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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题 题型一 三角函数的图象和性质 例 1 (2016山东)设 f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.3 (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 再把得到的图象向左 平移 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求 g的值 3 ( 6) 解 (1)由 f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)23 2sin2x(12sin xcos x)3 (1cos
2、2x)sin 2x13 sin 2xcos 2x133 2sin1. (2x 3) 3 由 2k 2x 2k (kZ)， 2 3 2 得 kxk(kZ) 12 5 12 所以 f(x)的单调递增区间是(kZ). k 12，k 5 12 (或(k 12，k 5 12)k Z) (2)由(1)知 f(x)2sin1， (2x 3) 3 把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得到 y2sin1 的图象， (x 3) 3 再把得到的图象向左平移 个单位长度， 3 得到 y2sin x1 的图象，3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 g(x)2sin x
3、1.3 所以 g2sin 1. ( 6) 6 33 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为 yAsin(x )k 的形式，然后将 tx 视为一个整体，结合 ysin t 的图象求解 跟踪训练 1 已知函数 f(x)5sin xcos x5cos2x(其中 xR)，求：3 53 2 (1)函数 f(x)的最小正周期； (2)函数 f(x)的单调区间； (3)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心 解 (1)因为 f(x) sin 2x(1cos 2x) 5 2 53 2 53 2 55sin， ( 1 2sin 2x 3 2 cos 2x) (2x 3) 所以函数的最
4、小正周期 T. 2 2 (2)由 2k 2x 2k (kZ)， 2 3 2 得 kxk(kZ)， 12 5 12 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ) k 12，k 5 12 由 2k 2x 2k(kZ)， 2 3 3 2 得 kxk(kZ)， 5 12 11 12 所以函数 f(x)的单调递减区间为(kZ) k 5 12，k 11 12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)由 2x k (kZ)，得 x(kZ)， 3 2 k 2 5 12 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x(kZ) k 2 5 12 由 2x k(kZ)，得 x (kZ)， 3 k 2 6 所以函数
5、f(x)的对称中心为(kZ) ( k 2 6，0) 题型二 解三角形 例 2 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Acos A0，a2，b2.37 (1)求角 A 和边长 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 解 (1)sin Acos A0，3 tan A，3 又 0 0， 0，| 0，故 A2. 周期 T ， 4 3 ( 13 12 3) 4 3 3 4 又 T，2.f(x)2sin(2x)， 2 由题干图象知 f2sin2， ( 3) ( 2 3 ) 2k，kZ， 2k，kZ， 2 3 2 6 又|0) (x 6) (x
6、6) x 2 (1)求函数 f(x)的值域； (2)若函数 yf(x)的图象与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 yf(x)的单调 2 递增区间 解 (1)f(x)sin x cos xsin x cos x(cos x1) 3 2 1 2 3 2 1 2 212sin1. ( 3 2 sin x1 2cos x) (x 6) 由1sin1，得32sin11， (x 6) (x 6) 所以函数 f(x)的值域为3,1 (2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，yf(x)的周期为 ，所以，即 2. 2 所以 f(x)2sin1， (2x 6) 再由 2k 2x 2k (kZ)， 2
7、 6 2 解得 k xk (kZ) 6 3 所以函数 yf(x)的单调递增区间为 (kZ) k 6，k 3 4已知点 P(，1)，Q(cos x，sin x)，O 为坐标原点，函数 f(x).3OP QP (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 A 为ABC 的内角，f(A)4，BC3，求ABC 周长的最大值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)由已知，得(，1)，(cos x,1sin x)，OP 3QP 3 所以 f(x)3cos x1sin xOP QP 3 42sin， (x 3) 所以函数 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为 f(A)4，所以 sin0
8、， (A 3) 又 00)， 则在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcos B， 即25x2 49x225x 7x ， 129 4 1 4 1 2 1 7 解得 x1(负值舍去)，所以 a7，c5， 故 SABC acsin B10. 1 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6 已知函数 f(x)cos 2xsin 2xt(0)， 若 f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，3 4 图象过点(0,0) (1)求 f(x)的表达式和 f(x)的单调增区间； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 8 坐标不变)，
9、得到函数yg(x)的图象， 若函数F(x)g(x)k在区间上有且只有一个零点， 0， 2 求实数 k 的取值范围 解 (1)f(x)cos 2xsin 2xt3 2sint， (2x 6) f(x)的最小正周期为 ，2， 2 2 2 f(x)的图象过点(0,0)，2sin t0， 6 t1，即 f(x)2sin1. (4x 6) 令 2k 4x 2k ，kZ， 2 6 2 求得 x，kZ， k 2 6 k 2 12 故 f(x)的单调增区间为，kZ. k 2 6， k 2 12 (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，可得 8 y2sin12sin1 的图象， (4x 2 6) (4x 3) 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 g(x)2sin1 (2x 3) 的图象 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x，2x ， 0， 2 3 3， 2 3 sin， (2x 3) 3 2 ，1 故 g(x)2sin1 在区间上的值域为. (2x 3) 0， 2 31，1 若函数 F(x)g(x)k 在区间上有且只有一个零点， 0， 2 由题意可知，函数 g(x)2sin1 的图象和直线 yk 有且只有一个交点， (2x 3) 根据图象(图略)可知，k1 或 1k1.33 故实数 k 的取值范围是1(1，133