《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第六章 6.2 等差数列及其前n项和 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第六章 6.2 等差数列及其前n项和 Word版含解析.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.2 等差数列及其前 等差数列及其前 n 项和项和 最新考纲 1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项 和的公式.3.能在具体的问题情境中， 发现数列的等差关系， 并能用有关知识解决相应的问题.4. 体会等差数列与一次函数的关系 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d. 3等差
2、中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差 中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman. (3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md 的等差数列 (6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
3、印 (7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为 d. Sn n 1 2 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn或 Snna1d. na1an 2 nn1 2 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn n2n. d 2 (a 1d 2) 数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数) 7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最小值 概念方法微思考 1“a，A，b 是等差数列”是“A”的什么条件？ ab 2 提示 充要条件 2等差数列的前 n 项和 Sn是项数 n 的二次函数吗？ 提示
4、 不一定当公差 d0 时，Snna1，不是关于 n 的二次函数 3如何推导等差数列的前 n 项和公式？ 提示 利用倒序相加法 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) (4)已知等差数列an的通项公式 an32n，则它的公差为2.( ) (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.( )
5、 (6)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列 ( ) 题组二 教材改编 2设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于( ) A31 B32 C33 D34 答案 B 解析 由已知可得Error! 解得Error! S88a1d32. 8 7 2 3在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8 . 答案 180 解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 题组三 易错自纠 4一个等差数列的首项为，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差
6、数列的公差 d 的取值范 1 25 围是( ) Ad Bd0， a7a100，所以 a80.又 a7a10a8a9. 1 an 1 S1 1 S2 1 Sn n n1 (1)证明 an1， an 2an1 ，化简得2， 1 an1 2an1 an 1 an1 1 an 即2， 1 an1 1 an 故数列是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 1 an (2)解 由(1)知2n1， 1 an 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 Snn2， . n12n1 2 1 Sn 1 n2 1 nn1 1 n 1 n1 证明： 1 S1 1 S2 1 Sn 1 12 1 22 1 n2 1
7、1 2 1 2 3 1 nn1 (1 1 2) ( 1 2 1 3) ( 1 n 1 n1) 1 1 n1 . n n1 题型三 等差数列性质的应用 命题点 1 等差数列项的性质 例 2 (2018上饶模拟)已知an为等差数列，a2a818，则an的前 9 项和 S9等于( ) A9 B17 C72 D81 答案 D 解析 由等差数列的性质可得， a1a9a2a818， 则an的前 9 项和 S99 9a1a9 2 18 2 81.故选 D. 命题点 2 等差数列前 n 项和的性质 例3 (1)(2019漳州质检)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57， S1021， 则S15等于( )
8、A35 B42 C49 D63 答案 B 解析 在等差数列an中， S5，S10S5，S15S10成等差数列， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 7,14，S1521 成等差数列， 所以 7(S1521)214， 解得 S1542. (2)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a12 018，6，则 S2 020 S2 019 2 019 S2 013 2 013 . 答案 2 020 解析 由等差数列的性质可得也为等差数列 Sn n 设其公差为 d，则6d6，d1. S2 019 2 019 S2 013 2 013 故2 019d2 0182 0191， S2 020
9、2 020 S1 1 S2 02012 0202 020. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前 n 项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1)an. 跟踪训练 2 (1)已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列an的公差 d 等于( ) A0 B1 C1 D2 答案 B 解析 a3a5a7 3a515， a55，a5a233d， 可得 d1，故选 B. (2)(2019莆田质检)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S130，S
10、140， S140， a1a14a7a80， a80 时，n 的最小值 a9 a8 为( ) A14 B15 C16 D17 答案 C 解析 数列an是等差数列，它的前 n 项和 Sn有最小值， 公差 d0，首项 a10， 由等差数列的性质知， 2a8a1a150. Sn， na1an 2 当 Sn0 时，n 的最小值为 16. 7 (2018北 京 )设 an是 等 差 数 列 ， 且 a1 3， a2 a5 36， 则 an的 通 项 公 式 为 答案 an6n3(nN*) 解析 方法一 设公差为 d. a2a536，(a1d)(a14d)36， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
11、 2a15d36.a13，d6， 通项公式 ana1(n1)d6n3(nN*) 方法二 设公差为 d， a2a5a1a636，a13， a633，d6. a6a1 5 a13，通项公式 an6n3(nN*) 8(2019三明质检)在等差数列an中，若 a7 ，则 sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 2 . 答案 0 解析 根据题意可得 a1a132a7， 2a12a134a72， 所以有 sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0. 9等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且，则 .
12、 Sn Tn 3n1 2n3 a10 b10 答案 56 41 解析 在等差数列中，S1919a10，T1919b10， 因此. a10 b10 S19 T19 3 191 2 193 56 41 10(2018湘潭模拟)已知数列是公差为 2 的等差数列，且 a11，a39，则 anan1an . 答案 (n23n3)2 解析 数列是公差为 2 的等差数列，an1an 且 a11，a39， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)2(n1)，an1ana2 (1)2，a3a2a2 3(1)2，a21.a2a2 2n2，an1an 2(n1)22(n2)2221an 22(n1)1n2
13、3n3. n1n 2 an(n23n3)2，n1 时也成立 an(n23n3)2. 11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn. 1 an1 (1)证明：数列bn是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 1 an11 1 an1 ， anan1 a n11an 1 1 3 bn1bn ， 1 3 bn是等差数列 (2)解 由(1)及 b11. 1 a11 1 21 知 bn n ， 1 3 2 3 an1，an. 3 n2 n5 n2 12(2018全国)记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315. (1)求an的通项公式； 高清
14、试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)求 Sn，并求 Sn的最小值 解 (1)设an的公差为 d，由题意得 3a13d15. 由 a17 得 d2. 所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n9(nN*) (2)由(1)得 Snnn28n(n4)216. a1an 2 所以当 n4 时，Sn取得最小值，最小值为16. 13 (2018佛山质检)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， bn且 b1b317， b2b468，2 n a 则 S10等于( ) A90 B100 C110 D120 答案 A 解析 设an公差为 d， 2d4， b2b4 b1b3 24 31 22 22 a
15、a aa 31 31 22 22 adad aa 68 17 d2，b1b317， 1 2a 3 2a 1 2a 1 2 2a d 1，a10， 1 2a S1010a1d290，故选 A. 10 9 2 10 9 2 14 (2018菏泽模拟)已知等差数列an前n项和为Sn， 且S69， S84， 若满足不等式nSn 的正整数 n 有且仅有 3 个，则实数 的取值范围为_ 答案 54，81 2) 解析 不妨设 SnAn2Bn，由 S69，S84， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得Error!则Error! 所以 nSnn3n2，令 f(x)x3x2， 15 2 15 2 则 f
16、(x)3x215x3x(x5)，易得数列nSn在 1n5，nN*时单调递减； 在 n5， nN*时单调递增 令 nSnbn， 有 b3， b456， b5， b654， b7 81 2 125 2 .若满足题意的正整数 n 只有 3 个，则 n 只能为 4,5,6，故实数 的取值范围为. 49 2 54， 81 2) 15已知数列an与均为等差数列(nN*)，且 a12，则 a20 . a2 n n 答案 40 解析 设 an2(n1)d， 所以 a2 n n 2n1d2 n ， d2n24d2d2nd22 n 由于为等差数列， a2 n n 所以其通项是一个关于 n 的一次函数， 所以(d2
17、)20，d2. 所以 a202(201)240. 16记 m，若是等差数列，则称 m 为数列an的“dn等差均值” ； d1a1d2a2dnan n dn 若是等比数列，则称 m 为数列an的“dn等比均值” 已知数列an的“2n1 等差均值”dn 为 2，数列bn的“3n1等比均值”为 3.记 cnklog3bn，数列的前 n 项和为 Sn，若 2 an cn 对任意的正整数 n 都有 SnS6，求实数 k 的取值范围 解 由题意得 2， a13a22n1an n 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 a13a2(2n1)an2n， 所以 a13a2(2n3)an1 2n2(n2，nN*)， 两式相减得 an(n2，nN*) 2 2n1 当 n1 时，a12，符合上式， 所以 an(nN*) 2 2n1 又由题意得 3， b13b23n1bn n 所以 b13b23n1bn3n， 所以 b13b23n2bn13n3(n2，nN*)， 两式相减得 bn32n(n2，nN*) 当 n1 时，b13，符合上式， 所以 bn32n(nN*) 所以 cn(2k)n2k1. 因为对任意的正整数 n 都有 SnS6， 所以Error!解得k. 13 5 11 4