b 的数量积， 记作 ab， 即 ab |a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律 (a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac. 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示 数量积aba1b1a2b2a3b3 共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3 垂直ab0(a0，
4、b0)a1b1a2b2a3b30 模|a|a2 1a2 2a2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 夹角a，b(a0，b0)cosa，b a1b1a2b2a3b3 a2 1a2 2a2 3 b2 1b2 2b2 3 概念方法微思考 1共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同平行于同一平面的向量就为共面向量 2零向量能作为基向量吗？ 提示 不能由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不 能作为基向量 3空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐 标系的位置不同，只会影响其计算
5、的繁简，不会影响结果 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面( ) (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)( ) (3)对于非零向量 b，由 abbc，则 ac.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同( ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有0.( )AB BC CD DA (6)若 ab0，则a，b是钝角( ) 题组二 教材改编 2 如图所示， 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， M为A1C1与B1D1的交点 若a，b，AB AD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
6、c，则下列向量中与相等的向量是( )AA1 BM A a bc B. a bc 1 2 1 2 1 2 1 2 C a bc D. a bc 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 A 解析 ()BM BB1 B1M AA1 1 2 AD AB c (ba) a bc. 1 2 1 2 1 2 3正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为_ 答案 2 解析 |2 2( )2EF EF EC CD DF 2222( )EC CD DF EC CD EC DF CD DF 1222122(12cos 120021cos 120) 2， |，EF 的长为.E
7、F 22 题组三 易错自纠 4在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则 直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 由题意得，(3，3，3)，(1，1，1)，AB CD 3，与共线，又 AB 与 CD 没有公共点，ABCD.AB CD AB CD 5已知 a(2，3，1)，b(4，2，x)，且 ab，则|b|_. 答案 2 6 解析 ab，ab2(4)321x0， x2，|b|2.4222226 6O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不
8、共线，且t，若 P，A，B，COP 3 4OA 1 8OB OC 四点共面，则实数 t_. 答案 1 8 解析 P，A，B，C 四点共面， t1，t . 3 4 1 8 1 8 题型一 空间向量的线性运算 例 1 如图所示， 在空间几何体 ABCDA1B1C1D1中， 各面为平行四边形， 设a，b，AA1 AB c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：AD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)；AP (2).MP NC1 解 (1)因为 P 是 C1D1的中点， 所以AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C1 acac
9、 b. 1 2AB 1 2 (2)因为 M 是 AA1的中点， 所以MP MA AP 1 2A 1A AP a 1 2 (ac 1 2b) a bc. 1 2 1 2 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 ca， 1 2AD AA1 1 2 所以MP NC1 ( 1 2a 1 2bc) (a 1 2c) a b c. 3 2 1 2 3 2 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 跟踪训练
10、 1 (1)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点用，AB AD AA1 表示，则_.OC1 OC1 答案 1 2AB 1 2AD AA1 解析 ()，OC 1 2AC 1 2 AB AD ()OC1 OC CC1 1 2 AB AD AA1 . 1 2AB 1 2AD AA1 (2)如图，在三棱锥 O ABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设a，b，c，OA OB OC 用 a，b，c 表示，则等于( )NM NM A. (abc) 1 2 B. (abc) 1 2 C. (abc) 1 2 D. (abc) 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下
11、载可打印 答案 B 解析 ()NM NA AM OA ON 1 2AB ()OA 1 2OC 1 2 OB OA 1 2OA 1 2OB 1 2OC (abc) 1 2 题型二 共线定理、共面定理的应用 例 2 如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点 (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)求证：BD平面 EFGH. 证明 (1)连接 BG， 则EG EB BG ()EB 1 2 BC BD EB BF EH ，EF EH 由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)因为EH A
12、H AE 1 2AD 1 2AB ()， 1 2 AD AB 1 2BD 所以 EHBD. 又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH， 所以 BD平面 EFGH. 思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面 且同过点 PPA PB xyMP MA MB 对空间任一点 O，tOP OA AB 对空间任一点 O，xyOP OM MA MB 对空间任一点 O，x(1x)OP OA OB 对空间任一点 O，xy(1xy)OP OM OA OB 跟踪训练 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且
13、满 足k，k(0k1)AM AC1 BN BC (1)向量是否与向量，共面？MN AB AA1 (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行？ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)k，k，AM AC1 BN BC MN MA AB BN kkC1A AB BC k()C1A BC AB k()C1A B1C1 AB kkB1A AB AB AB1 k()AB AA1 AB (1k)k，AB AA1 由共面向量定理知向量与向量，共面MN AB AA1 (2)当 k0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合， MN 在平面 ABB1A1内， 当 0k1 时，MN 不在平面 AB
14、B1A1内， 又由(1)知与，共面，MN AB AA1 MN平面 ABB1A1. 综上，当 k0 时，MN 在平面 ABB1A1内； 当 0k1 时，MN平面 ABB1A1. 题型三 空间向量数量积的应用 例3 如图所示， 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a， 点M， N分别是AB， CD 的中点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值 (1)证明 设p，q，r.AB AC AD 由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三个向量两两夹角均为 60. ()MN AN AM 1 2 AC A
15、D 1 2AB (qrp)， 1 2 (qrp)p (qprpp2)MN AB 1 2 1 2 (a2cos 60a2cos 60a2)0. 1 2 ，即 MNAB.MN AB 同理可证 MNCD. (2)解 设向量与的夹角为 .AN MC () (qr)，AN 1 2 AC AD 1 2 q p，MC AC AM 1 2 (qr)AN MC 1 2 (q 1 2p) 1 2(q 21 2qprq 1 2rp) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 2(a 21 2a 2cos 60a2cos 601 2a 2cos 60) . 1 2(a 2a 2 4 a 2 2 a 2 4) a
16、2 2 又|a，AN MC 3 2 |cos aacos .AN MC AN MC 3 2 3 2 a2 2 cos . 2 3 向量与的夹角的余弦值为 ，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 .AN MC 2 3 2 3 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共 线确定点在线段上的位置 (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角 (3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解a2 跟踪训练 3 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1， 且两两夹角为 60
17、. (1)求的长；AC1 (2)求与夹角的余弦值BD1 AC 解 (1)记a，b，c，AB AD AA1 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， abbcca . 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，AC1 ( 1 2 1 2 1 2) |，即 AC1的长为.AC1 66 (2)bca，ab，BD1 AC |，|，BD1 2AC 3 (bca)(ab)BD1 AC b2a2acbc1， cos， .BD1 AC BD1， AC |BD1 |AC | 6 6 即与夹角的余弦值为.BD1 AC 6 6 1已知 a(2
18、，3，4)，b(4，3，2)，b x2a，则 x 等于( ) 1 2 A(0，3，6) B(0，6，20) C(0，6，6) D(6，6，6) 答案 B 解析 由 b x2a，得 x4a2b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20) 1 2 2在下列命题中： 若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面； 若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； 已知空间的三个向量 a， b， c， 则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x， y， z 使得 p
19、xa ybzc. 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 A 解析 a 与 b 共线，a，b 所在的直线也可能重合，故不正确 ； 根据自由向量的意义知，空 间任意两向量 a，b 都共面，故不正确；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们 三个却不一定共面， 故不正确 ； 只有当 a， b， c 不共面时， 空间任意一向量 p 才能表示为 pxa ybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选 A. 3已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m 的值等于( ) A. B2 3 2 C0 D. 或2 3 2 答案 B 解析 当
20、m0 时，a(1，3，1)，b(2，0，0)， a 与 b 不平行，m0，ab， ，解得 m2. 2m1 2 3 m m1 m 4在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，1)，B(2，2，2)，点 P 在 z 轴上，且满足|PA|PB|， 则 P 点坐标为( ) A(3，0，0) B(0，3，0) C(0，0，3) D(0，0，3) 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 设 P(0，0，z)， 则有 1022021z2 ，2022022z2 解得 z3. 5已知 a(1，0，1)，b(x，1，2)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A. B. C. D. 5
21、6 2 3 3 6 答案 D 解析 abx23，x1，b(1，1，2)， cosa，b， ab |a|b| 3 2 6 3 2 又a，b0，a 与 b 的夹角为 ，故选 D. 6 6.如图， 在大小为 45的二面角 AEFD 中， 四边形 ABFE， CDEF 都是边长为 1 的正方形， 则 B，D 两点间的距离是( ) A. B. C1 D.323 2 答案 D 解析 ，BD BF FE ED |2|2|2|22221113，BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED 22 故|.BD 3 2 7 已知 a(2， 1， 3)， b(1， 2， 3)， c(7， 6， )， 若
22、 a， b， c 三向量共面， 则 _. 答案 9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由题意知 cxayb， 即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)， Error!解得 9. 8已知 a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则 c_. 答案 (3，2，2) 解析 因为 ab，所以 ， x 2 4 y 1 1 解得 x2，y4， 此时 a(2，4，1)，b(2，4，1)， 又因为 bc，所以 bc0， 即68z0，解得 z2，于是 c(3，2，2) 9 已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点， 且 VAVBVCVD，VP 1 3VC VM 2
23、 3VB VN .则 VA 与平面 PMN 的位置关系是_ 2 3VD 答案 平行 解析 如图，设a，b，c，则acb，VA VB VC VD 由题意知 b c，PM 2 3 1 3 PN 2 3VD 1 3VC a b c. 2 3 2 3 1 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此，VA 3 2PM 3 2PN ，共面VA PM PN 又 VA平面 PMN，VA平面 PMN. 10已知 ABCDA1B1C1D1为正方体， ()23 2； A1A A1D1 A1B1 A1B1 ()0；A1C A1B1 A1A 向量与向量的夹角是 60；AD1 A1B 正方体 ABCDA1B1C
24、1D1的体积为|.AB AA1 AD 其中正确的序号是_ 答案 解析 中， ()2 22232， 故正确 ； 中， A1A A1D1 A1B1 A1A A1D1 A1B1 A1B1 A1B1 A1A ，因为 AB1A1C，故正确；中，两异面直线 A1B 与 AD1所成的角为 60，但AB1 AD1 与的夹角为 120，故不正确；中，|0，故也不正确A1B AB AA1 AD 11已知A，B，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O，若点M 满足 ()OM 1 3 OA OB OC (1)判断，三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解 (1)由题意知3，
25、OA OB OC OM ()()，OA OM OM OB OM OC 即，MA BM CM MB MC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ，共面MA MB MC (2)由(1)知，共面且过同一点 M，MA MB MC M，A，B，C 四点共面 点 M 在平面 ABC 内 12已知 a(1，3，2)，b(2，1，1)，A(3，1，4)，B(2，2，2) (1)求|2ab|； (2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得b？(O 为原点)OE 解 (1)2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)， 故|2ab|5.0252522 (2)令t(tR)，AE AB 所以tOE OA
26、AE OA AB (3，1，4)t(1，1，2) (3t，1t，42t)， 若b，则b0，OE OE 所以2(3t)(1t)(42t)0，解得 t . 9 5 因此存在点 E，使得b，此时 E 点的坐标为.OE ( 6 5， 14 5 ，2 5) 13.如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA，BC 的中点， 点 G 在线段 MN 上，且2，若xyz，则 xyz_.MG GN OG OA OB OC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 5 6 解析 连接 ON，设a，b，c，OA OB OC 则 ()MN ON OM 1 2 OB OC 1 2
27、OA b c a， 1 2 1 2 1 2 OG OM MG 1 2OA 2 3MN a a b c. 1 2 2 3( 1 2b 1 2c 1 2a) 1 6 1 3 1 3 又xyz，OG OA OB OC 所以 x ，y ，z ， 1 6 1 3 1 3 因此 xyz . 1 6 1 3 1 3 5 6 14A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M 为 BCAB AC AC AD AB AD 中点，则AMD 是( ) A钝角三角形 B锐角三角形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C直角三角形 D不确定 答案 C 解析 M 为 BC 中点， ()，AM 1 2 A
28、B AC ()AM AD 1 2 AB AC AD 0. 1 2AB AD 1 2AC AD AMAD，AMD 为直角三角形 15已知 O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当QA 取最小值时，点 Q 的坐标是_QB 答案 (1，1，2) 解析 由题意， 设， 则(， ， 2)， 即 Q(， ， 2)， 则(1， 2， 12)，OQ OP OQ QA (2， 1， 22)， (1)(2)(2)(1)(12)(22)6212QB QA QB 66(1)2，当 1 时取最小值，此时 Q 点坐标为(1，1，2) 16如图，在直三棱柱 A
29、BCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E 分别为 棱 AB，BB的中点 (1)求证：CEAD； (2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值 (1)证明 设a，b，c，CA CB CC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 根据题意得|a|b|c|， 且 abbcca0， b c，c b a，CE 1 2 AD 1 2 1 2 c2 b20，CE AD 1 2 1 2 ，即 CEAD.CE AD (2)解 ac，|a|，|a|，AC AC 2CE 5 2 (ac) c2 |a|2，AC CE (b 1 2c) 1 2 1 2 cos， ，AC CE AC， CE |AC |CE | 1 2|a| 2 2 5 2 |a|2 10 10 即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为. 10 10