2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第八章 立体几何 8.4 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.4 空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积与体积 考情考向分析 考查简单几何体的表面积与体积的计算， 涉及空间几何体的结构特征， 要求 考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度 1侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是 S直棱柱侧ch，底面为正多边 形的直棱柱叫做正棱柱柱体的体积公式是 V柱体Sh. 2如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱 锥正棱锥的侧面积公式是 S正棱锥侧 ch；锥体的体积公式为 V锥体 Sh. 1 2 1 3 3正棱锥被平行于底面的平面所截，截

2、面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是 S 正棱台侧 (cc)h；台体的体积公式是 V台体 h(S S) 1 2 1 3 SS 4 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图分别是矩形、 扇形、 扇环 ； 圆柱的侧面积公式是 S圆柱侧cl 2rl， 圆锥的侧面积公式为 S圆锥侧 clrl， 圆台的侧面积公式为 S圆台侧 (cc)l(r 1 2 1 2 r)l. 5若球的半径为 R，则球的体积 V R3，球的表面积 S4R2. 4 3 概念方法微思考 1如何求旋转体的表面积？ 提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之 和 2如何求不规则几何体的体积？ 提示 求

3、不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 规则的几何体求解 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积( ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 Ra.( ) 3 2 (5)圆柱的一个底面积为 S， 侧面展开图是一个正方形， 那么这个圆柱的侧面积是 2S.( ) 题组二 教材改编 2P54T2把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为

4、 R 的圆柱，则圆柱的高为_ 答案 4R 解析 设圆柱的高为 h，则有 R2h3 R3， 4 3 h4R. 3P49T1已知正三棱柱的底面边长为 3 cm，侧面的对角线长为 3 cm，则这个正三棱柱的5 侧面积是_ cm2. 答案 54 解析 因为正三棱柱的高为6(cm)， 3 5 232 所以侧面积为 33654(cm2) 4P54T3一个正六棱锥的底面边长为 6 cm，高为 5 cm，则它的体积为_ cm3.3 答案 270 解析 体积 V Sh 6 665270(cm3) 1 3 1 3 1 2 3 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题组三 易错自纠 5体积为 8 的正

5、方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 答案 12 解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线为 2即为球的直径，所以球的表面积为3 4R2(2R)212. 6已知某圆柱的侧面展开图是边长为 2a，a 的矩形，则该圆柱的体积为_ 答案 或 a3 2 a3 解析 设圆柱的母线长为 l，底面圆的半径为 r， 则当 l2a 时，2ra，r， a 2 这时 V圆柱2a 2 ； ( a 2) a3 2 当 la 时，2r2a，r ， a 这时 V圆柱a 2 . ( a ) a3 综上，该圆柱的体积为或. a3 2 a3 题型一 求空间几何体的表面积 1(2018全国改编)已知圆柱的上、下底面的

6、中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该 圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为_ 答案 12 解析 设圆柱的轴截面的边长为 x， 则由 x28，得 x2，2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 S圆柱表2S底S侧2()22212.222 2若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是 4，则其侧棱长 为_ 答案 2 3 3 解析 依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径 设侧棱长为 a，外接球的半径为 r. 由外接球的表面积为 4，得 r1， a2r2，a.3 2 3 3 3正六棱台的上、下两底面的边长分别是 1 cm

7、,2 cm，高是 1 cm，则它的侧面积为_ cm2. 答案 9 7 2 解析 正六棱台的侧面是 6 个全等的等腰梯形，上底长为 1 cm，下底长为 2 cm，高为正六棱 台的斜高又边长为 1 cm 的正六边形的中心到各边的距离是 cm，边长为 2 cm 的正六边 3 2 形的中心到各边的距离是 cm，则梯形的高为(cm)，所以正六棱台的侧31(3 3 2) 2 7 2 面积为 6 (12)(cm2) 1 2 7 2 9 7 2 思维升华 求空间几何体表面积的注意点 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 题型二

8、 求空间几何体的体积 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 1 (1) (2018宿迁模拟)如图， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 ABAA13， 点 P 在棱 CC1 上，则三棱锥 PABA1的体积为_ 答案 9 3 4 解析 三棱锥 PABA1的体积等于三棱锥 BAPA1的体积，点 B 到面 APA1的距离为， 3 3 2 APA1的面积为 ，故三棱锥 PABA1的体积为. 9 2 9 3 4 (2)(2018南京模拟)如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1， BC2， BB13， ABC90， 点 D 为侧棱 BB1上的动点当 ADDC1最小时，三棱锥 D

9、ABC1的体积为_ 答案 1 3 解析 几何体展开图如图所示： ABDACC1， BD CC1 AB AC AB1，BC2，BB13， AC3，CC13，BD1， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 121 . 1 DABC V 1 ABC D V 1 3 1 2 1 3 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、 锥体或台体， 则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法 进行求解 跟踪训练 1 (1)(2018江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面

10、展开图由一个边长 为 1 的正方形和 4 个正三角形组成，则该多面体的体积是_ 答案 2 6 解析 由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为 1，侧棱长也为 1，该正 四棱锥的高 h，其体积 V 12. ( 3 2) 2(1 2) 2 2 2 1 3 2 2 2 6 (2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为 正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_ 答案 2 3 解析 如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连结 DG，CH， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 容易求得 EGHF

11、， 1 2 AGGDBHHC， 3 2 取 AD 的中点 O，连结 GO，易得 GO， 2 2 SAGDSBHC 1， 1 2 2 2 2 4 多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGD BHC 21. 1 3 2 4 1 2 2 4 2 3 (3)如图， 正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2， 侧棱长为， D 为 BC 的中点， 则三棱锥 A3 B1DC1的体积为_ 答案 1 解析 如题图， 因为ABC 是正三角形， 且 D 为 BC 中点，则 ADBC. 又因为 BB1平面 ABC，AD平面 ABC， 高清试卷 下载可打印 高

12、清试卷 下载可打印 故 BB1AD，且 BB1BCB，BB1，BC平面 BCC1B1， 所以 AD平面 BCC1B1， 所以 AD 是三棱锥 AB1DC1的高 所以AD 1. 11 AB DC V三棱锥 1 3 11 B DC S 1 3 33 题型三 表面积和体积的综合问题 命题点 1 侧面展开图的应用 例 2 (1)如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1， BC2， AC， AA13， M 为线段 BB15 上的一动点，则当 AMMC1最小时，AMC1的面积为_ 答案 3 解析 将直三棱柱 ABCA1B1C1沿棱 BB1展开成平面图形，连结 AC1到 AC1与 BB1的交点即

13、满足 AMMC1最小，此时 AC1，MC12，AM，1422 cosAMC1 ， 2814 2 2 2 2 1 2 sinAMC1， 2. 3 2 1 AMC S 1 2 22 3 2 3 (2)(2018无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120且面积为 3 的扇形，则该圆 锥的体积等于_ 答案 2 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 设圆锥侧面母线长为 l，底面半径为 r， Error!Error! 圆锥高 h2，32122 V圆锥 2. 1 3 2 2 3 2 命题点 2 和球有关的表面积、体积问题 例 3 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都

14、在球 O 的球面上， 若 AB3， AC4， ABAC， AA112，则球 O 的半径为_ 答案 13 2 解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM BC ，OM AA16， 1 2 5 2 1 2 所以球 O 的半径 ROA. ( 5 2) 262 13 2 引申探究 1本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多 少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球 的直径设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4，3

15、从而 V外接球 R3 (2)332， 4 3 4 3 33 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 V内切球 r3 23. 4 3 4 3 32 3 2本例若将直三棱柱改为“棱长为 a 的正四面体” ，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的 表面积 S2的比值为多少？ 解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14a2a2，其内切球半径 r 为正四面 3 4 3 体高的 ，即 r aa，因此内切球表面积为 S24r2，则. 1 4 1 4 6 3 6 12 a2 6 S1 S2 3a 2 a2 6 6 3 思维升华 (1)侧面展开图体现的是一种转化思想用于寻找两种情况下图形长度或角度间

16、的 关系 (2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径 跟踪训练 2 (1)如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 线段 B1D1上有两个动点 E， F， 且 EF，则三棱锥 BAEF 的体积为_ 2 2 答案 1 12 解析 连结 AC，BD，易知 AC平面 BDD1B1， 则 V三棱锥 BAEFV三棱锥 ABEF SBEF EFBB1 1 1 3 AC 2 1 3 AC 2 1 2 1 3 2 2 1 2 2 2 . 1 12 (2)(2018全国改编)设 A，B，C，D 是一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角 形且其面积为 9，则三棱锥 DA

17、BC 体积的最大值为_3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 18 3 解析 由等边ABC 的面积为 9，可得AB29，3 3 4 3 所以 AB6， 所以等边ABC 的外接圆的半径为 rAB2. 3 3 3 设球的半径为 R，球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d2.R2r21612 所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246， 所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 9618. 1 3 33 1已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 2，则该直四棱柱的侧面积为3 _ 答案 16 2 解析 由题意得，直四棱柱的侧棱长为2， 2 3 222 2 所以该直

18、四棱柱的侧面积 Scl42216.22 2.如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB3 cm， AD2 cm， AA11 cm， 则三棱锥 B1ABD1 的体积为_ cm3. 答案 1 解析 三棱锥 B1ABD1的体积A1D1 312 11 BABD V 三棱锥 11 DABB V 三棱锥 1 3 1 ABB S 1 3 1 2 1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和 侧面积分别为 V2，S2.若 ，则的值为_ V1 V2 3 S1 S2 答案 3 2 解析 由 ，得 ar，.

19、 V1 V2 3a3 r3 3 S1 S2 6a2 2r 2 3 2 4(2018南京学情调研)已知圆柱 M 的底面半径为 2，高为 6，圆锥 N 的底面直径和母线长相 等若圆柱 M 和圆锥 N 的体积相等，则圆锥 N 的高为_ 答案 6 解析 设圆锥 N 的底面半径为 r， 则它的母线长为 2r， 从而它的高为r， 由圆柱 M 与圆锥 N3 的体积相等，得 46 r2r，解得 r2，因此圆锥 N 的高 hr6. 1 3 333 5(2018南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为的扇 2 3 形，则这个圆锥的高为_ 答案 2 2 解析 设圆锥的底面半径为 r，高

20、为 h，因为圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为的扇 2 3 形，且扇形的弧长等于底面圆的周长，故有 2r3，解得 r1，又圆锥的母线 l3，所 2 3 以 h2.l2r2912 6现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一 个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_ cm. 答案 3 9 解析 圆锥的高为 4 cm， 体积 V圆锥 32412(cm3) 1 3 设球的半径为 r cm，则 r312， 4 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 r39，所以 r. 3 9 7 算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是

21、我国现存最早的有系 统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术 ： 置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一， 该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 Vl2h，它实际上是 1 36 将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3， 那么， 近似公式 Vl2h 相当于将圆锥体积公式中 25 942 的 近似取_ 答案 157 50 解析 V r2h 2h l2h，由，得 . 1 3 1 3 ( l 2) 1 12 1 12 25 942 157 50 8 将半径为 5 的圆分割成面积之比为 123 的三个扇形作为三个圆锥的侧面， 若这三个圆 锥的底面半径依次为 r1，r2，

22、r3，则 r1r2r3_. 答案 5 解析 半径为 5 的圆的周长是 10，由题意知 2r12r22r310，所以 r1r2r35. 9.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB4，AA16.若 E，F 分别是棱 BB1，CC1上 的点，则三棱锥 AA1EF 的体积是_ 答案 8 3 解析 过点 C 作 CDAB 于点 D，在正三角形 ABC 中，AB4， 则 CD2，3 因为 CC1平面 A1ABB1，则点 F 到平面 A1ABB1的距离为 2，3 所以 2 468. 1 AA EF V三棱锥 1 FAA E V三棱锥 1 3 3 1 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可

23、打印 10(2018苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为 3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的 孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_ 答案 3 解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多 了一个圆柱侧面 由题意， 得 r2r22rh， 得 rh.经检验， 只有 r3 符合要求， 此时在 89 的面上打孔 11.如图，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CDBD. (1)求证：CD平面 ABD； (2)若 ABBDCD1，点 M 为 AD 中点，求三棱锥 AMBC 的体积 (1)证明 AB平面 BCD，CD平面 BCD， ABCD. CD

24、BD，ABBDB， AB平面 ABD，BD平面 ABD， CD平面 ABD. (2)解 AB平面 BCD，ABBD. ABBD1，SABD . 1 2 点 M 是 AD 的中点，SABM SABD . 1 2 1 4 由(1)知，CD平面 ABD， 三棱锥 CABM 的高 hCD1， 因此三棱锥 AMBC 的体积 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 VAMBCVCABM SABMh. 1 3 1 12 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90. (1)求证：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求

25、该四棱锥的侧面 8 3 积 (1)证明 由已知BAPCDP90， 得 ABAP，CDPD. 由于 ABCD，故 ABPD. 又 PDAPP，PD，AP平面 PAD， 所以 AB平面 PAD. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD. (2)解 如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E. 由(1)知，AB平面 PAD，故 ABAD，ABPE，ADABA，AD，AB平面 ABCD， 所以 PE平面 ABCD. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 ABx，则由已知可得 ADx，PEx，2 2 2 由 ABCD，ABCD，ABAD， 得四边形 ABCD 为矩形 故四棱锥

26、 PABCD 的体积 VPABCD ABADPE x3. 1 3 1 3 由题设得 x3 ，故 x2. 1 3 8 3 从而 PAPDABDC2， ADBCPBPC2，2 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 13已知三棱锥 OABC 的顶点 A，B，C 都在半径为 2 的球面上，O 是球心，AOB120， 当AOC 与BOC 的面积之和最大时，三棱锥 OABC 的体积为_ 答案 2 3 3 解析 设球 O 的半径为 R， 因为 SAOCSBOC R2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时

27、， 1 2 SAOCSBOC取得最大值，此时 OAOC， OBOC，OBOAO，OA，OB平面 AOB， 所以 OC平面 AOB， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 V三棱锥 OABCV三棱锥 COAB OC OAOBsinAOB R3sinAOB. 1 3 1 2 1 6 2 3 3 14有一根长为 3 cm、底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕两圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁线的最短长度为_ cm. 答案 5 解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图)， 由题意知 BC3 cm，AB4 cm，点 A

28、 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长 度即为铁丝的最短长度 AC5(cm)AB2BC2 15 已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB150， C 为该球面上的动点， 若三棱锥 OABC 体积的最大值为 18，则球 O 的表面积为_ 答案 144 解析 如图， 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时， 三棱锥 OABC 的体积最大 设球 O 的半径为 R， 此时VOABCVCAOB R2Rsin 150R318， 故R6， 则球O的表面积为S4R2 1 3 1 2 1 12 462144. 16.如图， ABC 内接于圆 O， AB 是圆 O 的直径， 四边形

29、DCBE 为平行四边形， DC平面 ABC， AB4，EB2 . 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求证：DE平面 ACD； (2)设 ACx，V(x)表示三棱锥 BACE 的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值 (1)证明 四边形 DCBE 为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面 ABC，BC平面 ABC， DCBC，DCAC. AB 是圆 O 的直径，BCAC，且 DCBCC， DC，BC平面 BCDE， AC平面 BCDE，ACDE， ACDCC，AC，DC平面 ACD， DE平面 ACD. (2)解 由(1)可知 BEAC，BEBC， 又 BCACC，AC，BC平面 ABC， BE平面 ABC， 在 RtABC 中，ACx，BC(0x4)，16x2 SABC ACBC x， 1 2 1 2 16x2 V(x)V三棱锥 EABCx(0x4) 3 3 16x2 x2(16x2) 264，当且仅当 x216x2，即 x2 时取等号， ( x216x2 2 ) 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 x2时，V(x)有最大值.2 8 3 3