2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.3 Word版含解析.pdf

《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.3 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.3 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.3 圆的方程 圆的方程 考情考向分析 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属 中档题题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 圆心为(a，b) 标准式(xa)2(yb)2r2(r0) 半径为 r 充要条件：D2E24F0 圆心坐标：(D 2， E 2) 方 程 一般式x2y2DxEyF0 半径 r1 2 D2E24F 概念方法微思考 1如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？ 提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1

2、)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组 (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程 2点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 提示 点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2； (2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.( ) (4)方程 x22axy20 一定表示圆( ) (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x

3、 y Dx0Ey0F0.( ) 2 02 0 题组二 教材改编 2P111 练习 T4圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是_ 答案 (2，3) 解析 由(x2)2(y3)213，知圆心坐标为(2，3) 3P111 习题 T1(3)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程 为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 (x2)2y210 解析 设圆心坐标为(a,0)， 易知，a5212a1232 解得 a2， 圆心为(2,0)，半径为，10 圆 C 的标准方程为(x2)2y210. 题组三 易错自纠 4若方程 x2y2mx2y30 表示圆

4、，则 m 的取值范围是_ 答案 (，2)(2，)22 解析 将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 2(y1)2 2. (x m 2) m2 4 由其表示圆可得20，解得 m2. m2 4 22 5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是_ 答案 10)， 又圆与直线 4x3y0 相切， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1，解得 a2 或 a (舍去) |4a3| 5 1 2 圆的标准方程为(x2)2(y1)21. 题型一 圆的方程 例 1 求经过点 A(2，4)，且与直线 l：x3y260 相切于点 B(8,6)的圆的方程 解 方法一 设圆

5、心为 C， 所求圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则圆心 C，kCB. ( D 2， E 2) 6E 2 8D 2 圆 C 与直线 l 相切，kCBkl1， 即1. 6E 2 8D 2 ( 1 3) 又有(2)2(4)22D4EF0， 又 82628D6EF0. 联立，可得 D11，E3，F30， 所求圆的方程为 x2y211x3y300. 方法二 设圆的圆心为 C，则 CBl， 可得 CB 所在直线的方程为 y63(x8)， 即 3xy180. 由 A(2，4)，B(8,6)，得 AB 的中点坐标为(3,1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 kAB1， 64 82 AB 的

6、垂直平分线的方程为 y1(x3)， 即 xy40. 由联立，解得Error!Error! 即圆心坐标为. ( 11 2 ，3 2) 所求圆的半径 r ， ( 11 2 8)2(3 26) 2 125 2 所求圆的方程为 22 . (x 11 2) (y 3 2) 125 2 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 跟踪训练 1 (1)(2018如皋模拟)已知圆 C 过点(2，)，且与

7、直线 xy30 相切于点(0，33 )，则圆 C 的方程为_3 答案 (x1)2y24 解析 设圆心为(a，b)，半径为 r， 则Error!Error! 解得 a1，b0，则 r2， 即所求圆的方程为(x1)2y24. (2)一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2，则该7 圆的方程为_ 答案 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10 解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x3y0 上， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与 y 轴相切，半径 r3|a|， 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2，

8、圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d，7 |2a| 2 d2()2r2，即 2a279a2，a1.7 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2 y26x2y10. 方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心(a，b)到直线 yx 的距离为， |ab| 2 r27，即 2r2(ab)214. ab2 2 由于所求圆与 y 轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线 x3y0 上，a3b0， 联立，解得Error!Error!或Error!Error! 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29， 即 x

9、2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 方法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为， ( D 2， E 2) 半径 r. 1 2 D2E24F 在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0. 由于所求圆与 y 轴相切，0，则 E24F. 圆心到直线 yx 的距离为 ( D 2， E 2) d， | D 2 E 2| 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知得 d2()2r2，7 即(DE)2562(D2E24F) 又圆心在直线 x3y0 上， ( D 2， E 2) D3E0. 联立，解得Error!Error!或Error!Error! 故所求圆的方程为

10、x2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 题型二 与圆有关的最值问题 例 2 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上，求 xy 的最大值和最小值 解 设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距， xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在 y 轴上的截距的最大值和最小值， 即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即1，解得 t1 或 t1. |23t| 2 22 xy 的最大值为1，最小值为1.22 引申探究 1在本例的条件下，求 的最大值和最小值 y x 解 可视为点(x， y)与原点连线的斜率， 的最大

11、值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的 y x y x 直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 ykx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即1， |2k3| k21 解得 k2或 k2， 的最大值为2，最小值为2. 23 3 23 3 y x 23 3 23 3 2在本例的条件下，求的最大值和最小值x2y22x4y5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 ，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)x2y22x4y5x12y22 的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定 点(1,2)的距离为

12、，34 的最大值为1，最小值为1.x2y22x4y53434 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几 何性质数形结合求解 (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； yb xa 形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 2 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10. 求：(1)

13、的最大值和最小值； y x (2)yx 的最大值和最小值； (3)x2y2的最大值和最小值 解 原方程可化为(x2)2y23， 表示以(2,0)为圆心，为半径的圆3 (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 k，即 ykx. y x y x 当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值和最小值，此时，解得 k. |2k0| k21 33 所以 的最大值为，最小值为. y x 33 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图所示， 当直线 yxb 与圆相切时， 其在 y 轴上的截距 b 取得最大值和最小值， 此时，

14、 |20b| 2 3 解得 b2.所以 yx 的最大值为2，最小值为2.666 (3)如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2，202002 所以 x2y2的最大值是(2)274，33 x2y2的最小值是(2)274.33 题型三 与圆有关的轨迹问题 例 3 已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解 (1)方法一 设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 A

15、CBC，且 BC，AC 斜率均存在， 所以 kACkBC1， 又 kAC，kBC，所以1， y x1 y x3 y x1 y x3 化简得 x2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知 CD AB2. 1 2 由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线， 所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x， y)， C(x0

16、， y0)， 因为 B(3,0)， M 是线段 BC 的中点， 由中点坐标公式得 x， y x03 2 ， y00 2 所以 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 定义法：根据圆、直线等定义列方程 几何法：利用圆的几何性质列方程 相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 跟踪训练 3 设

17、定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边 形 MONP，求点 P 的轨迹 解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段 OP 的中点坐标为， ( x 2， y 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 线段 MN 的中点坐标为. ( x03 2 ，y 04 2 ) 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以 ， ， x 2 x03 2 y 2 y04 2 整理得Error!Error! 又点 N(x0，y0)在圆 x2y24 上， 所以(x3)2(y4)24. 所以点 P 的轨迹是以(3,4)为圆心，2 为半径的圆， 直线 OM 与

18、轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去， ( 9 5， 12 5) ( 21 5 ，28 5) 所以点 P 的轨迹为(x3)2(y4)24，除去两点和. ( 9 5， 12 5) ( 21 5 ，28 5) 1已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_ 答案 (2，4) 解析 由题意得 a2a2，a1 或 2. 当 a1 时方程为 x2y24x8y50， 即(x2)2(y4)225，圆心为(2，4)，半径为 5； 当 a2 时方程为 4x24y24x8y100， 2(y1)2 不表示圆 (x 1 2) 5 4 2 已知圆 C： x2y2kx2yk2， 当圆 C 的

19、面积取最大值时， 圆心 C 的坐标为_ 答案 (0，1) 解析 圆 C 的方程可化为 2(y1)2 k21，所以当 k0 时，圆 C 的面积最大， (x k 2) 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 此时圆心 C 的坐标为(0，1) 3 若圆 C 经过坐标原点与点(4,0)， 且与直线 y1 相切， 则圆 C 的方程是_ 答案 (x2)2 2 (y 3 2) 25 4 解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m) 又因为圆与直线 y1 相切，所以|1m|，22m2 解得 m . 3 2 所以圆 C 的方程为(x2)2 2 . (y

20、 3 2) 25 4 4已知圆 C：x2y22x4y10，那么与圆 C 有相同的圆心，且经过点(2,2)的圆的方 程是_ 答案 (x1)2(y2)225 解析 设出要求的圆的方程为(x1)2(y2)2r2，再代入点(2,2)，可以求得圆的半径为 5. 5 已知圆 M 与直线 3x4y0 及 3x4y100 都相切， 圆心在直线 yx4 上， 则圆 M 的方程为_ 答案 (x3)2(y1)21 解析 到直线 3x4y0 及 3x4y100 的距离都相等的直线方程为 3x4y50，联立方 程组Error!Error!解得Error!Error!又两平行线之间的距离为 2，所以所求圆的半径为 1，从

21、而圆 M 的方程 为(x3)2(y1)21. 6圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是_ 答案 x2y210y0 解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r， 则 32(r1)2r2， 解得 r5，可得圆的方程为 x2y210y0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7圆(x2)2y24 关于直线 yx 对称的圆的方程是_ 3 3 答案 (x1)2(y)243 解析 设圆(x2)2y24 的圆心(2,0)关于直线 yx 对称的点的坐标为(a，b)， 3 3 则有Error!Error! 解得 a1，b，3 从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.

22、3 8如果圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为的点，则实数 a 的取值范围是2 _ 答案 3，11,3 解析 圆(xa)2(ya)28 的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径 r2，22 由圆(xa)2(ya)28 上总存在点到原点的距离为，2 得 2|a|2，1|a|3，解得 1a3 或3a1.22222 实数 a 的取值范围是3，11,3 9平面内动点 P 到两点 A，B 的距离之比为常数 (0，且 1)，则动点 P 的轨迹叫做阿波 罗尼斯圆， 若已知 A(2,0)， B(2,0)， ， 则此阿波罗尼斯圆的方程为_ 1 2 答案 x2y2x40 20 3 解析 由题意，设

23、P(x，y)，则 ， x22y2 x22y2 1 2 化简可得 x2y2x40. 20 3 10点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是_ 答案 (x2)2(y1)21 解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x y 4，连线中点坐标为(x，y)， 2 02 0 则Error!Error!解得Error!Error! 代入 x y 4 中，得(x2)2(y1)21. 2 02 0 11已知点 P(x，y)在圆 C：x2y26x6y140 上， (1)求 的最大值和最小值； y x (2)求 xy 的最大值和最小值 解 方程

24、x2y26x6y140 可变形为(x3)2(y3)24，则圆 C 的半径为 2. (1)(转化为斜率的最值问题求解) 表示圆上的点 P 与原点连线的斜率， 显然当 PO(O 为原点)与圆 C 相切时， 斜率最大或最小， y x 如图所示 设切线方程为 ykx，即 kxy0， 由圆心 C(3,3)到切线的距离等于圆 C 的半径， 可得2，解得 k. |3k3| k21 9 214 5 所以 的最大值为，最小值为. y x 9214 5 9214 5 (2) (转化为截距的最值问题求解) 设 xyb，则 b 表示动直线 yxb 在 y 轴上的截距，显然当动直线 yxb 与圆 C 相切时，b 取得最

25、大值或最小值，如图所示 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由圆心 C(3,3)到切线 xyb 的距离等于圆 C 的半径，可得2， |33b| 1212 即|b6|2，解得 b62，22 所以 xy 的最大值为 62，最小值为 62.22 12已知点 A(3,0)，B(3,0)，动点 P 满足 PA2PB. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程； (2)若点 Q 在直线 l1： xy30 上， 直线 l2经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M， 求 QM 的最小值 解 (1)设点 P 的坐标为(x，y)， 则2.x32y2x32y2 化简可得(x5)2y216，此方程

26、即为所求 (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心，4 为半径的圆，如图所示 由题意知直线 l2是此圆的切线， 连结 CQ， 则 QM，CQ2CM2CQ216 当 QM 最小时，CQ 最小，此时 CQl1， CQ4， |53| 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 QM 的最小值为4.3216 13 已知圆C： (x3)2(y4)21， 设点P是圆C上的动点 记dPB2PA2， 其中A(0,1)， B(0， 1)，则 d 的最大值为_ 答案 74 解析 设 P(x0，y0)，dPB2PA2x (y01)2x (y01)22(x y )2.x y 为圆上任 2 02 02 02

27、02 02 0 一点到原点距离的平方，(x y )max(51)236，dmax74. 2 02 0 14已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l： x2y0 的距离为，且圆 C 被 x 5 5 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的方程为_ 答案 (x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22 解析 设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2，则点 C 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|. 由题意可知Error!Error!Error!Error!或Error!Error! 故所求圆 C 的方程为(x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22. 15若圆

28、 x2y24x12y10 关于直线 axby60(a0，b0)对称，则 的最小值是 2 a 6 b _ 答案 32 3 解析 由圆 x2y24x12y10 知，其标准方程为(x2)2(y6)239， 圆 x2y24x12y10 关于直线 axby60(a0，b0)对称， 该直线经过圆心(2,6)，即2a6b60， a3b3(a0，b0)， (a3b) 2 a 6 b 2 3 ( 1 a 3 b) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ， 2 3(1 3a b 3b a 9) 2 3(102 3a b 3b a) 32 3 当且仅当，即 ab 时取等号 3b a 3a b 16已知动点 P

29、(x，y)满足 x2y22|x|2|y|0，O 为坐标原点，求的最大值x2y2 解 表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离x2y2 当 x0，y0 时，x2y22x2y0 化为 222，曲线上的点到原点的距离 (x1)(y1) 的最大值为 22，22 当 x0，y0 时，x2y22x2y0 化为 222，曲线上的点到原点的距离的 (x1)(y1) 最大值为 22，22 当 x0，y0 时，x2y22x2y0 化为 222，曲线上的点到原点的距离的 (x1)(y1) 最大值为 22，22 当 x0，y0 时，x2y22x2y0 化为 222，曲线上的点到原点的距离的 (x1)(y1) 最大值为 22.22 综上可知，的最大值为 2.x2y22