2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第五章平面向量、复数 5.3 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 5.3 平面向量的数量积平面向量的数量积考情考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题 1向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作a，b，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角OA OB 的范围是0， 2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab 投影 |a|cos 叫做向量

2、a 在 b 方向上的投影， |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积拓展：向量数量积不满足：消去律，即 abacbc；结合律，即(ab)ca(bc) 3向量数量积的运算律 (1)abba. 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 (2)(a)b(ab)a(b)ab. (3)(ab)cacbc. 4平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 . 结论几何表示坐标表示模|a| aa|a| x2 1y2 1 夹角cos ab |a|

3、b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 ab 的充要条件ab0x1x2y1y20 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| x2 1y2 1 x 2 2y2 2 概念方法微思考 1a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相同吗？提示不相同因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ，而 b 在 a 方向上的投影为|b|cos ，其中为 a 与 b 的夹角 2两个向量的数量积大于 0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定当夹角为 0时，数量积也大于 0. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (

4、1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( ) (2)由 ab0 可得 a0 或 b0.( ) (3)(ab)ca(bc)( ) 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 (4)两个向量的夹角的范围是.( ) 0， 2 (5)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角( ) 题组二教材改编 2P90T18已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k_. 答案 12 解析 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由 a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得 k12. 3P89T8已知

5、两个单位向量 e1，e2的夹角为 .若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2 3 _. 答案 6 解析 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2(e12e2)(3e14e2) 3e 2e1e28e . 2 12 2 因为 e1，e2为单位向量， e1，e2 ， 3 所以 b1b232 83186. 1 2 题组三易错自纠 4已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_. 答案 2 3 解析方法一 |a2b| a2b2 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 a24ab4b2224 2 1 cos 604 12 2.123 方法二 (数形结合

6、法) 由|a|2b|2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a2b|.OC 又AOB60，所以|a2b|2 . 3 5已知|a|3，|b|2，若 ab3，则 a 与 b 的夹角的大小为_ 答案 2 3 解析设 a 与 b 的夹角为，则 cos . ab |a|b| 3 3 2 1 2 又 0，所以 . 2 3 6已知ABC 的三边长均为 1，且c，a，b，则 abbcac_.AB BC CA 答案 3 2 解析 a，bb，ca，c120，|a|b|c|1， abbcac11cos 120 ， 1 2 abbcac . 3 2 题型一平面向量数量积的基

7、本运算高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 1(2018全国改编)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)_. 答案 3 解析 a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1，ab1，原式21213. 2(2018苏北四市调研)已知平面向量 a 与 b 的夹角等于，若|a|2，|b|3，则|2a3b| 3 _. 答案 61 解析由题意可得 ab|a|b|cos 3， 3 所以|2a3b|.2a3b24|a|29|b|212ab16813661 3(2018江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y2x 上在第一象限内的点，B(5,0)，以 AB 为直

8、径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若0，则点 A 的横坐标为_AB CD 答案 3 解析设 A(a,2a)，则 a0. 又 B(5,0)，故以 AB 为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0. 由题意知 C. ( a5 2 ，a) 由Error! 解得Error!或Error!D(1,2) 又0，(5a，2a)，AB CD AB CD (1 a5 2 ，2a) (5a，2a) a25a0， (1 a5 2 ，2a) 5 2 15 2 解得 a3 或 a1. 又 a0，a3. 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 4(2018江苏淮安清江中学调研)如图，在ABC 中，BAC

9、120，ABAC2，D 为 BC 边上的点，且0，2，则_.AD BC CE EB AD AE 答案 1 解析 0，AD BC ，且 D 为 BC 的中点，BC30，AD BC 在 RtADB 中可求得 AD1，0，AD DE () 2 ，AD AE AD AD DE AD AD DE 1.AD AE 思维升华平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1， y1)， b(x2， y2)，则 abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解题型二平面向量数

10、量积的应用命题点 1 求向量的模与夹角例 1 (1)在ABC 中， BAC60， AB5， AC6， D 是 AB 上一点，且5，则|AB CD BD _. 答案 3 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印解析如图所示，设k，所以k，AD AB CD AD AC AB AC 所以(k)AB CD AB AB AC k 2 AB AB AC 25k561 2 25k155，解得 k ，所以|3. 2 5 BD (1 2 5) AB (2)设向量 a，b 满足|a|2，|b|1，a(ab)3，则 a 与 b 的夹角为_ 答案 3 解析由题意得 a(ab)a2ab 421cos

11、 42cos 3， cos ，0， . 1 2 3 (3)设向量 a，b，c 满足|a|b|2，ab2， ac，bc60，则|c|的最大值为_ 答案 4 解析因为|a|b|2，ab2，所以 cosa，b ， a，b120. ab |a|b| 1 2 如图所示，设a，b，c，OA OB OC 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印则ac，bc，AOB120.CA CB 所以ACB60，所以AOBACB180，所以 A，O，B，C 四点共圆不妨设为圆 M，因为ba，AB 所以 2a22abb212. AB 所以|2，AB 3 由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆 M 的直径为 2R4.

12、 |AB | sinAOB 所以当|为圆 M 的直径时，|c|取得最大值 4.OC 命题点 2 平面向量的平行与垂直例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量(6,1)，(x，y)，(2，3)，且AB BC CD AD .BC (1)求 x 与 y 之间的关系式； (2)若，求四边形 ABCD 的面积AC BD 解 (1)由题意得(x4，y2)，(x，y)AD AB BC CD BC 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印因为，所以(x4)y(y2)x0，AD BC 即 x2y0. (2)由题意(x6，y1)，AC AB BC (x2，y3)BD BC CD 因为，AC BD 所以

13、(x6)(x2)(y1)(y3)0，即 x2y24x2y150，联立Error! 解得Error!或Error! 当Error!时，(8,0)，(0，4)，AC BD S四边形 ABCD ACBD16； 1 2 当Error!时，(0,4)，(8,0)，AC BD S四边形 ABCD ACBD16. 1 2 所以四边形 ABCD 的面积为 16. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法利用公式|a|.x2y2 利用|a|.a2 (2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，的取值范围为0， ab |a|b| 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印坐标法：若 a(x1，y1)，b(

14、x2，y2)，则 cos . x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中跟踪训练 1 (1)(2018江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB2，BCD 是等边三角形，若1，则 AD 的长为_AC BD 答案 6 解析取 BD 的中点 H，连结 AH，CH，由BCD 为等边三角形，可得 CHBD，由1，AC BD 可得()AH HC BD AH BD HC BD A ()()H BD 1 2 AD AB AD AB ( 22)1， 1 2 AD AB 可得 222426， AD AB 所以|.AD 6 (2)已知平面

16、a(，2)，又|c|2，所以 5220，解得 2，5 所以 c(2,4)或(2，4) 因为(a2b)(2ab)0，所以 2a2ab4ab2b20，解得 ab ，即cos ， 5 2 5 5 2 5 2 又 0，所以 . 题型三平面向量与三角函数例 3 如图，A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B，P 在单位圆上，且 B，AOB， ( 3 5， 4 5) AOP(0)，四边形 OAQP 的面积为 S.OQ OA OP 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 (1)求 cos sin ； (2)求S 的最大值及此时的值 0.OA OQ 解 (1)B，AOB， ( 3 5， 4

17、5) cos ，sin ， 3 5 4 5 cos sin . 1 5 (2)由已知得 A(1,0)，P(cos ，sin )， (1cos ，sin )，OQ 1cos ，OA OQ 又 Ssin ， Ssin cos 1sin1，OA OQ 2 ( 4) 又 0，， 4 4 5 4 sin1， 2 2 ( 4) 则S 的最大值为1，OA OQ 2 此时 0 . 2 4 4 思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给

18、出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m，n(sin x，cos x)，x. ( 2 2 ， 2 2) (0， 2) (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值 3 解 (1)因为 m，n(sin x，cos x)，mn. ( 2 2 ， 2 2) 所以 mn0，即sin xcos x0， 2 2 2 2 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m|n|1，所以 mncos

19、， 3 1 2 即sin xcos x ， 2 2 2 2 1 2 所以 sin ， (x 4) 1 2 因为 0x ，所以 x ， 2 4 4 4 所以 x ，即 x. 4 6 5 12 1在ABC 中，ABAC2，BC2，则_.3AB AC 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印答案 2 解析由余弦定理得 cos A ， AB2AC2BC2 2ABAC 22222 32 2 2 2 1 2 所以|cos AAB AC AB AC 222. ( 1 2) 2已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，ab(，)，则|2ab|_.32 答案 2 2 解析根据题意，|ab|，325 则(

20、ab)2a2b22ab 52ab5，可得 ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，则2.|2ab|2 3已知向量 a(1,1)，b(2，3)，若 ka2b 与 a 垂直，则实数 k 的值为_ 答案 1 解析向量 a(1,1)，b(2，3)，则 ka2b.(k4，k6) 若 ka2b 与 a 垂直，则 k4k60，解得 k1. 4已知四边形 ABCD，若2，则的值为_AC BD AB CD AD BC 答案 0 解析因为()()()，AC BD AB BC BC CD AB CD AB BC CD BC AB CD AD BC 所以0.AD BC A

21、C BD AB CD 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 5(2018苏北四市考试)如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB90，P 为上的一点， AB 若2，则的值为_OP OA OP AB 答案 22 3 解析方法一因为|cosAOP22cosAOP2，OP OA OP OA 所以AOP60，BOP30，所以()OP AB OP OB OA OP OB OA OP |cosBOP2OP OB 22cos 30222 . 3 方法二以 O 为坐标原点，OA，OB 所在直线分别为 x 轴、y 轴设AOP， 0， 2 则 P(2cos ，2sin )，A(2,0)，B(0

22、,2)，则(2cos ，2sin )(2,0)OP OA 4cos 2，解得 cos ，即， 1 2 3 所以 P(1，)，则(1，)(2,2)3OP AB 3 22 . 3 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 6 (2018江苏无锡梅村高中月考)已知平面向量 a， b 满足|a|2， |b|2， |a2b|5，则向量 a， b 夹角的余弦值为_ 答案 5 16 解析因为平面向量 a，b 满足|a|2，|b|2，|a2b|5，则|a2b| a24b24ab 5，224 224 2 2cosa，b 解得 cosa，b. 5 16 7已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD

23、的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围MA MB 是_ 答案 1,3 解析如图所示，由题意可得，点 M 所在区域的不等式表示为(x1)2(y1)21(0x2,0y2) 可设点 M(x，y)，A(0,0)，B(2,0) (x，y)(2x，y)MA MB x(2x)y2(x1)2y21，由0,2，1,3x12y2MA MB 8.如图，在ABC 中， AC3， BC4， C90， D 是 BC 的中点，则的值为_BA AD 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印答案 17 解析如图，建立平面直角坐标系，则 C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2) 则(3，4)，

24、(3,2)BA AD 3(3)4217.BA AD 9 (2018南京模拟)在ABC 中， AB3， AC2， BAC120，.若，BM BC AM BC 17 3 则实数的值为_ 答案 1 3 解析由题意知，AM AB BM AB BC ()(1)，AB AC AB AB AC 所以(1)()(1) 22(12) 9(1)4AM BC AB AC AC AB AB AC AB AC (12)32cos 1201912，所以 . 17 3 1 3 10 (2016江苏)如图，在ABC中， D是BC的中点， E， F是AD上的两个三等分点，4，BA CA 1，则的值是_BF CF BE C

25、E 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印答案 7 8 解析设a，b，AB AC 则(a)(b)ab4.BA CA 又D 为 BC 中点，E，F 为 AD 的两个三等分点，则 () a b，AD 1 2 AB AC 1 2 1 2 a b.AF 2 3AD 1 3 1 3 a b，AE 1 3AD 1 6 1 6 a a b a b，BF BA AF 1 3 1 3 2 3 1 3 b a b a b，CF CA AF 1 3 1 3 1 3 2 3 则 a2 b2 ab (a2b2) 41.BF CF ( 2 3a 1 3b)( 1 3a 2 3b) 2 9 2 9 5 9 2 9

26、 5 9 可得 a2b2. 29 2 又a a b a b.BE BA AE 1 6 1 6 5 6 1 6 b a b a b，CE CA AE 1 6 1 6 1 6 5 6 则(a2b2)ab4 .BE CE ( 5 6a 1 6b)( 1 6a 5 6b) 5 36 26 36 5 36 29 2 26 36 7 8 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 11 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，求()的最小值PA PB PC 解方法一设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，则有2，PB PC PD 则()2PA PB PC PA P

27、D 2()()PE EA PE EA 2( 22) PE EA 而 22 ， AE ( 3 2) 3 4 当 P 与 E 重合时， 2有最小值 0， PE 故此时()取最小值，PA PB PC 最小值为2 22 . EA 3 4 3 2 方法二以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则 A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，3 设 P(x，y)，取 BC 的中点 D，高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印则 D. ( 1 2， 3 2) ()2PA PB PC PA PD 2(1x，y)(1 2x， 3 2 y) 2x1(x1 2)y(y 3 2

28、) 2. (x 1 4) 2(y 3 4) 23 4 因此，当 x ，y时， 1 4 3 4 ()取最小值，为 2 .PA PB PC ( 3 4) 3 2 12(2017江苏)已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，3 (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值解 (1)因为 a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，3 所以cos x3sin x.3 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x. 3 3 又 x0，所以 x. 5 6 (2)

29、f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3 3cos xsin x2cos.33 (x 6) 因为 x0，所以 x ， 6 6， 7 6 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印从而1cos， (x 6) 3 2 于是，当 x ，即 x0 时，f(x)取得最大值 3； 6 6 当 x ，即 x时，f(x)取得最小值2. 6 5 6 3 13已知 O 是ABC 内部一点，0，2 且BAC60，则OBC 的OA OB OC AB AC 面积为_ 答案 3 3 解析 0，OA OB OC ，O 为三角形的重心，OA OB OC OBC 的面积为ABC 面积的， 1 3 2，|cosBAC

31、(2bc6) ， 1 9 1 9 2 3 所以|，AG 6 3 当且仅当 bc时取等号6 15.如图，等边ABC 的边长为 2，顶点 B， C 分别在 x 轴的非负半轴， y 轴的非负半轴上滑动， M 为 AB 的中点，则的最大值为_OA OM 答案 5 2 7 解析设OBC，则 B，C，(2cos ，0)(0，2sin ) A， (2cos 2cos( 3)，2sin( 3) M， (2cos cos( 3)，sin( 3) 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印 2sinsinOA OM 2cos 2cos( 3) 2cos cos( 3)( 3) ( 3) 4cos22cos

32、26cos cos2sin2 ( 3) ( 3) ( 3) 24cos26cos cos( 3) 24cos26cos (1 2cos 3 2 sin ) 2cos23sin cos 3 cos 2sin 2 5 2 1 2 3 3 2 sin. 5 2 7(2)(其中tan 3 9) 的最大值为 .OA OM 5 2 7 16已知，是非零不共线的向量，设，定义点集 AError!，OP OQ OM 1 m1OP m m1OQ 当 F1，F2A 时，若对于任意的 m3，当 F1，F2不在直线 PQ 上时，不等式k恒 |F 1F2 |PQ | 成立，求实数 k 的最小值解由(m3)，OM 1

33、 m1OP m m1OQ 可得 P，Q，M 三点共线且m， PM QM 由 AError!，可得cosPFMcosQFM， |FM |FM | 即PFMQFM，则 FM 为PFQ 的角平分线，由角平分线的性质定理可得m， PF QF PM QM 以 P 为坐标原点， PQ 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 P， Q， F(x， y)，(0，0)(1m，0) 高清试卷下载可打印高清试卷下载可打印于是m， x2y2 (x1m)2y2 化简得 2y22， (x m2 1m) ( m m1) 故点 F(x，y)是以为圆心，为半径的圆要使得不等式对 m3 ( m2 m1，0) m m1 |F 1F2 | k|PQ | 恒成立，只需 2k，即 k22 m m1 (m1) m m21 1 m 1 m 对 m3 恒成立，k2 . 1 31 3 3 4

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