《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第四章 4.6 正弦定理和余弦定理 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第四章 4.6 正弦定理和余弦定理 Word版含解析.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.6 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理 最新考纲 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解 决一些简单的三角形度量问题 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容 (1)2R a sin A b sin B c sin C (2)a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C 变形 (3)a2Rsin A，b2Rsin B， c2Rsin C； (4)sin A，sin B，
2、sin C； a 2R b 2R c 2R (5)abcsin Asin Bsin C； (6)asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A (7)cos A；cos B b2c2a2 2bc ；cos C c2a2b2 2ac a2b2c2 2ab 2在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Ab 解的个数一解两解一解一解 3.三角形常用面积公式 (1)S aha(ha表示边 a 上的高)； 1 2 (2)S absin C acsin B
3、bcsin A； 1 2 1 2 1 2 (3)S r(abc)(r 为三角形内切圆半径) 1 2 概念方法微思考 1在ABC 中，AB 是否可推出 sin Asin B? 提示 在ABC 中，由AB 可推出 sin Asin B. 2如图，在ABC 中，有如下结论：bcos Cccos Ba.试类比写出另外两个式子 提示 acos Bbcos Ac； acos Cccos Ab. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( ) (2)当 b2c2a20 时，三角形 ABC 为锐
4、角三角形( ) (3)在ABC 中，.( ) a sin A abc sin Asin Bsin C (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积( ) 题组二 教材改编 2在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB ， 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 3在ABC 中，A60，AC4，BC2，则ABC 的面积为 3 答案 2 3 解析 ，sin B1，B90， 2 3 sin 60
5、4 sin B AB2，SABC 222. 1 2 33 题组三 易错自纠 4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c0，cos B1. bsin C c 40 3 2 20 3 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 6 (2018包头模拟)设ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c.若 bc2a,3sin A5sin B，则 C . 答案 2 3 解析 由 3sin A5sin B 及正弦定理，得 3a5b.又因为 bc2a，所以 a b，c b， 5 3 7 3 所以 cos C . a2b2c2 2ab ( 5 3b) 2b2(7 3b
6、) 2 2 5 3b b 1 2 因为 C(0，)，所以 C. 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 例 1 (2018天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin Aacos. (B 6) (1)求角 B 的大小； (2)设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值 解 (1)在ABC 中，由正弦定理， a sin A b sin B 可得 bsin Aasin B. 又由 bsin Aacos，得 asin Bacos， (B 6) (B 6) 即 sin Bcos，所以 tan B. (B 6) 3
7、 又因为 B(0，)，所以 B . 3 (2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B ， 3 得 b2a2c22accos B7，故 b . 7 由 bsin Aacos，可得 sin A. (B 6) 21 7 因为 a0，sin A1， 即 A ，ABC 为直角三角形 2 引申探究 1本例(2)中，若将条件变为 2sin Acos Bsin C，判断ABC 的形状 解 2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， sin(AB)0. 又 A，B 为ABC 的内角 AB，ABC 为等腰三角形 2本例(2)中，若将条件变
8、为 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断ABC 的形状 解 a2b2c2ab，cos C ， a2b2c2 2ab 1 2 又 0c，可得 300， sin A cos A 1，即 sin Bcos A. sin B cos A (2)解 由 sin Csin Acos B 知， 3 4 sin(AB)sin Acos B ，cos Asin B . 3 4 3 4 由(1)知，sin Bcos A，cos2A ，由于 B 是钝角， 3 4 故 A，cos A，A . (0， 2) 3 2 6 sin B，B，C(AB) . 3 2 2 3 6 高清试卷 下载可打印 高
9、清试卷 下载可打印 12(2018北京)在ABC 中，a7，b8，cos B . 1 7 (1)求A； (2)求 AC 边上的高 解 (1)在ABC 中，因为 cos B ， 1 7 所以 sin B.1cos2B 4 3 7 由正弦定理得 sin A. asin B b 3 2 由题设知 0，sin Acos A，3 即 tan A . 3 0A，A . 3 由余弦定理得 a216b2c22bccos A (bc)23bc(bc)23 2， ( bc 2) 则(bc)264， 即bc8(当且仅当bc4时等号成立)， ABC的周长labc4b c12，即最大值为 12. 15在ABC 中，C6
10、0，且2，则ABC 面积 S 的最大值为 a sin A 答案 3 3 4 解析 由 C60及2，可得 c. c sin C a sin A 3 由余弦定理得 3b2a2abab(当且仅当 ab 时取等号)， S absin C 3， 1 2 1 2 3 2 3 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ABC 的面积 S 的最大值为. 3 3 4 16 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a2(bc)2(2)bc， 且 sin B1cos 3 C，BC 边上的中线 AM 的长为 . 7 (1)求角 A 和角 B 的大小； (2)求ABC 的面积 解
11、(1)由 a2(bc)2(2)bc，3 得 a2b2c2bc，即 b2c2a2bc，33 cos A， b2c2a2 2bc 3 2 又 0A，A . 6 又 sin B1cos C,0sin B1， cos C0，即 C 为钝角， B 为锐角，且 BC， 5 6 则 sin1cos C，化简得 cos1， ( 5 6 C) (C 3) 解得 C，B . 2 3 6 (2)由(1)知，ab，sin C，cos C ， 3 2 1 2 在ACM 中，由余弦定理得 AM2b2 22b cos C ( a 2) a 2 b2()2，解得 b2， b2 4 b2 2 7 故 SABC absin C 22. 1 2 1 2 3 2 3